Funció de covariància

Exemple: valors crítics del coeficient de correlació de Pearson que s'han de superar per ser considerats significativament diferents de zero al nivell 0,05.

En la teoria de la probabilitat i l'estadística, la funció de covariància descriu quant canvien juntes dues variables aleatòries (la seva covariància) amb una separació espacial o temporal variable. Per a un camp aleatori o procés estocàstic Z (x) en un domini D, una funció de covariància C (x ,y) dona la covariància dels valors del camp aleatori a les dues ubicacions x i y:

$C(x,y):=\operatorname {cov} (Z(x),Z(y))=\mathbb {E} \left[\{Z(x)-\mathbb {E} [Z(x)]\}\cdot \{Z(y)-\mathbb {E} [Z(y)]\}\right].\,$

El mateix C (x , y) s'anomena funció d'autocovariància en dos casos: en sèries temporals (per denotar exactament el mateix concepte excepte que x i y es refereixen a ubicacions en el temps més que en l'espai) i en camps aleatoris multivariants (per referir-se a la covariància d'un variable amb si mateixa, a diferència de la covariància creuada entre dues variables diferents en ubicacions diferents, Cov(Z (x₁),Y (x₂))).

Simplificacions amb estacionarietat

En el cas d'un camp aleatori dèbilment estacionari, on

$C(x_{i},x_{j})=C(x_{i}+h,x_{j}+h)\,$

per a qualsevol retard h, la funció de covariància es pot representar mitjançant una funció d'un paràmetre

$C_{s}(h)=C(0,h)=C(x,x+h)\,$

que s'anomena covariograma i també funció de covariància. Implícitament el C (x_i,x_j) es pot calcular a partir de C_s(h) per:

$C(x,y)=C_{s}(y-x).\,$

La definició positiva d'aquesta versió d'un sol argument de la funció de covariància es pot comprovar amb el teorema de Bochner.

Famílies paramètriques de funcions de covariància

Per a una variància determinada $\sigma ^{2}$, una funció de covariància paramètrica estacionària simple és la "funció de covariància exponencial"

$C(d)=\sigma ^{2}\exp(-d/V)$

on V és un paràmetre d'escala (longitud de correlació) i d = d(x, y) és la distància entre dos punts. Els camins de mostra d'un procés gaussià amb la funció de covariància exponencial no són suaus. La funció de covariància "exponencial quadrat" (o " Gauss "):

$C(d)=\sigma ^{2}\exp(-(d/V)^{2})$

$C(d)=\sigma ^{2}\exp(-(d/V)^{2})$

La funció de covariància de Matérn i la funció de covariància quadràtica racional són dues famílies paramètriques de funcions de covariància estacionàries. La família Matérn inclou les funcions de covariància exponencial i exponencial quadrada com a casos especials.