Rngas

Matematiikassa rngas (tai ei-yksiköllinen rengas tai pseudorengas) on algebrallinen rakenne, joka täyttää samat ominaisuudet kuin rengas paitsi että se ei oleta multiplikatiivisen identiteetin (eli "ykkösalkion") olemassaoloa. Termi rngas kertoo, että se on rengas ilman neutraalialkiota e (vrt. engl. rng).

Vaikka rengas yleensä määritellään niin, että ykkösalkion pitää olla olemassa, jotkin teokset poikkeavat tästä eli määrittelevat kaikki rnkaat renkaiksi. Suomessa on tapana tarkoittaa pseudorenkaalla rngasta, mutta pseudorenkaille on myös kaksi ei-ekvivalenttia määritelmää. Sen sijaan rngas on yksikäsitteinen käsite. Sen huono puoli termiin "pseudorengas" nähden on, että se näyttää kirjoitusvirheeltä ja se helposti sekoittuu renkaisiin.

Alla esitetyssä inkluusioketjussa kukin algebrallinen käsite tarkoittaa sen käsitteen ilmenemien joukkoa (esimerkiksi "Pseudorengas" tarkoittaa kaikkien pseudorenkaiden joukkoa):

Rngas eli pseudorengas ⊃ rengas ⊃ kommutatiivinen rengas ⊃ kokonaisalue ⊃ faktoriaalinen kokonaisalue ⊃ pääideaalialue ⊃ euklidinen alue ⊃ kunta ⊃ Algebrallisesti suljettu kunta

Määritelmä

Rngas on joukko R, jossa on määritelty kaksi binäärioperaatiota (+, ·), kutsuttakoon niitä yhteen- ja kertolaskuiksi, jotka täyttävät seuraavat ehdot:

• (R, +) on Abelin ryhmä,
• (R, ·) on puoliryhmä,
• Osittelulaki on voimassa.

Rngashomomorfismi on funktio f: R → S rnkaalta toiselle, jolla

• f(x + y) = f(x) + f(y)
• f(x · y) = f(x) · f(y)

kaikilla x,y.

Jos R ja S ovat renkaita, rengashomomorfismi R → S on sama kuin rngashomomorfismi f:R → S, jolla $f(1)=1$.

Esimerkkejä

Kaikki renkaat ovat rnkaita. Parillisten numeroiden joukko on rngas muttei rengas, samoin niiden 3x3-matriisien joukko, joiden alarivi on nolla. Kumpikin on esimerkki siitä, että jokainen (yksi- tai kaksipuolinen) ideaali on rngas.

Jos V on ääretönulotteinen vektoriavaruus, niin niiden lineaarioperaattorien

f : V → V joukko, joilla dim f(V) < ∞, on rngas muttei rengas. Toinen esimerkki on nollaan suppenevien reaalisten jonojen joukko (komponentittaisilla yhteen- ja kertolaskuilla).

Missä tahansa topologisessa avaruudessa määriteltyjen niiden reaaliarvoisten jatkuvien funktioiden joukko, joilla on kompakti kantaja on rngas (yhteen- ja kertolasku pisteittiä). Se on rengas jos ja vain jos avaruus on kompakti.