Teorema de Bolzano-Weierstrass

En anàlisi real, el teorema de Bolzano-Weierstrass és un important teorema que afirma que tota successió fitada de nombres reals conté alguna successió parcial convergent. El teorema es pot generalitzar a successions fitades a ℝⁿ (per inducció i considerant una component cada vegada) i està relacionat amb el teorema de Heine-Borel.

Enunciat

El teorema de Bolzano-Weierstrass és un resultat fonamental referent a la convergència en un espai euclidià dimensionalment definit R_n. El teorema estableix que cada successió acotada en R_n té una sub-successió convergent. Una formulació equivalent és que un subconjunt de R_n és seqüencialment compacte si i només si és tancat i acotat.

Una successió és fitada si existeix un nombre real L tal que el valor absolut |a_n| és inferior a L per a tot índex n. Una successió parcial de {a_n} és una successió formada per alguns termes d'aquesta, sense variar l'ordre.

Demostració

En primer lloc, aplicant el mètode d'inducció matemàtica es pot demostrar el teorema quan n = 1.

Lema: Cada successió { x_n } en R té una sub-successió monòtona.

Demostració: Diem que un nombre enter positiu n és corresponent a un pic de la seqüència si m > n implica x_n > x_m  és a dir, si x_n és major que tots els termes següents de la successió. Suposem primer que la successió té pics infinits, n₁ < n₂ < n₃ < … < n_j < … Llavors la sub-successió corresponent   $\{x_{n_{j}}\}$  als pics és monòtonament decreixent, per tant el lema queda demostrat. Suposem ara que només hi ha un nombre finit de pics, sigui N l'últim pic i n₁ = N + 1. Llavors n₁ no és un pic, ja que n₁ > N, fet que implica l'existència d'un n₂ > n₁ con $x_{n_{2}}\geq x_{n_{1}}.$  Una vegada més, n₂ > N no és un pic, per tant hi ha n₃ > n₂ amb $x_{n_{3}}\geq x_{n_{2}}.$  Repetir aquest procés condueix a una sub-successió infinita no decreixent $x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}\leq \ldots$, si es vol.

En efecte, si per a tot n, a ≤ a_n ≤ b (perquè la successió a_n és fitada) es denota per I₀ el conjunt dels nombres reals x que compleixen a ≤ x ≤ b, llavors es divideix I₀ en dues meitats i s'escull la meitat de la dreta si conté infinits termes de la successió a_n. En cas contrari, s'escull la meitat esquerra. Es denota per I₁ la meitat escollida. Aleshores es torna a dividir I₁ en dues meitats i se n'escull una aplicant el criteri anterior. Es denota per I₂ la meitat escollida. Es repeteix el procés indefinidament.

D'aquesta manera s'aconsegueix que tots els conjunts escollits I₀, I₁, I₂, ... continguin infinits termes i a més a més, cadascun d'ells sigui subconjunt de l'anterior, ja que conté la meitat de termes que l'anterior. És a dir, cada subconjunt I_k té la meitat de llargada que el seu anterior i, per tant, el conjunt I_s tindrà una llargada L_s = (b − a)/2^s. Llavors es pot construir una successió {a_nk} d'elements de I_k amb n_k < n_k+1 (que vol dir que la successió no s'acaba, ja que a cada I_k sempre hi ha infinits termes de la successió a_n). A més a més, {a_nk} és una successió parcial de a_n. Aquesta successió parcial és una successió de Cauchy, ja que, per construcció, si n_k < n_l aleshores $\left|a_{n_{k}}-a_{n_{l}}\right|<L_{k}=(b-a)/2^{k}$. Com que la successió és de Cauchy també és convergent (ja que es treballa a ℝ que és complet).

Història

El teorema de Bolzano-Weierstrass deu el seu nom als matemàtics Bernard Bolzano i Karl Weierstrass. Va ser demostrat per primer cop per Bolzano l'any 1817 com un lema en la demostració del Teorema del valor intermedi. Uns cinquanta anys més tard, el resultat va ser indentificat com a significatiu per si mateix, i demostrat un cop més per Weierstrass. Des de llavors s'ha convertit en un teorema fonamental de l'anàlisi.

Vegeu també

• Teorema de Heine-Borel
• Teorema de Weierstrass

Bibliografia

• Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

Enllaços externs

• Michiel Hazewinkel (ed.). Bolzano-Weierstrass theorem. Encyclopedia of Mathematics (en anglès). Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric W., «Bolzano-Weierstrass Theorem» a MathWorld (en anglès).