Κλάσμα

Τα κλάσματα

Παράδειγμα κλασμάτων σε μία τούρτα

Το κλάσμα στα μαθηματικά αναπαριστά ένα κομμάτι του όλου (δηλαδή ενός ολόκληρου αντικειμένου), ή πιο γενικά έναν αριθμό ίσων κομματιών του όλου. Επίσης εκφράζει τον λόγο δύο μεγεθών, στον οποίο , αντί για μια συγκριτική συσχέτιση μεταξύ ποσοτήτων. Αποτελείται από δυο τμήματα, τον αριθμητή που βρίσκεται πάνω από τη γραμμή κλάσματος και τον παρονομαστή που βρίσκεται στο κάτω μέρος· ο αριθμητής και ο παρονομαστής λέγονται όροι του κλάσματος. Οι όροι μπορεί να είναι οποιοιδήποτε ακέραιοι αριθμοί, θετικοί ή αρνητικοί, με μοναδικό περιορισμό ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί ποτέ να είναι μηδέν. Το κλάσμα ουσιαστικά είναι μια μορφή αναπαράστασης του πηλίκου της διαίρεσης δυο αριθμών, του αριθμητή δια του παρονομαστή. Έτσι, μπορεί η αριθμητική του τιμή να ισούται με έναν ακέραιο ή έναν δεκαδικό αριθμό. Το κλάσμα είναι ρητός αριθμός. Το σύνθετο κλάσμα είναι ένα κλάσμα το οποίο για όρους έχει δυο άλλα κλάσματα.

Όπως και όλοι οι αριθμοί, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Ειδικοί κανόνες ισχύουν για την πρόσθεση και την αφαίρεση, όπου για να μπορέσει να εκτελεστεί η πράξη πρέπει τα κλάσματα να είναι ομώνυμα, δηλαδή να έχουν ίδιο παρονομαστή, κάτι που επιτυγχάνεται με πολλαπλασιασμό των όρων των κλασμάτων με τον κατάλληλο αριθμό ώστε οι παρονομαστές να γίνουν ίσοι με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο τους. Ο πολλαπλασιασμός γίνεται με πολλαπλασιασμό των ομόλογων όρων (αριθμητές με αριθμητές, παρονομαστές με παρονομαστές) ενώ η διαίρεση μέσω της απλοποίησης σύνθετου κλάσματος ή, πιο απλά, με πολλαπλασιασμό με το αντίστροφο του κλάσματος που αποτελεί το διαιρέτη.

Ορολογία

Ισοδύναμα Κλάσματα - Ανάγωγο Κλάσμα

Δύο διαφορετικά κλάσματα είναι δυνατόν να εκφράζουν την ίδια αριθμητική ποσότητα. Για παράδειγμα τα κλάσματα ${\frac {1}{2}}$ και ${\frac {2}{4}}$ εκφράζουν την ίδια αριθμητική ποσότητα (το μισό της μονάδας). Αυτό μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό με το παράδειγμα της τούρτας. Στην πρώτη περίπτωση, το κλάσμα ${\frac {1}{2}}$ εκφράζει το γεγονός ότι κόψαμε την τούρτα σε δύο κομμάτια, αλλά πήραμε το ένα, ενώ στη δεύτερη περίπτωση κόψαμε την τούρτα σε 4 κομμάτια και πήραμε τα δύο. Και στις δύο περιπτώσεις καταλήγουμε με την ίδια ποσότητα τούρτας. Αυτού του είδους τα κλάσματα λέγονται ισοδύναμα κλάσματα. Είναι προφανές για κάθε κλάσμα μπορούμε να βρούμε άπειρα άλλα που να είναι ισοδύναμα με αυτό. Ακολουθώντας το προηγούμενο παράδειγμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι όλα τα κλάσματα ${\frac {1}{2}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{6}},\dots ,{\frac {100}{200}},\dots$ είναι ισοδύναμα μεταξύ τους. Για αυτό το λόγο ορίζουμε το λεγόμενο ανάγωγο κλάσμα. Ένα κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής δεν έχουν άλλο κοινό διαιρέτη εκτός από τη μονάδα (είναι δηλαδή πρώτοι μεταξύ τους). Κάθε κλάσμα μπορούμε να το μετατρέψουμε σε ανάγωγο με τη διαδικασία της απλοποίησης. Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη τους. Για παράδειγμα το κλάσμα ${\frac {6}{15}}$ δεν είναι ανάγωγο αφού ΜΚΔ(6,15)=3. Διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με τον αριθμό 3 προκύπτει το κλάσμα ${\frac {6}{15}}={\frac {6\div 3}{15\div 3}}={\frac {2}{5}}$. Το κλάσμα ${\frac {2}{5}}$ είναι ίσο με το αρχικό κλάσμα και είναι ανάγωγο.

