Τελεστής (μαθηματικά)

Ο τελεστής στα μαθηματικά ορίζεται γενικά ως μία συνάρτηση που δρα πάνω σε κάποια άλλη συνάρτηση, μετασχηματίζοντάς την κατά ένα καθορισμένο τρόπο. Μπορεί να θεωρηθεί γενίκευση της έννοιας της συνάρτησης, καθώς οι συναρτήσεις δρουν συνήθως πάνω σε μεμονωμένα «αντικείμενα», ενώ ένας τελεστής μπορεί να δράσει πάνω στη «μορφή» μιας συνάρτησης ως σύνολο και να δώσει μια άλλη συνάρτηση.

Ένας τελεστής παριστάνεται συνήθως με ένα σύμβολο το οποίο τίθεται μπροστά από μία συνάρτηση (με τη γενική έννοια) και την αλλάζει σε κάποια άλλη συνάρτηση των ίδιων μεταβλητών. Οι τελεστές συμβολίζονται συνήθως με ένα κεφαλαίο γράμμα με το σύμβολο ^ πάνω του, π.χ.: ${\hat {A}}$.

Ένα παράδειγμα τελεστή είναι αυτός της παραγώγισης ${\hat {D}}$, ο οποίος για μονοδιάστατη συνάρτηση μεταβλητής $x$, έχει τη μορφή: ${\hat {D}}={\frac {d}{dx}}$. Γενικά μπορεί κανείς να ορίσει μέσω τελεστή οποιονδήποτε μετασχηματισμό. Για παράδειγμα, η «πράξη» της μετατόπισης του γραφήματος μιας συνάρτησης κατά 5 μονάδες προς τα δεξιά θα συμβολιζόταν ως ${\hat {T}}f(x)=f(x-5)$, όπου ${\hat {T}}$ ο τελεστής της συγκεκριμένης πράξης και $f(x)$ τυχούσα συνάρτηση επί της οποίας δρα.

Ένας πιο πλήρης ορισμός του τελεστή χρησιμοποιεί την έννοια του γραμμικού διανυσματικού χώρου: «Δοθέντων δύο γραμμικών διανυσματικών χώρων $V_{1}$ και $V_{2}$, καλούμε τελεστή ή μετασχηματισμό τη μονότιμη διανυσματική συνάρτηση, δηλαδή την απεικόνιση Α που δρα ως εξής:»

$V_{1}\supseteq D_{A}\ni {\vec {\psi }}\longrightarrow {\vec {\phi }}\in R_{A}\subseteq V_{2}$

δηλαδή, σε κάθε διάνυσμα ${\vec {\psi }}$ του υποσυνόλου $D_{A}$ (πεδίο ορισμού) του χώρου $V_{1}$, η Α αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα διάνυσμα${\vec {\phi }}$ του υποσυνόλου $R_{A}$ (πεδίο τιμών) του χώρου $V_{2}$.

Συμβολικά γράφουμε: ${\hat {A}}{\vec {\psi }}={\vec {\phi }}$, όπου τα βέλη μπορούν να παραλείπονται χάριν απλότητας. Η ίδια σχέση με το συμβολισμό του Ντιράκ (Dirac) που χρησιμοποιείται ευρέως σε προβλήματα κβαντομηχανικής γράφεται: ${\hat {A}}\mid \psi >\ =\mid \phi >\$. (Ένα σύνολο συναρτήσεων, υπό συγκεκριμένες προϋποθέσεις, μπορούν να θεωρηθούν διανύσματα που ανήκουν σε έναν αφηρημένο διανυσματικό χώρο με άπειρη διάσταση. Οι τιμές της συνάρτησης αντιστοιχούν τότε στις «συνιστώσες»« του διανύσματος).

Γενικά

Η χρήση της λέξης τελεστής στα μαθηματικά προϋποθέτει τη χρήση συναρτήσεων: ένας τελεστής μπορεί να ληφθεί ως μία ειδική συνάρτηση, που εφαρμόζεται σε κάποια άλλη συνάρτηση. Ένας τελεστής μπορεί να έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:

• Να υποστηρίζει υπερφόρτωση, κατά την οποία ο ίδιος τελεστής μπορεί να επιδρά σε αριθμούς, διανύσματα, μήτρες κ.ο.κ. με παρόμοια δράση.
• Να αποτελεί γενικά μία μερική συνάρτηση, πράγμα που συνηθίζεται στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων, αφού δεν υπάρχει εξ αρχής εγγύηση για την ύπαρξη παραγώγων.
• Να εφαρμόζεται τελεστής σε τελεστές.

Ένας τελεστής μπορεί να δρα πάνω σε περισσότερα από ένα αντικείμενα. Για παράδειγμα, ο τελεστής της πρόσθεσης, +, είναι ένας δυαδικός τελεστής - σε κάθε ζεύγος αντικειμένων (α,β) αντιστοιχεί ένα τρίτο αντικείμενο, το α+β. Τα αντικείμενα μπορεί να είναι αριθμοί, μήτρες, διανύσματα, συναρτήσεις κ.ο.κ. Ένα άλλο παράδειγμα δυαδικού τελεστή είναι η σύνθεση συναρτήσεων που συμβολίζεται με «$\circ$» και ορίζεται ως εξής: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$. Οι δυαδικοί τελεστές κατά το συμβολισμό τοποθετούνται συνήθως ανάμεσα στα αντικείμενα στα οποία δρουν.

Οι τελεστές χρησιμοποιούνται σε επιστήμες όπως τα μαθηματικά, η επιστήμη των υπολογιστών και η φυσική (με εκτεταμένη χρήση στην κβαντομηχανική).