Hulk

See artikkel on matemaatika mõistest; teiste tähenduste kohta vaata lehekülge Hulk (täpsustus).

Hulga mõiste on üks nüüdisaegse matemaatika põhimõisteid. Lihtsustatult öeldes on hulk eri objektide kogum. Objekte, mis hulga moodustavad (hulka kuuluvad), nimetatakse selle hulga elementideks, kusjuures hulk võib sisaldada nii lõpliku (sealhulgas ühe) või lõpmatu arvu elemente kui ka mitte ühtegi elementi.

Esimeste näidetena hulkadest tuuakse sageli füüsiliste objektide kogumeid: linnuparv, klassitäis õpilasi jne. Matemaatikas on hulkade elementideks enamasti matemaatilised objektid, näiteks arvud, kuid hulki võib põhimõtteliselt moodustada mis tahes objektidest. Siiski peab olema täidetud kaks olulist tingimust: hulga elemendid on omavahel eristatavad ja iga objekti puhul peab olema võimalik üheselt otsustada, kas ta kuulub vaadeldavasse hulka või mitte.

Hulga elementideks võivad olla ka teised hulgad. Hulga element ja hulk ise on aga erinevad objektid^[a], mistõttu pole hulk kunagi iseenda elemendiks. Seetõttu ei saa rääkida ka kõikide hulkade hulgast, sest selline hulk peaks sisaldama ka iseennast. Selle asemel räägitakse kõikide hulkade klassist või kõikide hulkade kogumist.^[1]

Mõnikord nimetatakse hulki ka kogumiteks või süsteemideks.^[2] Viimast väljendit kasutatakse enamasti juhul, kui räägitakse hulgast, mille elemendid on hulgad (vt hulkade süsteem).

Ajalugu

Hulgateooria rajas ja hulga mõistele andis esimesena range väljenduse Georg Cantor 19. sajandi lõpus. Pärast Cantori naiivse hulgateooria paradokside (näiteks Russelli paradoks või Cantori paradoks) avastamist, loodi mitmeid aksiomaatilisi hulgateooriaid, millest levinuim on Zermelo-Faenkeli hulgateooria koos valikuaksioomiga. Arvatakse, et viimases paradokse ei esine.

Tänapäeval põhineb peaaegu kogu matemaatika mõistestik hulgateoorial. 20. sajandi lõpupoole hakati hulga mõistet kasutama alushariduses.

Konkreetse hulga määratlemine

Et hulk oleks määratletud, peab iga objekti puhul olema võimalik üheselt otsustada, kas see sellesse hulka kuulub või mitte^[b]. Järgnevalt kirjeldatakse erinevaid võimalusi hulkade määratlemiseks.

Määratlemine üldkeele väljendiga

Mõnda hulka saab määratleda üldkeele väljendiga, näiteks "Eesti Vabariigi presidendid 20. sajandil" või "kõik paarisarvud 1 ja 191 vahel".

Määratlemine loetlemise abil

Üks viis hulga määratlemiseks on hulga elementide loetlemine.

Matemaatikas tähistatakse loeteluga määratletud hulka avaldisega, milles loetelu esitatakse looksulgude vahel ning loetletavad elemendid on eraldatud komadega, näiteks: {Konstantin Päts, Lennart Meri}. Pikemate loetelude korral on kombeks loetleda esimesed kaks või kolm elementi, kirjutada kolm punkti ning lõpuks tuua ära üks või kaks viimast elementi: näiteks 1-st suuremate ja 191-st väiksemate paarisarvude hulk on {2, 4, 6, ..., 188, 190}. Loomulikult on täies mahus loetletavad vaid lõplikud hulgad. Lõputute hulkade puhul lõpetatakse loetelu kolme punktiga, mis tähistab asjaolu, et loetelu ei lõppegi. Näiteks täisarvude hulka võib tähistada järgmiselt: {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}. Mõttepunktide kasutamine on õigustatud vaid juhul, kui loetelu täiendamise reegel on kontekstist kergesti leitav. Viimase asjaolu tõttu ei kasutata loetlemist keerukate lõpmatute hulkade defineerimisel.

Hulga määratlemisel on ebaoluline, millises järjekorras elemendid loetletud on. Näiteks {1, 2, 3} ja {3, 2, 1} tähistavad üht ja sama hulka. Mõnikord eelistatakse hulga elemente kirjutada teatud kindlas järjekorras, sest selline esitus võib olla ülevaatlikum. Näiteks reaalarvudest moodustatud hulga elemente esitatakse tihti kasvavas järjekorras.

