Normal (xeometría)

Un polígono e os seus dous vectores normais

Unha normal a unha superficie nun punto é o mesmo que unha normal ao plano tanxente á superficie no mesmo punto.

En xeometría, unha normal é un obxecto (por exemplo, unha liña, un raio ou un vector) que é perpendicular a outro obxecto dado. Por exemplo, a recta normal a unha curva plana nun punto dado é a recta perpendicular á tanxente á curva no punto.

Un vector normal de lonxitude un chámase vector normal unitario. Un vector de curvatura é un vector normal cuxa lonxitude é a curvatura do obxecto. Multiplicando un vector normal por −1 resulta o vector oposto, que se pode usar para indicar os lados (por exemplo, interior ou exterior).

No espazo tridimensional, unha superficie normal, ou simplemente unha normal, a unha superficie no punto $P$ é un vector perpendicular ao plano tanxente da superficie en $P$ . A palabra normal tamén se usa como adxectivo: unha liña normal a un plano, a compoñente normal dunha forza, o vector normal, etc. O concepto de normalidade xeneralízase á ortogonalidade (ángulos rectos ).

O concepto foi xeneralizado a variedades diferenciábeis de dimensión arbitraria mergulladas nun espazo euclidiano. O espazo vectorial normal ou espazo normal dunha variedade nun punto $P$ é o conxunto de vectores ortogonais ao espazo tanxente en $P.$ Os vectores normais son de especial interese no caso de curvas suaves e superficies suaves.

O pé dunha normal nun punto de interese Q (análogo ao pé dunha perpendicular) pódese definir no punto P da superficie onde o vector normal contén Q. A distancia normal dun punto Q a unha curva ou a unha superficie é a distancia euclidiana entre Q e o seu pé P.

Normal de curvas no espazo

Dirección normal (en vermello) a unha curva (en negro).

A dirección normal dunha curva espacial é:

\mathbf {N} =R{\frac {\mathrm {d} \mathbf {T} }{\mathrm {d} s}}

onde $R=\kappa ^{-1}$ é o raio de curvatura (curvatura recíproca); $\mathbf {T}$ é o vector tanxente, en termos da posición da curva $\mathbf {r}$ e a lonxitude do arco $s$ :

\mathbf {T} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} s}}

Normal a planos e polígonos

Para un polígono convexo (como un triángulo), unha normal de superficie pódese calcular como o produto vectorial de dúas arestas (non paralelas) do polígono.

Para un plano dado pola ecuación do plano de forma xeral $ax+by+cz+d=0,$ o vector $\mathbf {n} =(a,b,c)$ é a normal do plano.

Para un plano cuxa ecuación está dada en forma paramétrica $\mathbf {r} (s,t)=\mathbf {r} _{0}+s\mathbf {p} +t\mathbf {q} ,$ onde $\mathbf {r} _{0}$ é un punto do plano e $\mathbf {p} ,\mathbf {q}$ son vectores non paralelos que apuntan ao longo do plano, unha normal ao plano é un vector normal a ámbolos dous $\mathbf {p}$ e $\mathbf {q} ,$ que se pode atopar como o produto vectorial $\mathbf {n} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} .$

Normal a superficies xerais no espazo 3D

Unha superficie curva que mostra os vectores normais unitarios (frechas azuis) á superficie

Se unha superficie (posiblemente non plana) $S$ no espazo 3D $\mathbb {R} ^{3}$ está parametrizada por un sistema de coordenadas curvilíneas $\mathbf {r} (s,t)=(x(s,t),y(s,t),z(s,t)),$ con $s$ e $t$ variables reais, entón unha normal a S é, por definición, unha normal a un plano tanxente, dada polo produto vectorial das derivadas parciais. $\mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.$

Se unha superficie $S$ dáse implícitamente como o conxunto de puntos $(x,y,z)$ que satisfán $F(x,y,z)=0,$ entón unha normal nun punto $(x,y,z)$ na superficie vén dada polo gradiente $\mathbf {n} =\nabla F(x,y,z).$ xa que o gradiente en calquera punto é perpendicular ao conxunto de niveis $S.$

Para unha superficie $S$ en $\mathbb {R} ^{3}$ dada como gráfica dunha función $z=f(x,y),$ pódese atopar unha normal cara arriba a partir da parametrización $\mathbf {r} (x,y)=(x,y,f(x,y)),$ obtendo $\mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}}=\left(1,0,{\tfrac {\partial f}{\partial x}}\right)\times \left(0,1,{\tfrac {\partial f}{\partial y}}\right)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right);$ ou máis simplemente desde a súa forma implícita $F(x,y,z)=z-f(x,y)=0,$ obtendo $\mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)=\left(-{\tfrac {\partial f}{\partial x}},-{\tfrac {\partial f}{\partial y}},1\right).$ Dado que unha superficie non ten un plano tanxente nun punto singular, non ten unha normal ben definida nese punto: por exemplo, o vértice dun cono. En xeral, é posible definir unha normal en case todas as partes para unha superficie que é unha función continua de Lipschitz.

Orientación

Un campo vectorial de normais a unha superficie

A normal a unha (hiper)superficie adoita escalarse para ter unha lonxitude unidade, mais non ten unha dirección única, xa que o seu oposto tamén é unha unidade normal. Para unha superficie que é o fronteira topolóxica dun conxunto en tres dimensións, pódese distinguir entre dúas orientacións normais, a normal que apunta cara a dentro e a normal que apunta caara ao exterior. Para unha superficie orientada, a normal adoita estar determinada pola regra da man dereita ou o seu análogo en dimensións superiores.

Variedades definidas por ecuacións implícitas no espazo n-dimensional

Unha variedade diferencial definida por ecuacións implícitas no $n$ -espazo dimensional $\mathbb {R} ^{n}$ é o conxunto dos ceros comúns dun conxunto finito de funcións diferenciables en $n$ variables $f_{1}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\ldots ,f_{k}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).$ A matriz jacobiana da variedade é a matriz $k\times n$ cuxa $i$ -ésima fila é o gradiente de $f_{i}.$ Polo teorema da función implícita, a variedade é unha variedade na proximidade dun punto onde a matriz jacobiana ten rango $k.$ En tal punto $P,$ o espazo vectorial normal é o espazo vectorial xerado polos valores en $P$ dos vectores de gradiente do $f_{i}.$

O espazo normal (afín) nun punto $P$ da variedade é o subespazo afín que pasa por $P$ e xerado polo espazo vectorial normal en $P.$

Exemplo

Sexa V a variedade definida no espazo tridimensional polas ecuacións $x\,y=0,\quad z=0.$ Esta variedade é a unión do eixo $x$ e o eixo $y$ .

Nun punto $(a,0,0),$ onde $a\neq 0,$ as filas da matriz jacobiana son $(0,0,1)$ e $(0,a,0).$ Así, o espazo afín normal é o plano de ecuación $x=a.$ Do mesmo xeito, se $b\neq 0,$ o plano normal en $(0,b,0)$ é o plano da ecuación $y=b.$

No punto $(0,0,0)$ as filas da matriz jacobiana son $(0,0,1)$ e $(0,0,0).$ Así, o espazo vectorial normal e o espazo afín normal teñen dimensión 1 e o espazo afín normal é o eixo $z$ .