Splain

Splain on sile, ühesuguse struktuuriga tükiti polünomiaalne funktsioon, mis liitepunktides rahuldab teatud sileduse tingimusi. Interpolatsiooniprobleemides eelistatakse tihtipeale splain-interpolatsiooni polünomiaalsele interpolatsioonile, kuna see annab sarnaseid tulemusi, isegi kui kasutada madala astme polünoome.^[1]

Mõiste "splain" pärineb painduvatest spiraalsetest seadmetest, mida laevaehitajad jajoonestajad kasutavad siledate kujundite saamiseks.^[2]

Sissejuhatus

Mõistet "splain" kasutatakse viitamiseks laiale funktsioonide klassile, mis tegeleb andmete interpoleerimise ja/või silumisega. Andmed võivad olla kas ühe- või mitmemõõtmelised. Splainidega lähendamine on tükiti interpoleerimine ühe ja sama astme polünoomiga.^[1]

Splain-funktsioonid on olemuselt piiratud mõõtmed, mis on peamine põhjus nende kasulikkuseks arvutustes ja esitustes. Ülejäänud artiklis on keskendutud täielikult ühemõõtmelistele, polünoomsetele splainidele ja kasutatud terminit "splain" selles piiratud tähenduses.

Definitsioon

Lihtsaim splain on tükiti polünomiaalne funktsioon, kus igal polünoomil on üks muutuja. Splain $S$ võtab väärtused vahemikust $\left[a,b\right]$ ja määrab need $\mathbb {R}$ reaalarvude hulka:

$S\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} .$

Kuna $S$ on tükiti määratletud, valime $k$ lõiku vahemikus $\left[a,b\right]$ :

[t_{i},t_{i+1}],i=0,...,k-1

[a,b]=[t_{0},t_{1}]\cup [t_{1},t_{2}]\cup ...\cup [t_{k-1},t_{k-1}]\cup [t_{k-1},t_{k}]

a=t_{0}\leq t_{1}\leq ...\leq t_{k-1}\leq t_{k}=b

Kõik need lõigud on seotud polünoomiga $P_{i}$ ,

P_{i}\colon [t_{i},t_{i+1}]\rightarrow \mathbb {R}

.

$i$ -ndas lõigus vahemikus $\left[a,b\right]$ on $S$ määratletud $P_{i}$ abil,

S(t)=P_{0}(t),t_{0}\leq t\leq t_{1},

S(t)=P_{1}(t),t_{1}\leq t\leq t_{2},

...

S(t)=P_{k-1}(t),t_{k-1}\leq t\leq t_{k}.

Antud $k+1$ punkti $t_{j}(0\leq j\leq k)$ nimetatakse sõlmedeks. Vektorit ${\textstyle t=(t_{0},...,t_{k})}$ nimetatakse splaini sõlme vektoriks. Kui sõlmed on ühtlaselt jaotatud vahemikus $\left[a,b\right]$ siis splaini nimetatakse ühtlaseks, vastasel juhul nimetatakse splaini ebaühtlaseks.^[3]

Kui $k$ -nda polünoomi tükkidel $P_{i}$ on iga aste vähemalt $n$ , siis splain on astmega $\leq n$ (või $\leq n+1$ ).

Kui $1\leq i\leq k-1\colon S\in C^{\tau _{i}}$ kehtib $k-1$ punkti $t_{i}$ naabruses, siis on splain sile (vähemalt) $C^{\tau _{i}}$ kohal $t_{i}$ . See tähendab, et kohal $t_{i}$ jagavad $P_{i-1}$ ja $P_{i}$ ühist tuletisväärtust astmest $0$ (funktsiooni väärtusest) kuni astmeni $r_{i}$ (teisisõnu, kahe kõrvuti asetseva polünoomi tükki ühendavad kõige rohkem $n-r_{i}$ sileduse kaotust).

Vektorit $r=(r_{1},...,r_{k-1})$ kus splainil on siledus $C^{\tau _{i}}$ kohal $t_{i},i=1,...,k-1$ nimetatakse splaini sileduse vektoriks.^[1]

Näited

Oletame, et intervall $[a,b]$ on $[0,3]$ ja alamintervallid on $[0,1],[1,2],[2,3]$ . Oletame, et polünoomi tükid peavad olema astmega $2$ ja tükid vahemikus $[0,1]$ ja $[1,2]$ peavad ühinema väärtuse ja esimese tuletisega ( $t=1$ korral) samal ajal kui tükid vahemikus $[1,2]$ ja $[2,3]$ ühinevad lihtsalt väärtusega ( $t=2$ korral). See määrab splaini $S(t)$ tüübi, mille kohaselt

S(t)=P_{0}(t)=-1+4t-t^{2}{\mbox{ , }}0\leq t<1

S(t)=P_{1}(t)=2t{\mbox{ , }}1\leq t<2

S(t)=P_{2}(t)=2-t+t^{2}{\mbox{ , }}2\leq t\leq 3

oleks selle tüübi liige ja ka

S(t)=P_{0}(t)=-2-2t^{2}{\mbox{ , }}0\leq t<1

S(t)=P_{1}(t)=1-6t+t^{2}{\mbox{ , }}1\leq t<2

S(t)=P_{2}(t)=-1+t-2t^{2}{\mbox{ , }}2\leq t\leq 3

oleks selle tüübi liige. (Märkus: kuigi polünoomi tükk $2t$ ei ole ruutpolünoom, siis tulemust kutsutakse ikka ruutsplainiks. See näitab, et splaini astmeks on polünoom-osade maksimaalne aste.) Sellist tüüpi splaini pikendatud sõlme vektor oleks $(0,1,2,2,3)$ .

