Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Mengen 2

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Die natürlichen Zahlen $(\mathbb {N} )$

$\mathbb {N} :=\left\{1,2,3,4,5,...\right\}$ sind die sogenannten natürlichen Zahlen. Es sind alle ganzen Zahlen von Eins anfangend. Das folgende Axiomensystem von Guiseppe Peano beschreibt alle Eigenschaften dieser Menge.

Axiomensystem von G. Peano

1. $1$ ist eine natürliche Zahl
2. Jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ hat einen eindeutig bestimmten Nachfolger $n'(\,=n+1)\in \mathbb {N}$.
3. 1 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl
4. Für jede Menge $M\subseteq \mathbb {N}$, die 1 und mit $m$ auch jeden Nachfolger $m'$ enthält, gilt $M=\mathbb {N}$.

Beweisprinzip der vollständigen Induktion

Das Axiomensystem von G. Peano führt auf das sehr wichtige Beweisprinzip der vollständigen Induktion: $A(n)$ sein eine Aussage, in der eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ vorkommt. Wenn dann

1. $A(1)$ ist wahr
2. Falls $A(n)$ wahr ist, ist auch $A(n+1)$ wahr

gilt, ist die Aussage $A(n)$ für jede natürliche Zahl war. Häufig gebrauchte Varianten sind:

• Man startet bei $A(k)$. Die Aussage ist dann allerdings nur für $n>=k$ wahr.
• Als zweites verwendet man: Falls $A(1),A(2),\ldots ,A(n)$ wahr sind, ist auch $A(n+1)$ wahr.

Die Ganzen Zahlen $(\mathbb {Z} )$

Die Ganzen Zahlen sind alle Zahlen von minus Unendlich bis Unendlich. Also

$\mathbb {Z} :=\left\{0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots \right\}$.

Aufbau der ganzen Zahlen

Hier soll beschrieben werden, wie man aus N Z gewinnt.

Die rationalen Zahlen $(\mathbb {Q} )$

Die Rationalen Zahlen oder Brüche sind alle Zahlen, die sich als Bruch ${\frac {p}{q}}\ \mathrm {mit} \ p,\ q\in \mathbb {Z}$ schreiben lassen. Also:

$\mathbb {Q} :={\big \{}x{\big |}x={\frac {p}{q}};\quad p,\ q\in \mathbb {Z} {\big \}}$

Weitere häufig benutzte Mengen

• $\mathbb {Q} :=\left\{{\frac {p}{q}}\mid p\in \mathbb {Z} \land q\in \mathbb {N} \right\}$ Menge der rationalen Zahlen (Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen)
• $\mathbb {R}$ := Menge der reellen Zahlen
• $\mathbb {R} _{+}$ := Menge der positiven reellen Zahlen
• $\mathbb {C} :=\left\{(a,b)\mid a\in \mathbb {R} \land b\in \mathbb {R} \right\}$ Menge der komplexen Zahlen. $(a,b)$ kann als $a+bi$ geschrieben werden, wobei für die nicht-reelle Zahl $i:=\left(0,1\right)$ gilt: $i^{2}=-1$
• $\mathbb {F} _{2}$
• $\mathbb {F} _{3}$