מלבן

מלבן עם אלכסונים

בגאומטריה, מלבן הוא מרובע שבו כל הזוויות ישרות. מלבן הוא מקרה פרטי של מקבילית ושל טרפז שווה-שוקיים. מלבן בעל זוג צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע. אורכו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הארוכות יותר, ורוחבו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הקצרות יותר.

מקור השם

בשונה מצורות הגאומטריות אחרות, ששמותיהן מעידים על מהות הצורות שהם מייצגים, כמו משולש, ריבוע או משושה, השם מלבן אינו רומז לצורתו של המלבן, אלא ניתן לו על שם הלבנה ששימשה עוד מימי קדם לבניית בתים. צורת התבנית שאליה יצקו את בלילת הלבנה הייתה צורת מלבן, וממילא כך גם צורתה של הלבנה.

תכונות

• הצלעות הנגדיות של המלבן שוות באורכן, ומקבילות זו לזו.
• האלכסונים במלבן שווים באורכם, ונקודת החיתוך שלהם מחלקת כל אלכסון לשני חלקים שווים ומכך נובע שהאלכסונים חוצים זה את זה ושווים זה לזה.
• כל מלבן ניתן לחסום במעגל, אך הוא איננו חוסם מעגל (אלא אם כן הוא ריבוע).
• מלבן בעל 2 צלעות מקבילות שוות.
• כל זוויותיו של המלבן שוות.
• כל זוויותיו הפנימיות הן זוויות ישרות.

אם צלעות המלבן הן $\ a$ ו-$\ b$, אז:

• היקף המלבן שווה לסכום אורכי צלעותיו: $\ P=(b+b+a+a)$
• שטח המלבן שווה למכפלת אורכו ברוחבו, $\ S=a\cdot b$.
• אורכו של האלכסון במלבן ניתן לחישוב על פי משפט פיתגורס: ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

הגדרה

• מרובע בו כל הזוויות שוות, הוא מלבן.
• מרובע בו לפחות שלוש זוויות ישרות, הוא מלבן.
• מקבילית\טרפז שווה-שוקיים שבו לפחות זווית אחת ישרה, הוא מלבן.
• מקבילית שאלכסוניה שווים זה לזה, היא מלבן.
• טרפז בו זוג זוויות נגדיות ישרות, הוא מלבן.
• דלתון שאלכסוניו שווים זה לזה, הוא מלבן.
• דלתון בו זווית ראש אחת לפחות וזווית בסיס אחת ישרות, הוא מלבן.

יחסי ההכלה של המלבן

יחסי ההכלה בין מלבן לריבוע - שיטחו של ריבוע לעומת מלבן, כאשר היקפי המלבן והריבוע זהים, יהיה גדול יותר. כאשר יהיו שווים - נקבל ריבוע.

יחסי ההכלה בין מלבן למעוין - המלבן יהיה גדול יותר בשטחו כי אורך ורוחב צלעות המלבן אינם שווים.

יחסי ההכלה בין מלבן למקבילית - המקבילית היא כמו המלבן, גם אצל המקבילית האורך והרוחב של הצלעות שונה אך גם סוג הצלעות שונה ולכן ניתן להסיק שגודל המקבילית גדול יותר

מלבן בגודל 5 על 4

משפטים הפוכים

• מקבילית בעלת זווית ישרה היא מלבן.
• מקבילית שאלכסוניה שווים זה לזה היא מלבן.

בתחומים אחרים

בחשבון האינפיניטסימלי, אפשר לחשוב על אינטגרל רימן כגבול של סכומי שטח של מלבנים בעלי רוחב שרירותי, ולמעשה נעשה שימוש במלבן להגדרת המושג שטח.

חבורת הסימטריות של מלבן שאינו ריבוע היא חבורת הארבעה של קליין.

מלבן הזהב

מלבן הזהב הוא מלבן שהיחס בין צלעותיו הוא יחס הזהב. יש הטוענים שהוא בעל ערך אסתטי מיוחד, ולכן ניתן למצוא אותו ביצירות אמנות. יש הטוענים שהוא נמצא גם במבני העת העתיקה, כגון הפרתנון באתונה ואף הפירמידות במצרים, אך יש לא מעטים המטילים ספק בכך.

קבוצות אינסופיות של מלבנים חסומים

בכל מרובע בעל אלכסונים מאונכים עם זוויות קהות, ניתן לחסום 2 קבוצות אינסופיות של מלבנים:

(i) קבוצת המלבנים שצלעותיהם מקבילות לאלכסוני המרובע.

(ii) קבוצת המלבנים המוגדרים בעזרת מעגלי נקודות פסקל..

ריצוף

ניתן לרצף את המישור בעזרת מלבנים בדרכים רבות, לדוגמה:

• 
• 
• 
• 

תכונות דואליות

המצולע הדואלי של המלבן הוא המעוין:

• במעוין כל הצלעות שוות ובמלבן כל הזוויות שוות.
• במעוין זוויות נגדיות שוות ובמלבן צלעות נגדיות שוות.
• למעוין יש מעגל חסום ולמלבן יש מעגל חוסם.
• למעוין יש ציר סימטריה דרך כל זוג זוויות נגדיות, ולמלבן יש ציר סימטריה דרך כל זוג צלעות נגדיות.
• האלכסונים של מעוין נפגשים בזוויות שוות, ואלכסונים של מלבן נחתכים באורכים שווים.
• חיבור אמצעי הצלעות של מעוין יוצר מלבן, וחיבור אמצעי הצלעות של מלבן יוצר מעוין.

קישורים חיצוניים

• מלבן, באתר לרגו (LerGO).
• מלבן, באתר MathWorld (באנגלית)