Kõige lihtsam splain on astmega $0$ . Seda nimetatakse ka astmeliseks funktsiooniks. Järgmine kõige lihtsam splain on astmega $1$ . Seda kutsutakse ka lineaarsplainiks.^[4] Kinnine lineaarsplain (st esimene ja viimane sõlm langevad kokku) on lihtsalt hulknurk.

Tavaline splain on naturaalne $3$ . astme kuupsplain.^[5] Sõna "naturaalne" tähendab, et splaini polünoomi teine tuletis on interpoleerimise intervalli lõpp-punktides võrdne nulliga:

S''(a)\,=S''(b)=0.

Algoritm kuupsplainide arvutamiseks

Kuupsplainid on kujul ${S}_{j}\left(x\right)=a_{j}+b_{j}\left(x-x_{j}\right)+c_{j}{\left(x-x_{j}\right)}^{2}+d_{j}{\left(x-x_{j}\right)}^{3}$ . Arvestades koordinaatide komplekti $C=\left[\left({x}_{0},{y}_{0}\right),\left({x}_{1},{y}_{1}\right),....,\left({x}_{n},{y}_{n}\right)\right]$ soovime leida hulga $n\,$ splainiga ${S}_{i}\left(x\right)$ $i=0,\ldots ,n-1.$

Need peavad rahuldama:

$S_{i}\left(x_{i}\right)=y_{i}=S_{i-1}\left(x_{i}\right),i=1,\ldots ,n-1.$
${S^{'}}_{i}\left(x_{i}\right)={S^{'}}_{i-1}\left(x_{i}\right),i=1,\ldots ,n-1.$
${S^{''}}_{i}\left(x_{i}\right)={S^{''}}_{i-1}\left(x_{i}\right),i=1,\ldots ,n-1.$
${S^{''}}_{0}\left(x_{0}\right)={S^{''}}_{n-1}\left(x_{n}\right)=0$ .

Defineerime ühe kuupsplaini $S\,$ 5-ennikuna $(a,b,c,d,x_{t})\,$ kus $a,b,c\,$ ja $d\,$ vastavad varem näidatud kujule ja $x_{t}\,$ on võrdne parameetriga $x_{j}.\,$

Algoritm kuupsplaini arvutamiseks: Sisend: koordinaatide hulk $C\,$ , kus $\left|C\right|=n+1$ Väljund: splainide hulk, mis koosneb $n$ -ist 5-ennikust.

Loo uus massiiv $a$ suurusega $n+1$ ja iga $i=0,\ldots ,n$ korral seadista $a_{i}=y_{i}\,$
Loo uued massiivid $b$ ja $d$ mõlemad suurusega $n$ .
Loo uus massiiv $h$ suurusega $n$ ja iga $i=0,\ldots ,n-1$ seadista $h_{i}=x_{i+1}-x_{i}\,$
Loo uus massiiv $\alpha$ suurusega $n$ ja iga $i=0,\ldots ,n-1$ seadista ${\alpha }_{i}={\frac {3}{{h}_{i}}}\left({a}_{i+1}-{a}_{i}\right)-{\frac {3}{{h}_{i-1}}}\left({a}_{i}-{a}_{i-1}\right)$ .
Loo uued massiivid $nc,l,\mu$ ja $z$ kõik suurusega $n+1\,$ .
Seadista $l_{0}=1,{\mu }_{0}=z_{0}=0\,$
Iga $i=1,\ldots ,n-1\,$ $i=1,\ldots ,n-1\,$
1. ${l}_{i}=2\left({x}_{i+1}-{x}_{i-1}\right)-{h}_{i-1}{\mu }_{i-1}$ .
2. ${\mu }_{i}={\frac {{h}_{i}}{{l}_{i}}}$ .
3. ${z}_{i}={\frac {{\alpha }_{i}-{h}_{i-1}{z}_{i-1}}{{l}_{i}}}$ .
Seadista $l_{n}=1;z_{n}=c_{n}=0.\,$
$j=n-1,n-2,\ldots ,0$ $j=n-1,n-2,\ldots ,0$
1. $c_{j}=z_{j}-{\mu }_{j}c_{j+1}\,$
2. $b_{j}={\frac {{a}_{j+1}-{a}_{j}}{{h}_{j}}}-{\frac {{h}_{j}\left({c}_{j+1}+2{c}_{j}\right)}{3}}$
3. $d_{j}={\frac {{c}_{j+1}-{c}_{j}}{3{h}_{j}}}$
Loo uus splainide komplekt ja nimeta see valjund_komplekt. Paiguta sinna $n$ splaini $S$ .
Iga $i=0,\ldots ,n-1$ $i=0,\ldots ,n-1$
1. $S_{i,a}=a_{i}$
2. $S_{i,b}=b_{i}$
3. $S_{i,c}=c_{i}$
4. $S_{i,d}=d_{i}$
5. $S_{i,x}=x_{i}$
Väljund valjund_komplekt