Hulk sisaldab identseid elemente vaid üks kord. Seega pole tähtis, mitu korda mõni objekt loetelus esineb. Kui loetelus peaks mõni objekt esinema mitu korda, siis on määratletud sama hulk nagu selle objekti ühekordsel loetlemiselgi. Näiteks {1, 2, 3, 1, 2, 3} on sama hulk mis {1, 2, 3}^[c].

Loetlemisel võib kasutada ka hulga elemente määravaid kirjeldusi. Sel juhul muutub küll hulga elemendi esitusviis, kuid element ise jääb samaks. Näiteks on {taasiseseisvunud Eesti Vabariigi esimene president, 71+71} sama hulk mis {Lennart Meri, 142). Kui soovitakse loetleda väljendeid endid, siis tähistatakse need vastavalt kokkulepitud tähistusviisile, näiteks jutumärkide abil: {"Lennart Meri", "142"} pole sama hulk mis {Lennart Meri, 142}, sest viimasesse kuulub üks inimene ja üks arv, esimesse aga kaks väljendit.

Määratlemine tingimuse abil

Hulk võidakse määratleda tingimuse kaudu, mida mingi üldisema hulga elemendid peavad rahuldama, et olla määratletava hulga elemendid. See tingimus sõnastab hulga elementide iseloomuliku tunnuse, mis neid üldisema hulga teistest elementidest eristab. Niiviisi määratletud hulga tähistamiseks märgitakse looksulgude vahele kõigepealt, millisest hulgast elemendid võetakse, ja seejärel esitatakse püstkriipsu (mõnikord ka kooloni) järel tingimus, mida elemendid rahuldama peavad. Näiteks hulka A, mis sisaldab naturaalarve 2-st 190-ni, võib tähistada järgmiselt:

A=\{n\in \mathbb {N} |n{\text{ on paarisarv}},n>1,n<191\},

kus enne püstkriipsu on öeldud, et n on naturaalarvude hulga element.

Tingimus määratleb hulga ka juhul, kui pole teada, millised objektid seda tingimust rahuldavad. Näiteks altkäemaksu võtnud ametnike hulk on määratletud ka siis, kui pole teada, millised ametnikud altkäemaksu on võtnud.

Selleks et hulk oleks tingimuse abil määratletud, peab tingimus olema sõnastatud ühemõtteliselt, nii et hulga elemendid oleksid üheselt fikseeritud. Ebamäärase sõnastuse puhul hulga määratlemine õnnestuda ei pruugi. Samas ei taga tingimuse ühemõtteline sõnastus ilmtingimata hulga olemasolu. Näiteks "kõikide niisuguste hulkade hulk, mis pole iseenda elemendiks" viib Russelli paradoksini, mille tõttu ei õnnestu määratleda, kas määratletav hulk ise on enda element.

Määratlemine tehete abil

Hulkadega on võimalik teha mitmeid tehteid. Hulk võidakse määratleda ka mõne niisuguse tehte tulemina.

Rekursiivne määratlemine

Hulki saab defineerida ka rekursiivselt. Seda võimalust kasutatakse eelkõige lõpmatute hulkade puhul. Näiteks Fibonacci arvude hulga kaks esimest elementi on arvud 0 ja 1 ning iga järgmine element on kahe eelmise summa.

Tähistamine

Tavaliselt tähistatakse hulki suurte ladina tähtedega A, B, C,... ja selle elemente väikeste ladina tähtedega a, b, c,.... Elemendi a kuuluvust hulka A tähistatakse

a\in A

ning öeldakse, et $a$ on hulga $A$ element ehk $a$ kuulub hulka $A$ . Asjaolu, et $a$ ei kuulu hulka $A$ , tähistatakse

a\notin A

.

Tühi hulk

Tühjas hulgas pole ühtki elementi. See mõiste on vajalik sellepärast, et hulk võib olla määratletud tingimusega, mida ükski objekt ei rahulda. Lisaks on tühja hulga mõiste abil võimalik hulkade kohta käivaid üldiseid väiteid lihtsamalt sõnastada.

Hulkade võrdsus ja hulga ekstensionaalsus

Kaht hulka loetakse võrdseks ehk identseks parajasti siis, kui mõlemasse hulka kuuluvad ühed ja samad elemendid. Hulkade A ja B võrdsust tähistatakse võrdusmärgiga: A=B.

