n$\,[mol]\,の理想気体を右図のようなサイクルで状態変化させた.
B\,→\,Cは断熱変化である.\ 状態A,\ B,\ Cの絶対温度を$T_{ A},$
$T_{ B},\ T_{ C}$,\ 定積モル比熱を$C_v$,\ 定圧モル比熱を$C_p$とする.
(1)\ \ 各過程における内部エネルギーの変化$\Delta U$,\ 気体が
\ \ 外部にした仕事$W_{out$,\ 気体が吸収した熱量$Q_{in$を
\ \ $n,\ T_{ A},\ T_{ B},\ T_{ C},\ C_v,\ C_p$を用いて表せ.
(2)\ \ このサイクルの熱効率$e$を$γ=C_p}{C_v},\ T_{ A},\ T_{ B},\ T_{ C}$
\ \ を用いて表せ. \\[-16zh]
}(3)\ \ 単原子分子理想気体の断熱変化では$PV^{γ}$が一定であることが知られている.
\ \ このときの熱効率$e$を求め,\ \%\,(整数値)で答えよ.\ 必要なら$2^{53}≒16}{5}$を用いよ. \\
(1)\ \ まず,\ 何変化でも\,\Delta U=nC_v\Delta T}であることを利用し,\ 直ちに\,\Delta Uを求められる.
\ \ 単原子分子とは書いてないので,\ \Delta U=32nR\Delta Tとしてはならないことに注意する.
\ \ 次にQ_{in\,を考える.\ 断熱変化のB\,→\,C}では当然Q=0である.
\ \ 定積変化ではQ=nC_v\Delta T,\ 定圧変化ではQ=nC_p\Delta T}となることを利用する.
\ \ 最後にW_{out\,を考える.\ 定積変化}であるからW_{ A\,→\, B}=0である.
\ \ \Delta UとQ_{in\,が既知なので,\ 残りは\ 熱力学第一法則\ Q_{in=\Delta U+W_{out\ によって求められる.
\ \ 定圧変化のC\,→\,A}は,\ W=P\Delta V=nR\Delta Tを用いてもよい.
\ \ しかし,\ 答えにRは使えないので,\ マイヤーの関係式C_p-C_v=R}\,で変換する必要が生じる.
(2)\ \ 熱効率の定義が\ e=(正味の仕事)}{(\dot{実}\dot{際}\dot{に}吸収した熱量)\ であることに注意して求める.
\ \ C\,→\,A}では実際には放出しているので,\ これを分母に加えてはならない.
\ \ 正味の仕事は,\ (実際に外部にした仕事)-(実際に外部からされた仕事)}である.
\ \ 言い換えると,\ 外部にした仕事を正のものも負のものもすべて足し合わせる}ということである.
\ \ W_{all\,は一見複雑になるが,\ 一旦展開してC_v\,とC_p\,で整理し直すと割と簡潔になる.
\ \ +\,C_p(T_{ A}-T_{ C})ではなく-\,C_p(T_{ C}-T_{ A})としたのは,\ T_{ C}>T_{ A}\,だからである.
\ \ 分数を分割すると,\ eが\,γ,\ T_{ A},\ T_{ B},\ T_{ C}\,で簡潔に表される.
\ \ T_{ B}>T_{ C}>T_{ A}\,より\,γ･T_{ C}-T_{ A{T_{ B}-T_{ A>0であるから,\ e<1である.
(3)\ \ 熱効率eの\,T_{ C}-T_{ A{T_{ B}-T_{ A\,は絶対温度の比である.
\ \ よって,\ T_{ A},\ T_{ B},\ T_{ C}\,の具体的な値はわからなくても,\ 比さえわかればeの値が求められる.
\ \ まず,\ 定圧変化C\,→\,A}においてシャルルの法則を用いるとT_{ C}\,とT_{ A}\,の比を求められる.
\ \ T_{ B}\,を求めるには,\ 断熱変化B\,→\,C}においてポアソンの式PV^{γ}=(一定)}を利用する.
\ \ 高校物理では,\ ポアソンの式を使うべき場合は問題で与えられる.
\ \ \uwave{単原子分子}ではC_p=52R,\ C_v=32R}であるから,\ γ=C_p}{C_v}=53\ である.
\ \ P_{ B}\,が求まるので,\ さらにボイル・シャルルの法則を用いるとT_{ B}\,とT_{ A}\,の比を求められる.
\ \ ポアソンの式にはTとVを用いた表現も存在し,\ 問題でこちらが与えられる場合もある.
\ \ 状態方程式PV=nRTによって容易に変換できる.
\ \ PV^{γ}=(一定)にP=nRT}{V}を代入すると PV^{γ}=nRT}{V}･ V^{γ}=nRTV^{γ-1}=(一定)
\ \ つまり,\ TV^{γ-1}=(一定)}である.\ これを用いると直接T_{ B}\,とT_{ A}\,の比を求められる.
最後に絶対温度の大小とPVグラフの関係を確認しておく.
等温ならばボイルの法則PV=(一定)が成り立つ.
よって,\ PV図において等温の曲線は反比例のグラフとなる.
また,\ 定圧変化ではシャルルの法則\,V}{T}=(一定)が成り立つ.
よって,\ Vが大きいほどTが大きくなる.
ゆえに,\ 原点から離れる曲線ほど高温の曲線になる.
本問の場合,\ T_{ B}>T_{ C}>T_{ A}\,となることがわかる.
さらに,\ C_p-C_v=R>0より,\ γ=C_p}{C_v}>1である.
よって,\ 断熱曲線PV^{γ}=(一定)は,\ 等温曲線PV=(一定)よりも急になる.
