Livre numérique

© 2023 Dominique SOUDER

Tous droits réservés.

Editions BOD, format epub

Contact : mosouder@gmail.com

ISBN : 9782322472079

Vous ne rencontrez plus abondamment le mot congruences dans les programmes de mathématiques de notre enseignement (primaire, et même secondaire) comme ce fut le cas dans le passé, mais ce n'est pas pour cela que c'est une notion mathématique difficile. La preuve avec quelques tours math&magiques qui les utilisent et qui sont l’objet de cet ouvrage.

SOMMAIRE

CONGRUENCES modulo 7 (on y verra 7 tours)

CONGRUENCES modulo 10 (pour 1 tour)

CONGRUENCES modulo 2 (pour 5 tours)

CONGRUENCES modulo 9 (pour 21 tours)

CONGRUENCES modulo 4 (pour 7 tours)

CONGRUENCES modulo 13 (pour 3 tours)

CONGRUENCES modulo 17 (pour 1 tour)

CONGRUENCES d'importance historique mais méconnues modulo 60, 105, 280, 70 et 97 (pour 5 tours)

Deux congruences de modulos différents dans un tour du quotidien

Ressources

Bibliographie

Imaginons un monde où n’existeraient que les nombres de 1 à 12, comme sur une horloge. Cela permet une curieuse arithmétique. Après 12, on retrouve 1, 2, 3 ...

Le 12 se confond avec le 0, le 13 avec le 1; le 14 avec le 2. On peut aussi bien dire qu'il est 13h ou 1h de l’après midi, qu’il est 14h ou 2h de l'après-midi. On dira que 13 modulo 12 est égal à 1, que 14 modulo 12 est égal à 2, ou encore que 12 est congru à 0 modulo 12, que 13 est congru à 1 modulo 12, que 14 est congru avec 2 modulo 12. Le terme « Modulo12 » est un mot qui signifie que l'on met en rang par 12.

Si on range les nombres par 7 on fera des congruences modulo 7, si on les range par 4 ce sera des congruences modulo 4.

On pourra faire des opérations modulo un nombre. Par exemple 7h après 7h il sera 14h soit 2h et on écrira que 7+7 vaut 2 modulo 12, ou encore 8h+9h soit 17h c’est aussi 5h donc 8+9 vaudra 5 modulo 12.

Plus généralement deux nombres a et b sont congrus modulo n quand leur différence (a-b) est un multiple de n. Ainsi 8 ou 15 sont congrus à 1 modulo 7 car les différences (8-1) qui vaut 7 et (15-1) qui vaut 14 soit 2 fois 7, sont des multiples de 7.

On dira aussi que deux entiers a et b sont congrus modulo n si le reste de la division euclidienne de a par n est égal à celui de la division de b par n. Ainsi dans la division de 8 ou 15 par 7 le reste entier est le même soit 1 dans les deux cas. 

On fait des congruences dans la vie de tous les jours sans s’en rendre compte, et les magiciens réalisent des tours de magie les utilisant, sans le savoir. Les congruences modulo 9 qui sont les plus utilisées par les magiciens et sont à l’origine de nombreux tours de magie numérique.

CONGRUENCES modulo 7

Avant d’aborder de bien jolis tours de magie, faisons un peu de mathématiques…

Congruences modulo 7

Prenez un nombre entier positif. Enlevez-lui autant de fois 7 qu’il est possible jusqu’à obtenir un nombre de 1 à 7. Vous venez de faire une congruence modulo 7.

Par exemple à partir de 20 vous obtenez 6 (car 20−7×2 = 6) et on dit que 20 est congru à 6 modulo 7; à partir de 50 vous obtenez 1 (car 50−7×7 = 1),  et 50 est congru à 1 modulo 7.

On peut observer que les nombres de 1 à 6 qu’on obtient sont les restes de la division entière par 7 de notre nombre de départ. Si le nombre est multiple de 7, en soustrayant 7 un certain nombre de fois on arrive à retomber à 7, on peut convenir ici de ne pas aller plus loin jusqu’au 0 (qui serait le reste nul de la division par 7 qui tomberait juste dans le cas d’un dividende multiple de 7).

Occupons-nous maintenant de l’ensemble des nombres entiers de 1 à 7 et calculons leurs triples, mais dés que le résultat dépasse 7, remplaçons-le par le nombre de 1 à 7 qui lui est congru modulo 7. Par exemple 6×3 = 18 = 7+7+4 sera remplacé par 4. On dira que le triple de 6 modulo 7 est 4.

On peut faire des opérations modulo 7 comme l’addition, la soustraction, la multiplication… Complétons le tableau suivant, c’est la multiplication par 3 :

Faisons maintenant une soustraction, par exemple enlevons 2 aux nombres triples précédents mais en faisant bien attention de trouver un résultat entre 1 et 7 (donc : modulo 7) :

Attention pour calculer par exemple 1−2 il a fallu remplacer 1 par 1+7 = 8, et ensuite on réussit à faire 8−2 = 6. Ainsi 1−2 = 6 modulo 7. De même 2−2 = 0 mais on remplace ce 0 par 0+7 = 7 et ainsi 2−2 = 7 modulo 7.