Seda asjaolu nimetatakse hulga ekstensionaalsuseks^[d].

Hulga ekstensionaalsusest järeldub muuseas, et leidub vaid üks tühi hulk. Tõepoolest, kui oletada, et leidub mõni muu hulk, millel ei ole ühtki elementi, siis ta peab olema tühja hulgaga võrdne, sest neil on "ühed ja samad elemendid".

Alamhulgad

Hulga A kõik elemendid kuuluvad hulka B: hulk A on hulga B alamhulk ehk osahulk

Pikemalt artiklis Alamhulk

Kui hulga A kõik elemendid kuuluvad hulka B (siis peab hulgas B olema vähemalt sama palju elemente kui hulgas A), siis öeldakse, et hulk A on hulga B alamhulk ehk osahulk. Seda asjaolu tähistatakse $A\subseteq B$ (või mõnikord ka $A\subset B$ ). Seega on hulgad A ja B võrdsed (A=B) parajasti siis, kui A on B alamhulk ja B on A alamhulk. Näiteks on naturaalarvude hulk $\mathbb {N}$ = {0, 1, 2, ...} täisarvude hulga $\mathbb {Z}$ = {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} alamhulk.

Formaalsemalt võib alamhulga mõiste defineerida järgmiselt: $A\subseteq B$ parajasti siis, kui sellest, et $x\in A$ , järeldub, et $x\in B$ . Selle definitsiooni järgi on iga hulk iseenda alamhulk: $A\subseteq A$ . Viimasele asjaolule viitab ka alumine kriips sümbolis $\subseteq$ (võrdle märgiga ≤).

Hulka A nimetatakse hulga B pärisalamhulgaks, kui A on B alamhulk, kuid B pole A alamhulk. Seda asjaolu tähistatakse $A\subset B$ (või mõnikord ka $A\subsetneq B$ ).

Lõplikud ja lõpmatud hulgad

Hulka, milles on n elementi, kus n on naturaalarv, nimetatakse lõplikuks hulgaks võimsusega n. Hulka, mis pole tühihulk ja mille elementide arvu ei saa väljendada ühegi naturaalarvu abil, nimetatakse lõpmatuks hulgaks. Öeldakse, et sellel hulgal on lõputult palju elemente.

Lõpmatud hulgad erinevad lõplikest veel selle poolest, et nende võimsus ei muutu, kui neist lõplik arv elemente eemaldada: piltlikult öeldes jääb neisse pärast eemaldamist "sama palju" elemente. Kui näiteks eemaldada naturaalarvude hulgast arvud 1 kuni 1 000 000, siis jääb ikkagi alles naturaalarvude võimsusega hulk. Lõplikel hulkadel seda omadust pole: kui lõplikust hulgast eemaldada n elementi, siis hulga võimsus väheneb n võrra.

Võiks arvata, et lõpmatute hulkade võimsused on võrdsed (kõigil neil on "sama palju" elemente). Nii see siiski pole. Saab näidata, et näiteks naturaalarvude hulga võimsus erineb reaalarvude hulga võimsusest. Vaata ka artikleid Cantori teoreem ja Cantori diagonaaltõestus.

Tehted hulkadega

Pikemalt artiklis Tehted hulkadega

Hulkadel saab defineerida mitmeid tehteid. Alljärgnevalt esitatakse neist olulisimad:

Hulkade ühisosa

Hulkade A ja B ühisosa $A\cap B$ . Venni diagramm

Pikemalt artiklis Ühisosa

Hulkade $A$ ja $B$ ühisosa ehk lõige ehk korrutis koosneb kõikidest elementidest, mis kuuluvad nii hulka $A$ kui ka hulka $B$ . Hulkade $A$ ja $B$ ühisosa tähis on $A\cap B$ .

Kui kahel hulgal pole ühtki ühist elementi, siis neid nimetatakse ühisosata hulkadeks ehk disjunktseteks hulkadeks. Ühisosata hulkade ühisosa on tühi hulk.

Hulkade ühend

Hulkade A ja B ühend $A\cup B$ . Venni diagramm

Pikemalt artiklis Ühend

Hulkade A ja B ühend ehk summa saadakse, kui võetakse kokku kõik elemendid mis kuuluvad kas hulka A või hulka B või mõlemasse. Hulkade A ja B ühendi tähis on $A\cup B$ .