Ομώνυμα - Ετερώνυμα Κλάσματα

Τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή ονομάζονται ομώνυμα. Τα κλάσματα που δεν είναι ομώνυμα λέγονται ετερώνυμα. Για παράδειγμα τα κλάσματα ${\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}}$ είναι ομώνυμα, ενώ τα κλάσματα ${\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}}$ είναι ετερώνυμα.

Αν δύο κλάσματα δεν είναι ομώνυμα τότε μπορούμε να βρούμε δύο κλάσματα ισοδύναμα με αυτά που να είναι ομώνυμα. Για να γίνει αυτό ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

1. Υπολογίζουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των δύο παρονομαστών.
2. Διαιρούμε το ΕΚΠ των δύο παρονομαστών με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Με τον αριθμό που προκύπτει πολλαπλασιάζουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. (Ο αριθμός αυτός τοποθετείται συνήθως πάνω από το πρώτο κλάσμα μέσα σε ένα "καπελάκι")
3. Διαιρούμε το ΕΚΠ των δύο παρονομαστών με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Με τον αριθμό που προκύπτει πολλαπλασιάζουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. (Ο αριθμός αυτός τοποθετείται συνήθως πάνω από το δεύτερο κλάσμα μέσα σε ένα "καπελάκι")

Για παράδειγμα αν μας δοθούν τα κλάσματα ${\frac {5}{6}}$ και ${\frac {4}{15}}$, τα αντίστοιχα ομώνυμα κλάσματα προκύπτουν ως εξής: Αρχικά υπολογίζουμε το ΕΚΠ(6,15)=30. Αυτό σημαίνει ότι θα πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμό $30\div 6=5$. Έτσι προκύπτει το ισοδύναμο κλάσμα ${\frac {25}{30}}$. Ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος με τον αριθμό $30\div 15=2$. Έτσι προκύπτει το ισοδύναμο κλάσμα ${\frac {8}{30}}$. Η διαδικασία αυτή εφαρμόζεται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα (δηλαδή να βρούμε πιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο) ή όταν θέλουμε να προσθέσουμε/αφαιρέσουμε δύο κλάσματα.

Μεικτός Αριθμός (ή Μεικτό Κλάσμα)

Τα κλάσματα μπορούν να διαχωρισθούν σε δύο μεγάλες κατηγορίες. Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν τα κλάσματα των οποίων ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Αυτά τα κλάσματα ονομάζονται συνήθως "Κανονικά Κλάσματα" (στην ξένη βιβλιογραφία αναφέρονται ως proper fractions). Στην δεύτερη κατηγορία ανήκουν τα κλάσματα των οποίων ο παρονομαστής είναι μικρότερος από τον αριθμητή. Αυτά τα κλάσματα αναπαριστούν ποσότητες μεγαλύτερες από τη μονάδα και γι' αυτό μερικές φορές καλούνται μη κανονικά κλάσματα (improper fractions). Για παράδειγμα τα κλάσματα ${\frac {1}{2}},{\frac {5}{12}}$ είναι κανονικά κλάσματα, ενώ τα ${\frac {13}{4}},{\frac {5}{3}}$ μη κανονικά. Γενικότερα, αν λάβουμε υπ' όψη και την περίπτωση των αρνητικών κλασμάτων, κανονικά κλάσματα θεωρούνται αυτά που αναπαριστούν αριθμούς μεγαλύτερους του -1 και μικρότερους του 1.

Σε κάποιες περιπτώσεις, προτιμάται η χρήση των μεικτών αριθμών αντί για μη κανονικά κλάσματα. Μεικτός αριθμός ονομάζεται ο αριθμός που αποτελείται από ένα ζεύγος ενός μη μηδενικού ακέραιου αριθμού και ενός κανονικού κλάσματος. Το σύμβολο της πρόσθεσης μεταξύ των δύο αυτών όρων παραλείπεται. Για παράδειγμα ο μεικτός αριθμός $2{\frac {1}{3}}$ εκφράζει την ποσότητα "δύο και ένα τρίτο", δηλαδή $2{\frac {1}{3}}=2+{\frac {1}{3}}$. Κάθε μη κανονικό κλάσμα μπορεί να γραφεί με τη βοήθεια αυτού του συμβολισμού. Αρκεί να διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή και να πάρουμε το πηλίκο και το υπόλοιπο. Για παράδειγμα, στο κλάσμα ${\frac {25}{4}}$ η διαίρεση του αριθμητή με τον παρονομαστή θα δώσει πηλίκο 6 και υπόλοιπο 1. Οπότε, σύμφωνα με την ταυτότητα της διαίρεσης ($25=6\cdot 4+1$) θα γράψουμε:

${\frac {25}{6}}={\frac {6\cdot 4+1}{6}}={\frac {6\cdot 4}{6}}+{\frac {1}{6}}=4+{\frac {1}{6}}=4{\frac {1}{6}}$

Αντίστροφα κάθε μεικτός αριθμός μπορεί να γραφεί ως ένα απλό (μη κανονικό) κλάσμα αν εκτελεστεί η πράξη της πρόσθεσης. Για παράδειγμα

$4{\frac {1}{6}}=4+{\frac {1}{6}}={\frac {6\cdot 4}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {6\cdot 4+1}{6}}={\frac {25}{6}}$

Αριθμητική Κλασμάτων

Τα κλάσματα αποτελούν το σύνολο των ρητών αριθμών. Πιο συγκεκριμένα το σύνολο των ρητών ορίζεται ως εξής:

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {\mu }{\nu }},\;\mu ,\nu \in \mathbb {Z} ,\;\nu \not =0\right\}$.

Στο σύνολο των ρητών αριθμών μπορούμε να ορίσουμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, οι οποίες ικανοποιούν τις βασικές ιδιότητες που έχουν οι πράξεις και στους ακεραίους (αντιμεταθετική, προσεταιριστική και επιμεριστική ιδιότητα).

Απλοποίηση Κλάσματος

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, στον ορισμό των ισοδύναμων κλασμάτων μπορούμε μια συγκεκριμένη αριθμητική ποσότητα να την εκφράσουμε με πολλά ίσα κλάσματα. Αυτό μπορεί να γίνει πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με οποιονδήποτε μη μηδενικό ακέραιο αριθμό. Συνήθως, σε ένα κλάσμα με μεγάλους αριθμούς στις θέσεις του αριθμητή και του παρονομαστή εφαρμόζουμε τη διαδικασία της απλοποίησης διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη τους ώστε να προκύψει το ισοδύναμο ανάγωγο κλάσμα (π.χ. ${\frac {6}{15}}={\frac {6\div 3}{15\div 3}}={\frac {2}{5}}$). Η διαδικασία αυτή λέγεται απλοποίηση του κλάσματος αφού το νέο κλάσμα που προκύπτει έχει την ίδια αριθμητική τιμή, αλλά απλούστερα νούμερα.

Σύγκριση Κλασμάτων

Γενικά, για να συγκρίνουμε δύο κλάσματα αυτά θα πρέπει να είναι ομώνυμα, να έχουν δηλαδή τον ίδιο παρονομαστή. Τότε, ότι σχέση ανισότητας ισχύει για τους αριθμητές, θα ισχύει και για ολόκληρα τα κλάσματα. Για παράδειγμα ισχύουν οι ανισώσεις:

${\frac {2}{5}}>{\frac {1}{5}},\quad {\frac {13}{27}}>{\frac {4}{27}},\quad {\frac {-5}{13}}>{\frac {-8}{13}}.$

Αν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα, τότε για να τα συγκρίνουμε θα πρέπει να τα κάνουμε ομώνυμα. Θα πρέπει δηλαδή να βρούμε δύο ισοδύναμα κλάσματα με τα αρχικά, τα οποία θα είναι ομώνυμα. Αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε με τη διαδικασία που να αναφέρεται παραπάνω στην υποπαράγραφο "Ομώνυμα-Ετερώνυμα Κλάσματα". Για παράδειγμα, αν θέλουμε να συγκρίνουμε τα κλάσματα ${\frac {5}{6}}$ και ${\frac {13}{15}}$, βρίσκουμε τα ισοδύναμα ομώνυμα κλάσματα, τα οποία είναι τα ${\frac {25}{30}}$ και ${\frac {26}{30}}$ αντίστοιχα. Αφού ισχύει ότι ${\frac {25}{30}}<{\frac {26}{30}}$ θα ισχύει και ${\frac {5}{6}}<{\frac {13}{15}}$.

Μερικές φορές η σύγκριση μεταξύ δύο κλασμάτων μπορεί να γίνει και με άλλους τρόπους. Για παράδειγμα, αν δύο κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή, τότε μεγαλύτερο θα είναι το κλάσμα με τον μικρότερο παρονομαστή.

