Application identité

En mathématiques, l'application identité ou la fonction identité est l'application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie l'argument sur lui-même. Formellement, sur un ensemble $E$, c'est l'application :

${\begin{array}{l|rcl}\mathrm {id} _{E}:&E&\longrightarrow &E\\&x&\longmapsto &x\end{array}}$

Le graphe de l'application identité de $E$ est appelé la diagonale du produit cartésien $E\times E$. Pour $E=\mathbb {R}$ l'ensemble des réels, ce graphe est la première bissectrice du plan euclidien.

Graphe de la fonction identité sur $\mathbb {R}$.

Notations

L'application identité de $E$ est notée $\mathrm {Id} _{E}$ ou $\mathrm {id} _{E}$. Quand il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble $E$ sur lequel on travaille, on la note simplement $\mathrm {Id}$ ou $\mathrm {id}$ .

Propriétés remarquables

Pour toute application $f$ d'un ensemble $E$ dans un ensemble $F$, on a :

$f\circ \mathrm {id} _{E}=f=\mathrm {id} _{F}\circ f$

En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de $E$ dans lui-même muni de la composition de fonctions, et du groupe des bijections de $E$ dans lui-même, appelé le groupe symétrique de $E$.

En algèbre linéaire

Si $E$ est un espace vectoriel, alors $\mathrm {id} _{E}$ est une application linéaire et son déterminant vaut $1$.

De plus, si $E$ est de dimension finie $n$, alors la matrice représentant $\mathrm {id} _{E}$ est la matrice identité $I_{n}$ dans n'importe quelle base $B$ de $E$ :

$\mathrm {Mat} _{B}(\mathrm {id} _{E})=I_{n}$

En topologie

L'application identité permet de comparer deux topologies : sur $X$, une topologie $\tau _{2}$ est plus fine qu'une topologie $\tau _{1}$ lorsque $\mathrm {id} _{X}$ est continue de $(X,\tau _{2})$ dans $(X,\tau _{1})$.