Hulkade vahe

Pikemalt artiklis Hulkade vahe

Hulkade A ja B vahesse kuuluvad parajasti need elemendid, mis kuuluvad hulka A, kuid ei kuulu hulka B. Hulkade A ja B vahe tähis on $\setminus$ .

Hulga täiend

Pikemalt artiklis Hulga täiend

Hulga A täiendist saab rääkida, kui on määratletud universaalhulk U, mis sisaldab vaadeldavas probleemis käsitlevate hulkade kõikvõimalikke elemente. A täiendiks universaalhulga U suhtes nimetatakse hulkade U ja A vahet U \ A.

Hulga mõiste defineerimine

Hulga mõiste defineerimine pole lihtne, sest tegemist on algmõistega. Naiivses hulgateoorias hulga mõistet pelgalt selgitatakse. Georg Cantor on öelnud:^[3]

"Hulk on selline kindlate ja omavahel erinevate meie mõttes või kaemuses asuvate objektide kogum, millest saab mõelda kui tervikust. Neid objekte nimetatakse hulga elementideks."

Richard Dedekindile omistatakse hulga mõiste näitlik tõlgendus, mille järgi hulk on nagu kott, mis sisaldab mingeid asju. Selline tõlgendus teeb arusaadavaks ka tühja hulga mõiste: tühi hulk ei ole mitte eimiski, vaid otsekui kott, milles ühtegi asja sees ei ole.

Tänapäeva matemaatikas on elementide omadused määratud ainult eeldatavate elementidevaheliste suhetega (matemaatiliste struktuuridega), mitte elementide endi omadustega. Hulgateoorias on tähtis üksnes eeldatav võimalus elemente üksteisest eristada.

Aksiomaatilise hulgateooria mõnes^[viide?] variandis eristatakse Russelli paradoksi ja teiste antinoomiate vältimiseks hulki ja klasse. Esmalt vaadeldakse kuuluvusseost (elemendiks olemise seost) klasside vahel ning seejärel defineeritakse hulk klassina, mis on omakorda mõne klassi element. Hulga täielik definitsioon antakse aksiomaatilise hulgateooria aksiomaatikas. Tuntumad aksiomaatikad on Zermelo-Fraenkeli aksiomaatika ja Neumanni-Bernaysi-Gödeli aksiomaatika.

Vaata ka

Kirjandus

Eesti keeles

Jevgeni Gabovitš. Arvudeta matemaatika: populaarne sissejuhatus tänapäeva matemaatikasse, Tallinn: Valgus 1968.
Naum Vilenkin. Jutustusi hulkadest, Tallinn: Valgus 1968.
Peeter Oja. Hulgateooria, Tartu: Tartu Ülikooli Kirjastus 2006.

Võõrkeeltes

Barbara Hall Partee, Alice G. B. ter Meulen, Robert Eugene Wall. Mathematical methods in linguistics, 1990, lk 3–11. Google'i raamat

Märkused

^a Tänapäeval on arendatud ka aksiomaatilisi hulgateooriaid, kus antud väide ei kehti, st hulgad võivad olla iseenda elementideks. Samuti ei sisalda seda väidet Cantori naiivne hulgateooria. Lisaks tuleb märkida, et antud nõue pole postuleeritud vaid järeldub näiteks Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikast. ^b Hulga üldistuseks on hägus hulk, milles iga objekti korral on määratud, mil määral ta antud hägusasse hulka kuulub; hulkade puhul objekt lihtsalt kuulub või ei kuulu antud hulka. ^c Nimetatud asjaolu eristab hulka multihulgast, mille puhul on oluline ka elemendi esinemise kordade arv, kuid siiski mitte elementide järjekord. ^d Nimetus tuleb sellest, et hulk on määratud oma ekstensiooniga, mis omakorda tuleneb tema elementide ekstensioonidest. Elemente võidakse küll nimetada intensiooni kaudu, s.o viidates elementide iseloomulikele omadustele, kuid hulga määrab ainult see, millistel elementidel need omadused on, mitte see, milliste omaduste kaudu elementidest räägitakse

Viited

↑ P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 5
↑ Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)
↑ Hrbacek K., Jech T, "Introduction to set theory" 3. trükk (1999), lk 1

Välislingid

Wolfram MathWorld: Set (inglise keeles)

[1] P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 5

[2] Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

[3] Hrbacek K., Jech T, "Introduction to set theory" 3. trükk (1999), lk 1

[1]

[2]

[3]