Πρόσθεση - Αφαίρεση Κλασμάτων

Για να προσθέσουμε δύο κλάσματα θα πρέπει αυτά να είναι ομώνυμα. Τότε, το αποτέλεσμα θα είναι το κλάσμα με αριθμητή το άθροισμα των αριθμητών και παρονομαστή τον κοινό παρονομαστή των δύο κλασμάτων. Για παράδειγμα: ${\frac {2}{13}}+{\frac {5}{13}}={\frac {2+5}{13}}={\frac {7}{13}}$. Κατ' αναλογία εκτελείται και η αφαίρεση: ${\frac {2}{13}}-{\frac {5}{13}}={\frac {2-5}{13}}={\frac {-3}{13}}=-{\frac {3}{13}}$.

Στην περίπτωση που δύο κλάσματα δεν είναι ομώνυμα, τότε για να εκτελεστεί η πρόσθεση θα πρέπει να βρούμε δύο ισοδύναμα κλάσματα με τα αρχικά, τα οποία θα είναι ομώνυμα και να κάνουμε την πρόσθεση σε αυτά. Αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε με τη διαδικασία που να αναφέρεται παραπάνω στην υποπαράγραφο "Ομώνυμα-Ετερώνυμα Κλάσματα". Για παράδειγμα για να εκτελέσουμε την πρόσθεση ${\frac {3}{10}}+{\frac {5}{8}}$, πρώτα βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των δύο παρονομαστών που είναι ίσο με 40. Οπότε θα έχουμε:

${\frac {3}{10}}+{\frac {5}{8}}={\frac {3\cdot 4}{10\cdot 4}}+{\frac {5\cdot 5}{8\cdot 5}}={\frac {12}{40}}+{\frac {25}{40}}={\frac {12+25}{40}}={\frac {37}{40}}.$ Κατ' αναλογία γίνεται και η αφαίρεση: ${\frac {5}{8}}-{\frac {3}{10}}={\frac {25}{40}}-{\frac {12}{40}}={\frac {25-12}{40}}={\frac {13}{40}}.$

Στην περίπτωση που θέλουμε να προσθέσουμε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, εφαρμόζουμε την παραπάνω διαδικασία μετατρέποντας τον ακέραιο αριθμό σε κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Για παράδειγμα: $2+{\frac {3}{5}}={\frac {2}{1}}+{\frac {3}{5}}={\frac {10}{5}}+{\frac {3}{5}}={\frac {13}{5}}.$

Πολλαπλασιασμός Κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα, πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές ξεχωριστά. Το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα που έχει ως αριθμητή το γινόμενο των δύο αριθμητών και ως παρονομαστή το γινόμενο των δύο παρονομαστών. Για παράδειγμα:

${\frac {2}{7}}\cdot {\frac {4}{5}}={\frac {2\cdot 4}{7\cdot 5}}={\frac {8}{35}}.$

Για να πολλαπλασιάσουμε έναν ακέραιο αριθμό με ένα κλάσμα, εφαρμόζουμε τον ίδιο κανόνα, μετατρέποντας τον ακέραιο αριθμό σε κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Για παράδειγμα: $2\cdot {\frac {3}{5}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{5}}={\frac {2\cdot 3}{1\cdot 5}}={\frac {6}{5}}.$ Δηλαδή σε αυτή την περίπτωση πολλαπλασιάζεται ο αριθμητής του κλάσματος με τον ακέραιο αριθμό, χωρίς να αλλάζει ο παρονομαστής.

Αντιστροφή Κλάσματος.

Αντίστροφο ενός δοσμένου κλάσματος ονομάζεται το κλάσμα που αν πολλαπλασιαστεί με το αρχικό δίνει αποτέλεσμα ίσο με τη μονάδα. Όλοι οι ρητοί αριθμοί εκτός από το 0 έχουν αντίστροφο. Το αντίστροφο κλάσμα έχει αριθμητή ίσο με τον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος και παρονομαστή ίσο με τον αριθμητή του αρχικού κλάσματος. Για παράδειγμα το αντίστροφο του ${\frac {2}{3}}$ είναι το ${\frac {3}{2}}$, το αντίστροφο του ${\frac {1}{3}}$ είναι το ${\frac {3}{1}}=3$, ενώ το αντίστροφο του $5={\frac {5}{1}}$ είναι το ${\frac {1}{5}}$.

