Polje (matematika)

U apstraktnoj algebri, polje je algebarska struktura u kojoj se mogu izvoditi operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja (osim dijeljenja s nulom), i gdje vrijede poznata pravila iz aritmetike običnih brojeva.

Sva polja su prsteni, ali ne i obratno. Polja se razlikuju od prstena po tome što se traži da je dijeljenje moguće, a u današnje vrijeme, također i po tome da operacija množenja u polju bude komutativna. Inače je struktura tzv. prsten s dijeljenjem, iako su se povijesno prsteni s dijeljenjem nazivali polja, a polja su bila komutativna polja.

Osnovni primjer polja je $\mathbb {Q}$, polje racionalnih brojeva. Ostali važni primjeri uključuju polje realnih brojeva $\mathbb {R}$, polje kompleksnih brojeva $\mathbb {C}$ i, za bilo koji prost broj p, konačno polje cijelih brojeva modulo p, oznaka $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$. Za bilo koje polje K, skup K(X), tj. skup racionalnih funkcija s koeficijentima iz K je također polje.

Matematička disciplina koja se bavi proučavanjem polja se naziva teorija polja.

Ekvivalentne definicije

Definicija 1

Polje je komutativan prsten s dijeljenjem.

Definicija 2

Polje je komutativni prsten ($\mathbb {F}$, +, *) takav da je 0 različito od 1 i da svi elementi od $\mathbb {F}$ osim nule imaju inverz za množenje. (Važno je primijetiti da 0 i 1 ovdje redom označavaju neutralne elemente za operacije + i *, te se mogu razlikovati od poznatih realnih brojeva 0 i 1).

Definicija 3

Eksplicitno, polje je definirano sljedećim svojstvima:

Zatvorenost od $\mathbb {F}$ za + i *

$\forall a,b\in \mathbb {F}$, $a+b\in \mathbb {F}$ i $a*b\in \mathbb {F}$ (ili formalnije, + i * su binarne operacije na F).

+ i * su asocijativne operacije

$\forall a,b,c\in \mathbb {F}$, $a+(b+c)=(a+b)+c$ i $a*(b*c)=(a*b)*c$.

+ i * su komutativne operacije

$\forall a,b\in \mathbb {F}$, $a+b=b+a$ i $a*b=b*a$.

Vrijedi distributivnost operacije * prema +

$\forall a,b,c\in \mathbb {F}$, $a*(b+c)=(a*b)+(a*c)$.

Postojanje neutralnog elementa za zbrajanje

$\exists 0\in \mathbb {F}$ takav da je $\forall a\in \mathbb {F}$, $a+0=0+a=a$.

Postojanje neutralnog elementa za množenje

$\exists 1\in \mathbb {F}$ takav da je $\forall a\in \mathbb {F}$, $a*1=1*a=a$.

Postojanje inverza za zbrajanje

$\forall a\in \mathbb {F}$$\exists -a\in \mathbb {F}$, takav da je $a+(-a)=-a+a=0$.

Postojanje inverza za množenje

$\forall a\in \mathbb {F} ,a\neq 0$, $\exists a^{-1}\in \mathbb {F}$, takav da je $a*a^{-1}=a^{-1}*a=1$.

Uvjet da je 0 ≠ 1 osigurava da skup koji sadrži samo jedan element nije polje. Izravno iz aksioma se može pokazati da su ($\mathbb {F}$, +) i ($\mathbb {F} \setminus \{0\}$, *) komutativne grupe (Abelove grupe), i tada su aditivni inverz −a i multiplikativni inverz a⁻¹ jedinstveno određeni s a. Ostala korisna pravila uključuju:

−a = (−1) * a

i općenitije

−(a * b) = (−a) * b = a * (−b),

kao i

a * 0 = 0.

Primjeri

• Kompleksni brojevi $\mathbb {C}$, s uobičajenim operacijama zbrajanja i množenja. Polje kompleksnih brojeva sadrži sljedeća potpolja:
• Racionalni brojevi $\mathbb {Q} =\{{\frac {a}{b}}$ | $a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {N} \}$, gdje je $\mathbb {Z}$ skup cijelih brojeva, a $\mathbb {N}$ skup prirodnih brojeva. Polje racionalnih brojeva nema pravih potpolja.