Recta de Simson
Recta de Simson en relación a un triángulo é calquera recta que une os pés das perpendiculares aos lados do triángulo, trazadas desde un punto da circunferencia circunscrita. Estas rectas reciben o seu nome en honra a Robert Simson (1687-1768) aínda que os historiadores das matemáticas non atoparon evidencia da súa autoría. Dado que a primeira publicación coñecida na que aparecen estas rectas, datada en 1797 e pertencente a William Wallace, en ocasións denomínase a estas rectas como rectas de Wallace-Simson.[1]
Teorema de Wallace-Simson
[editar | editar a fonte]
En xeral, se se trazan perpendiculares desde un punto calquera do plano (exterior ou interior ao triángulo), os pés desas perpendiculares non son colineares senón que forman un triángulo denominado triángulo pedal. A colinearidade dos tres pés das perpendiculares é característica dos puntos da circunferencia circunscrita:
|
É dicir, non só os pés das perpendiculares trazados desde un punto na circunferencia circunscrita son colineares, senón que estes puntos son os únicos que posúen esa propiedade.
Diagrama para a demostración
| |
|---|---|
|
Primeiro demostrarase que os puntos na circunferencia teñen a propiedade de que os pés das perpendiculares trazados dende aí son colineares. De acordo co diagrama, sexan ABC os lados do triángulo, X, Y, Z os pés das perpendiculares respectivos sobre os lados CA, AB, BC e supóñase P no arco AC da circunferencia circunscrita. A idea central da proba será demostrar que os ángulos CYX e AYZ son iguais e polo tanto que XY e YZ forman unha mesma liña recta.
Das dúas últimas observacións, dado que os ángulos ABX e ABC son iguais, séguese que os ángulos XPZ e CPA son iguais. Restando a ambos o valor do ángulo XPA resulta: e polo tanto
Así, sendo os ángulos CYX e AYZ son iguais e comparten AC como un lado, deben ser opostos polo vértice e polo tanto XYZ é unha liña recta. As distintas configuracións que aparecen dependendo da posición relativa de P respecto á posición de A, B, C pódense reducir á proba anterior renomeando os puntos involucrados. Agora, a segunda parte da proba corresponde a demostrar que se un punto é tal que os pés das perpendiculares que se trazan dende el son colineares, entón o punto está sobre a circunferencia. Etiquetando os vértices do triángulo de modo que o punto se atope no interior do ángulo ABC e o diagrama das perpendiculares corresponda á figura anterior, pódense repetir todos os pasos en orde inversa para concluír que PABC necesariamente é un cuadrilátero cíclico e polo tanto que P está na circunferencia circunscrita de ABC. Isto é posible porque os dous resultados usados son equivalencias lóxicas:
|
Propiedades
[editar | editar a fonte]
- A recta de Simson dun vértice do triángulo é a altura do triángulo trazada desde ese mesmo vértice.
- A recta de Simson dun punto diametralmente oposto a un vértice é o lado formado polos outros dous vértices.
- O ángulo formado entre as rectas de Simson de dous puntos P, Q é exactamente igual á metade do ángulo central do arco PQ.
- A recta de Simson dun punto P pasa polo punto medio do segmento PH, onde H representa o ortocentro do triángulo. Ademais, ese punto de intersección está sobre a circunferencia dos nove puntos.
- A envolvente de todas as liñas de Simson é un deltoide denominado deltoide de Steiner.
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer. Retorno a la Geometría. Serie «La tortuga de Aquiles», No.1, outono de 1993. Proyecto Euler. Tradución ao castelán de Geometry Revisited, editado pola Mathematical Association of America.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]A.I. Fetísov. Acerca da demostración en xeometría, Editorial Mir Moscova (1980): Dá unha demostración da proposición sobre unha circunferencia circunscrita a un triángulo e a colinearidade dos pés de perpendiculares trazadas dun punto circunferencial aos tres lados do triángulo.
