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En analyse , la fonction gamma multivariée , Γp fonction gamma . En statistique multivariée , elle apparait dans la fonction de densité de la loi de Wishart et de la loi de Wishart inverse .
La définition formelle de la fonction gamma multivariée est, pour tout complexe a tel que
ℜ
e
(
a
)
>
p
+
1
2
{\displaystyle \Re e(a)>{\frac {p+1}{2}}}
Γ
p
(
a
)
=
∫
S
>
0
|
S
|
a
−
(
p
+
1
)
/
2
e
−
t
r
a
c
e
(
S
)
d
S
,
{\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\int _{S>0}\left|S\right|^{a-(p+1)/2}\ \mathrm {e} ^{-{\rm {trace(S)}}}\mathrm {d} S,}
où S > 0S est une matrice définie positive .
En pratique, on utilise
Γ
p
(
a
)
=
π
p
(
p
−
1
)
/
4
∏
j
=
1
p
Γ
[
a
+
(
1
−
j
)
/
2
]
.
{\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left[a+(1-j)/2\right].}
Le calcul est facilité par les relations de récurrence :
Γ
p
(
a
)
=
π
(
p
−
1
)
/
2
Γ
(
a
)
Γ
p
−
1
(
a
−
1
2
)
=
π
(
p
−
1
)
/
2
Γ
p
−
1
(
a
)
Γ
(
a
+
1
−
p
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{p}(a)&=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma (a)\Gamma _{p-1}(a-{\tfrac {1}{2}})\\&=\pi ^{(p-1)/2}\Gamma _{p-1}(a)\Gamma \left(a+{\tfrac {1-p}{2}}\right).\end{aligned}}}
Ainsi,
Γ
1
(
a
)
=
Γ
(
a
)
{\displaystyle \Gamma _{1}(a)=\Gamma (a)}
Γ
2
(
a
)
=
π
1
/
2
Γ
(
a
)
Γ
(
a
−
1
2
)
{\displaystyle \Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-{\tfrac {1}{2}})}
Γ
3
(
a
)
=
π
3
/
2
Γ
(
a
)
Γ
(
a
−
1
2
)
Γ
(
a
−
1
)
{\displaystyle \Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\Gamma (a)\Gamma (a-{\tfrac {1}{2}})\Gamma (a-1)}
etc.
On définit la fonction digamma multivariée :
ψ
p
(
a
)
=
∂
log
Γ
p
(
a
)
∂
a
=
∑
i
=
1
p
ψ
(
a
+
1
−
i
2
)
,
{\displaystyle \psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right),}
et la fonction polygamma généralisée :
ψ
p
(
n
)
(
a
)
=
∂
n
log
Γ
p
(
a
)
∂
a
n
=
∑
i
=
1
p
ψ
(
n
)
(
a
+
1
−
i
2
)
.
{\displaystyle \psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}\left(a+{\frac {1-i}{2}}\right).}
Démonstration
Vu que
Γ
p
(
a
)
=
π
p
(
p
−
1
)
/
4
∏
j
=
1
p
Γ
(
a
+
1
−
j
2
)
,
{\displaystyle \Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right),}
on tire
∂
Γ
p
(
a
)
∂
a
=
π
p
(
p
−
1
)
/
4
∑
i
=
1
p
∂
Γ
(
a
+
1
−
i
2
)
∂
a
∏
j
=
1
,
j
≠
i
p
Γ
(
a
+
1
−
j
2
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^{p}{\frac {\partial \Gamma \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)}{\partial a}}\prod _{j=1,j\neq i}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right).}
Par définition de la fonction digamma ψ,
∂
Γ
(
a
+
1
−
i
2
)
∂
a
=
ψ
(
a
+
1
−
i
2
)
Γ
(
a
+
1
−
i
2
)
{\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (a+{\frac {1-i}{2}})}{\partial a}}=\psi \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)\Gamma \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)}
il s'ensuit que
∂
Γ
p
(
a
)
∂
a
=
π
p
(
p
−
1
)
/
4
∏
j
=
1
p
Γ
(
a
+
1
−
j
2
)
∑
i
=
1
p
ψ
(
a
+
1
−
i
2
)
=
Γ
p
(
a
)
∑
i
=
1
p
ψ
(
a
+
1
−
i
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}&=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left(a+{\frac {1-j}{2}}\right)\sum _{i=1}^{p}\psi \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right)\\&=\Gamma _{p}(a)\sum _{i=1}^{p}\psi \left(a+{\frac {1-i}{2}}\right).\end{aligned}}}