Une expérience avec des cartes 

On prend les sept cartes de la famille carreau 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 classées dans cet ordre de haut en bas, faces cachées. On distribue alternativement les cartes une à une en deux tas, faces cachées et l’on obtient :

Posons l’un des deux tas sur l’autre. Selon les deux possibilités on obtient de bas en haut : soit 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, soit 2, 4, 6, 1, 3, 5, 7.

Distribuons ces sept cartes (faces cachées) en cercle sur la table, en respectant leur ordre depuis le haut du paquet, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Dans les deux cas on obtient le même cycle (la même succession de cartes) bien que la distribution ne se soit pas faite à partir de la même première carte. Si l’on part du 1 sur le cycle, et si on tourne maintenant dans le sens des aiguilles d’une montre, les valeurs se succèdent ainsi : 1, 3, 5, 7, 2, 4, 6. On remarque que c’est une succession de 2 en 2 modulo 7 ; par exemple après 7 il y a 7+2 = 9 qui revient à 2 modulo 7, et après 6 il y a 1 car 6+2 = 8 est congru à 1 modulo 7.

Choisissons l’une de ces cartes, retournons-la pour voir sa valeur et comptons, dans le sens des aiguilles d’une montre, autant de sauts d’une carte à l’autre que cette valeur. On arrive sur une carte qu’on retourne, on regarde sa valeur, et on compte, dans le sens des aiguilles d’une montre, autant de sauts d’une carte à l’autre que cette valeur. On continue ainsi jusqu’à ce que six cartes soient retournées. Quelle est la dernière face encore cachée ?

Deux cas peuvent se présenter :

Si l’on a tiré pour commencer une valeur de 1 à 6, on s’aperçoit que l’on passe par toutes les valeurs entre 1 et 6, et que la dernière carte qui reste cachée est le 7.

Si l’on a tiré le 7 pour commencer, on va sur le 7 (on n’en bouge donc pas).

On peut expliquer ceci à partir du tableau de calcul du triple modulo 7 (où le nombre 7 correspond au zéro modulo 7). Passer sur le cycle d’une case à la suivante dans le sens des aiguilles d’une montre c’est ajouter 2 modulo 7 à la valeur de départ. Si votre case de départ vaut « n », en vous déplaçant de n cases vous augmentez de 2×n modulo 7 la valeur de départ. Vous allez arriver sur une case d’arrivée valant : n+2n, soit 3n. On peut trouver la valeur de la case d’arrivée à partir de la valeur de la case de départ en utilisant le tableau de calcul du triple modulo 7.

En partant du 1 les six valeurs qu’on obtient successivement sont 1, 3, 2, 6, 4, 5. Si on continuait ensuite ce serait 1. Si on part du 2 la succession est 2, 6, 4, 5, 1, 3. De même pour toute valeur, entre 1 et 6, prise comme départ, on obtient les six valeurs de 1 à 6 et jamais le 7.

En partant du 7, après 7 sauts on revient sur le 7.

D’où l’idée du tour de magie suivant :

Le 7 de carreau

Déroulement

Le magicien prend les sept cartes de la famille carreau 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 classées dans cet ordre de haut en bas, faces cachées. Il distribue alternativement les cartes une à une en deux tas, faces cachées et demande au spectateur de mettre l’un des petits paquets sur l’autre, selon son choix. Ensuite il distribue en cercle dans l’ordre inverse des aiguilles d’une montre les sept cartes.

Le magicien pose sur la table un papier plié contenant une prédiction écrite (il a écrit 7 de carreau avant l’arrivée du spectateur).

Le spectateur est invité à choisir et retourner une carte :

S’il s’agit d’une valeur de 1 à 6, le magicien explique qu’il faut compter, dans le sens des aiguilles d’une montre, autant de sauts d’une carte à l’autre que cette valeur. On arrive sur une carte qu’on retourne, on regarde sa valeur, et on compte, dans le sens des aiguilles d’une montre, autant de sauts d’une carte à l’autre que cette nouvelle valeur. On continue ainsi jusqu’à ce que six cartes soient retournées.

S’il s’agit du 7 de carreau le magicien dévoile sa prédiction : le tour est terminé, et vite réussi !

Quelle est la dernière carte encore face cachée ? C’est celle que le magicien a prédit sur son papier, qu’il retourne maintenant : le 7 de carreau.

Variante

Le magicien peut recommencer le tour en disant que les cartes vont être davantage mélangées au départ.

Cette fois-ci on fera successivement une distribution en deux tas, avec reconstitution du paquet par le spectateur selon son choix du tas du dessous ou du dessus, puis une