Defnyddir y nodiant canlynol ar gyfer pob un o'r chwech ffwythiant trigonometrig (sin, cosin (cos), tangiad (tan), cotangiad (cot), secant (sec), a chosecant (csc). Dim ond y nodiant ar gyfer sin a roddir isod, mae'r nodiant ar gyfer y ffwythiannau eraill yn gyffelyb.
Nodiant
|
Darllener
|
Disgrifiad
|
Diffiniad
|
sin²(x)
|
"sin sgwâr x"
|
sin wedi ei sgwario
|
sin²(x) = (sin(x))²
|
arcsin(x)
|
"arcsin x"
|
ffwythiant gwrthdro sin
|
arcsin(x) = y os a dim ond os sin(y) = x a
|
(sin(x))−1
|
"sin x, i'r [pŵer] meinws un"
|
Cilydd sin
|
(sin(x))−1 = 1 / sin(x) = csc(x)
|
Gellir ysgrifennu arcsin(x) yn sin−1(x) yn ogystal; rhaid gofalu rhag drysu hyn â (sin(x))−1.
(Gweler ffwythiant trigonometrig am fwy o wybodaeth)
Mae cyfnod o 2π gan y ffwythiannau sin, cosin, secant, a chosecant (cylch llawn): os mae yn unrhyw gyfanrif yna mae
Mae cyfnod o π (hanner cylch) gan y ffwythiannau tangiad a chotangiad:
Weithiau mae'n bwysig gwybod bod cyfuniad llinol o donau sin gyda'r un cyfnod (ond gyda gwahanol symudiad cydwedd) yn rhoi ton sin gyda'r un cyfnod. Yn gyffrefinol, mae
lle mae
Yn gyffredinol, am symudiad cydwedd mympwyol, mae gennym fod
lle mae
a
Seilir y canlynol ar theorem Pythagoras:
Gellir deillio'r ail a'r trydydd hafaliad uchod o'r cyntaf trwy rhannu â cos2(x) a sin2(x) yn ôl eu trefn.
Fe'u celwir hefyd yn "fformwlâu adio a thynnu". Gellir eu profi gan ddefnyddio fformwla Euler.
-
- (Pan y mae "+" ar y chwith, mae "+" ar y de, ac yn gyffelyb gyda "-".)
-
- (Pan y mae "+" ar y chwith, mae "-" ar y de, ac i'r gwrthwyneb.)
Gadewch i xi = tan(θi ), ar gyfer i = 1, ..., n. Gadewch i ek fod y polynomial cymesur elfennol gyda gradd k yn y newidynnau xi, i = 1, ..., n, k = 0, ..., n. Yna mae
gyda'r nifer o dermau yn dibynnu ar n.
Er enghraifft, mae
ac yn y blaen. Gellir profi hyn trwy anwythiad mathemategol.
Gellir profi'r canlynol trwy amnewid x = y yn y fformwlâu adio, a defnyddio'r fformwla Pythagoreaidd, neu trwy ddefnyddio fformwla de Moivre gydag n = 2.
Gellir defnyddio'r uchod i ganfod triawdau Pythagoraidd. os mae (a, b, c) yw hyd ochrau triongl ongl-sgwâr, yna mae (a2 − b2, 2ab, c2) hefyd yn ffurfio triongl ongl-sgwâr, lle mae B yw'r ongl a ddyblir. os mae a2 − b2 yn negatif, cymerwch ei wrthdro a defnyddio ongl cyflenwol 2B yn lle 2B.
Os mai Tn yw'r nfed polynomial Chebyshev, yna mae
Os mai Sn yw'r nfed polynomial gwasgar, yna mae
Fformwla de Moivre:
-
-
|
|
a |
|
a |
|
Amnewidiad o t am tan(x/2) yw hyn, gyda'r canlyniad fod sin(x) yn newid yn 2t/(1 + t2) a cos(x) yn (1 − t2)/(1 + t2). Mae hyn yn ddefnyddiol mewn calcwlws ar gyfer integreiddio ffwythiannau cymarebol o sin(x) a cos(x).
(gw. Theorem Ptolemi)
fformwla de Moivre
(Os am roi ystyr i'r fformwla tra fod unrhyw un o x, y, a z yn ongl sgwâr, rhaid cymryd mai ∞ yw'r ddau ochr. Nid +∞ neu −∞ yw hyn, ond un pwynt "at anfeidredd" a ychwanegir i'r linell rif real.)
lle mae i 2 = −1.
Gw. fformwla Euler.