Účinný průřez

Účinný průřez vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou bude některá ostřelující částice z nalétávajícího svazku interagovat s částicí terče. Za interakci lze považat například klasický odraz, Coulombický rozptyl (tedy rozptyl způsobený elektrickým polem) nebo jaderné či jiné reakce.

Značí se $\sigma \;$.

Účinný průřez je velmi důležitou veličinou při studiu srážek mikroskopických částic.

Celková pravděpodobnost interakce částic se označuje jako celkový (totální, integrální) účinný průřez. Tato veličina určuje, s jakou pravděpodobností bude dopadající částice rozptýlena do libovolného směru, případně s jakou pravděpodobností proběhne reakce. O vlastnostech interakce (a tedy i interagujících částic) však říká mnohem více diferenciální účinný průřez, který charakterizuje pravděpodobnosti rozptylu do jednotlivých směrů v prostoru.

Celkový účinný průřez

Celkový účinný průřez reakce se definuje jako

$\sigma ={\frac {R}{N\Gamma }}$,

kde $R$ $[s^{-1}]$ je četnost reakcí, $N$ $[-]$ je počet částic terčíku a $\Gamma [\mathrm {m} ^{-2}\mathrm {s} ^{-1}]$ je tok ostřelujících částic. Účinný průřez má tedy jednotku $m^{2}$.

Pro model zahrnující pouze srážky pevných těles bez vlivu sil je účinný průřez shodný s reálným průřezem terčíkových částic. Reakce (odraz) nastane, narazí-li nalétavající částice do tohoto průřezu.

Větší význam má zavedení účinného průřezu, bude-li se počítat s elektromagnetickými, jadernými, či jinými interakcemi. Zde se již vytrácí analogie s klasickým průřezem a je třeba mít na zřeteli, že se jedná o pravděpodobnost reakce a tedy o statistickou veličinu.

Celkový účinný průřez lze také získat integrací diferenciálního účinného průřezu přes všechny rozptylové úhly $\theta$, tedy přes celý prostorový úhel, tzn.

$\sigma =\int _{\Omega }\mathrm {d} \sigma \,$

Diferenciální účinný průřez

Počet částic svazku, které dopadají na jednotkovou plochu kolmou k dopadajícímu svazku za jednotkový čas bývá označován jako proudová hustota $j$ svazku. Různé částice svazku se k terčíkové částici přiblíží na různou vzdálenost (náměrná vzdálenost) a budou tedy rozptýleny do různých směrů, takže jejich rozptylové úhly budou odlišné. Srážkový parametr je vzdálenost částice svazku od osy svazku, která prochází silovým centrem (terčíkovou částicí). Označí-li se počet částic rozptýlených za časovou jednotku (jedním silovým centrem) do úhlu mezi $\theta$ a $\theta +\mathrm {d} \theta$ jako $\mathrm {d} N$, pak vzhledem k tomu, že každá částice dopadajícího svazku je rozptylována nezávisle a tedy $\mathrm {d} N$ je úměrné proudové hustotě $j$, lze zavést diferenciální účinný průřez jako

$\mathrm {d} \sigma ={\frac {\mathrm {d} N}{N}}$,

kde $N$ označuje počet dopadajících částic a $\mathrm {d} N$ představuje počet částic, které byly rozptýleny do intervalu úhlů od $\theta$ do $\theta +\mathrm {d} \theta$.

Tato veličina je charakteristikou interakce částic a nikoliv jejich geometrického uspořádání. Termín diferenciální zohledňuje skutečnost, že se jedná o charakteristiku rozptylu do úhlu $\mathrm {d} \theta$. Diferenciální účinný průřez $\mathrm {d} \sigma$ udává počet částic rozptýlených jedním silovým centrem (terčíkovou částicí) za jednotku času do úhlu mezi $\theta$ a $\theta +\mathrm {d} \theta$ při jednotkové proudové hustotě svazku, tedy při proudové hustotě, které odpovídá dopad jedné částice za 1 s na 1m².

Celkový počet částic $\mathrm {d} \nu$ rozptýlených za čas $\Delta t$ do úhlu mezi $\theta$ a $\theta +\mathrm {d} \theta$ získáme vynásobením diferenciálního účinného průřezu počtem rozptylových center, časovým intervalem $\Delta t$ a proudovou hustotou $j$ dopadajícího svazku.

Rozptylový úhel $\theta$ bývá monotónně klesající funkcí srážkového parametru $b$. Vztah mezi $b$ a $\theta$ je v takovém případě jednoznačný. Do úhlů mezi $\theta$ a $\theta +\mathrm {d} \theta$ budou v takovém případě rozptýleny pouze částice svazku, které mají srážkové parametry mezi $b(\theta )$ a $b(\theta )+\mathrm {d} b(\theta )$. Jedná se o částice svazku, které ve svazku prochází uvnitř mezikruží s poloměry $b$ a $b+\mathrm {d} b$. Při proudové hustotě $j$ je jejich počet $\mathrm {d} N=2\pi bj\,\mathrm {d} b$. Pro diferenciální účinný průřez pak vychází

$\mathrm {d} \sigma =2\pi b\,\mathrm {d} b$

Diferenciací $b(\theta )$ dostaneme $\mathrm {d} b={\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}\mathrm {d} \theta$ a dosazením do předchozího vztahu vznikne

$\mathrm {d} \sigma =2\pi b\left|{\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}\right|\mathrm {d} \theta$

Absolutní hodnota byla zavedena proto, že derivace ${\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}$ je obvykle záporná, zatímco $\mathrm {d} \sigma$ je definována jako nezáporná veličina.

Diferenciální účinný průřez bývá zvykem vyjadřovat prostřednictvím elementu prostorového úhlu $\mathrm {d} \Omega =2\pi \sin \theta \,\mathrm {d} \theta$. předchozí vztah pak získá tvar

$\mathrm {d} \sigma ={\frac {b(\theta )}{\sin \theta }}\left|{\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}\right|\mathrm {d} \Omega$

Související články

• Rozptyl
• Ráz těles
• Rutherfordův experiment
• Barn

Autoritní data	BNF: cb11951137r (data) GND: 4190024-8 LCCN: sh85034281 NLI: 987007533512405171

Portály: Fyzika