Διαίρεση Κλασμάτων

Η διαίρεση δύο κλασμάτων (από τα οποία ο διαιρέτης θα πρέπει να είναι μη μηδενικός αριθμός) γίνεται πολλαπλασιάζοντας το πρώτο κλάσμα (διαιρετέος) με το αντίστροφο του δεύτερου κλάσματος (διαιρέτης). Για παράδειγμα:

${\frac {2}{5}}\div {\frac {3}{8}}={\frac {2}{5}}\cdot {\frac {8}{3}}={\frac {2\cdot 8}{5\cdot 3}}={\frac {16}{15}}$.

Μετατροπή Κλάσματος σε Δεκαδικό Αριθμό

Κάθε κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε έναν δεκαδικό αριθμό αν διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή εφαρμόζοντας τον κλασσικό αλγόριθμο της κάθετης διαίρεσης. Για παράδειγμα, το κλάσμα ${\frac {13}{25}}$ δίνει ως πηλίκο τον αριθμό 0.52. Πολύ συχνά, η διαίρεση δεν μπορεί να ολοκληρωθεί γιατί το υπόλοιπο δεν γίνεται ποτέ ίσο με το 0. Σε αυτή την περίπτωση, όμως, μπορούμε να βρούμε μια περιοδικότητα στα ψηφία του δεκαδικού αριθμού. Για παράδειγμα, το κλάσμα ${\frac {11}{15}}$ δίνει ως πηλίκο τον αριθμό 0.7333... Σε αυτή την περίπτωση η διαίρεση δεν μπορεί να ολοκληρωθεί ποτέ, αλλά παρατηρούμε ο αριθμός 3 επαναλαμβάνεται επ' άπειρον.

Μετατροπή Δεκαδικού Αριθμού σε Κλάσμα

Αντιστρόφως κάθε δεκαδικός αριθμός, με πεπερασμένο πλήθος δεκαδικών ψηφίων, μπορεί εύκολα να γίνει κλάσμα. Για παράδειγμα ο αριθμός 12.345 μπορεί να γραφεί ως: $12.345={\frac {12345}{1000}}$. Η διαδικασία μετατροπής είναι πολύ απλή. Αρκεί να βάλουμε στον αριθμητή τον αριθμό χωρίς υποδιαστολή και στον παρονομαστή το 1 με τόσα μηδενικά όσα τα ψηφία δεξιά της υποδιαστολής.

Στην περίπτωση ενός περιοδικού δεκαδικού αριθμού με άπειρα ψηφία δεξιά της υποδιαστολής (τα οποία όμως έχουν ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο) η διαδικασία είναι κάπως πιο περίπλοκη. Το παρακάτω παράδειγμα δίνει ένα γενικό περίγραμμα αυτής της διαδικασίας. Ας υποθέσουμε ότι δίνεται ο αριθμός 12.3456565656... Αρχικά εργαζόμαστε με το περιοδικό μέρος ως εξής:

${\begin{aligned}x&=0.56565656...\\100x&=56.565656..\\100x&=56+0.56565656...\\100x&=56+x\\99x&=56\\x&={\frac {56}{99}}\end{aligned}}$

Στη συνέχεια γράφουμε

${\begin{aligned}12.34565656..&=12.34+0.00565656...=12.34+{\frac {x}{100}}={\frac {1234}{100}}+{\frac {\frac {56}{99}}{100}}={\frac {1234}{100}}+{\frac {56}{9900}}\\&={\frac {1234\cdot 99}{100\cdot 99}}+{\frac {56}{9900}}={\frac {122166}{9900}}+{\frac {56}{9900}}={\frac {122222}{9900}}\end{aligned}}$

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι

• Calculator Soup: web εφαρμογή που κάνει πράξεις μεταξύ κλασμάτων
• Fractions Calculator - Εφαρμογή σε Android που υλοποιεί όλες τις πράξεις μεταξύ κλασμάτων.

Ελληνικά άρθρα

• Π. Μαρουσάκης (1978). «Το κλάσμα και ο λόγος». Ευκλείδης Β΄ (4): 150-151. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4108. 

Ξενόγλωσσα άρθρα

• Bryan, G. H. (Οκτωβρίου 1915). «451. [c. 1. g. Partial Fractions with Repeated Factors in Denominator»]. The Mathematical Gazette 8 (119): 157–157. doi:10.2307/3604695. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1915-10_8_119/page/157. 
• Culpin, D.; Griffiths, D. (Μαρτίου 1979). «63.8 Egyptian fractions». The Mathematical Gazette 63 (423): 49–51. doi:10.2307/3615218. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1979-03_63_423/page/49. 
• Leung, King-Shun; Sze, Chong-Lap (Μαρτίου 2007). «91.08 Paper folding fractions». The Mathematical Gazette 91 (520): 87–91. doi:10.1017/S0025557200181045. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2007-03_91_520/page/87.