Algorithme de Borůvka
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L'algorithme de Borůvka, est un algorithme de recherche de l'arbre couvrant de poids minimal dans un graphe pondéré. Il est aussi appelé algorithme de Sollin[1].
Problème de l'arbre couvrant minimal
[modifier | modifier le code]En théorie des graphes, étant donné un graphe non orienté connexe dont les arêtes sont pondérées, un arbre couvrant de poids minimal de ce graphe est un arbre couvrant (sous-ensemble qui est un arbre et qui connecte tous les sommets ensemble) dont la somme des poids des arêtes est minimale.
Algorithme
[modifier | modifier le code]Principe
[modifier | modifier le code]Le principe est de réduire G en contractant des arêtes : on choisit peu à peu les arêtes qui seront dans l'arbre, et à chaque fois que l'on en choisit une, on fusionne les nœuds que cette arête relie. Ainsi, il ne reste plus qu'un sommet à la fin.
On peut aussi décrire l'algorithme sans parler de contraction : on construit une forêt dont les arbres fusionnent peu à peu pour former un arbre couvrant de poids minimum.
Pseudo-code
[modifier | modifier le code]On prend G le graphe et F l'ensemble des arêtes choisies (on le remplit peu à peu).
1 F ← vide 2 Tant que G n'est pas réduit à un sommet faire 3 Détruire les boucles de G (*) 4 Remplacer les arêtes multiples entre deux sommets par une seule dont le poids est le minimum 5 Pour tout x, sommet de G, faire 6 Trouver l'arête e_x de poids minimum adjacente à x 7 F ← F union e_x 8 Contracter e_x (**) 9 fin pour 10 fin tant que 11 renvoyer F
(*) i.e. les arêtes qui partent et arrivent au même sommet ; ce genre d'arête peut apparaitre après une itération.
(**) i.e. fusionner les sommets aux extrémités de
Complexité
[modifier | modifier le code]L'algorithme de Borůvka a une complexité en , où est le nombre d'arêtes et le nombre de sommets du graphe considéré[2].
Comparaison avec les autres algorithmes
[modifier | modifier le code]Il existe d'autres algorithmes pour le problème de l'arbre couvrant minimal, par exemple l'algorithme de Prim et l'algorithme de Kruskal.
Historique
[modifier | modifier le code]L'algorithme de Borůvka est le premier algorithme de recherche d'arbre couvrant de poids minimal découvert publié par Otakar Borůvka en 1926 dans l'article O jistém problému minimálním ('Sur un certain problème minimal')[3]. Au départ, il était destiné à rendre le réseau électrique de Moravie efficace. Il fut redécouvert à de nombreuses reprises par la suite[4].
Notes et références
[modifier | modifier le code]- Ivan Lavallée, « Un algorithme parallèle efficace pour construire un arbre de poids minimal dans un graphe », RAIRO-Operations Research, vol. 19, no 1, , p. 57-69
- Graham-Hell, On the History of Minimum Spanning Tree Problem p. 52.
- (Borůvka 1926)
- Graham-Hell, On the History of Minimum Spanning Tree Problem p. 47.
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (cs) Otakar Borůvka, « O jistém problému minimálním (About a certain minimal problem) », Práce mor. přírodověd. spol. v Brně III, vol. 3, , p. 37–58
- (en) R.L. Graham et Pavol Hell, « On the History of Minimum Spanning Tree Problem », Annals of the History of Computing, vol. 7, no 1, , p. 43-57 (lire en ligne)
Lien externe
[modifier | modifier le code]- « Algorithme de Boruvka », sur COATI chez INRIA
