Axiom spočetného výběru

Axiom spočetného výběru (zkráceně ($\,AC_{\omega }$)) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které je slabší verzí axiomu výběru.

Znění

Axiom spočetného výběru lze vyslovit v kterékoli z běžně používaných axiomatizací teorie množin (ZF, NBG či KM) a to například takto:

Na každém spočetném souboru neprázdných množin $\,\{A_{i};i\in \omega \}$ existuje selektor (tj. zobrazení $f:\omega \rightarrow \ \cup _{i\in \omega }A_{i}$ takové, že $\,f(i)\in A_{i}$ pro všechna $\,i\in \omega$).

Význam

Axiom spočetného výběru je dostatečně silné tvrzení na to, aby pomocí něj bylo možno dokázat většinu základních poznatků matematické analýzy, které nějakou formu axiomu výběru potřebují. Takovými poznatky jsou například:

• sjednocení spočetného souboru spočetných množin je spočetná množina
• Heineho věta

Vztah k jiným tvrzením

Axiom spočetného výběru vyplývá z (obyčejného) axiomu výběru. Je dokonce důsledkem ještě slabšího tvrzení zvaného axiom závislého výběru. Opačné implikace neplatí, tj. axiom spočetného výběru je ostře slabší než axiom závislého výběru (a tedy než axiom výběru).

Nedokazatelnost axiomu spočetného výběru v ZF prokázal Paul Cohen.

Související články

• axiom závislého výběru
• axiom výběru
• axiom úplného výběru
• axiom silného výběru

Portály: Matematika