Minkowski-tér

A Minkowski-tér vagy Minkowski téridő (Hermann Minkowski matematikusról elnevezett) matematikai-fizikai fogalom; a térnek az az értelmezése, amelyben az Einstein-féle speciális relativitáselmélet legjobban megfogalmazható.

Fizikai értelmezés

A Minkowski-tér a fizikában a háromdimenziós Euklideszi tér még egy dimenzióval, az idődimenzióval való kiterjesztése. A ma legáltalánosabb változatban ez a nulladik dimenzió, de előfordul negyedik dimenzióként is.

Metrika

Ha a matematikai precizitástól kissé eltekintünk, egy tér metrikájának a tér pontjai közötti „távolság” definícióját nevezzük (lásd még metrikus tér). Ez általában (lineáris terekben) legegyszerűbb módon a térbeli „hossz” (szakszerűbben: norma) fogalmára alapozva építhető fel.

• A (x₁,x₂,x₃) számhármas alakban megadott pontokból (ld. helyvektor) álló háromdimenziós euklideszi-tér (ℝ³) esetén a "hossz"-t megadó képlet: ${\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}$
• Az (x₀,x₁,x₂,x₃) számnégyes alakban megadott pontokból álló (ℝ⁴) Minkowski-tér esetén pedig a leginkább elterjedt változatban ${\sqrt {x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}}}$, ennek négyzete a következő képlettel is megadható: g^μνx_μx_ν = x_μx^μ, ahol x^μ = g^μνx_ν (az azonos indexekre összegezni kell)

ahol a g mátrix a következőképpen néz ki:

$g={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$

g-t a Minkowski-tér metrikus tenzorának nevezzük. Egy másik, ritkábban használatos alakja a fentinek a -1-szerese, illetve egy ódivatú változatban az időkoordináta és a metrikus tenzor időkomponense is képzetes szám.

Négyesvektorok

Az (x₀,x₁,x₂,x₃) számnégyest a háromdimenziós vektor kiterjesztésének, négyesvektornak vagy másképpen Lorentz-vektornak nevezzük. Ennek nulladik komponensét x₀ = ct definícióval időszerű komponensnek, a másik hármat térszerű komponenseknek nevezzük. c itt a fénysebesség vákuumban, t pedig az idő. Ezzel a definícióval a fent definiált távolságnégyzet a fény vákuumbeli mozgásegyenlete.

A Lorentz-transzformáció olyan transzformáció, ami a fenn definiált távolságnégyzetet invariánsul hagyja, hasonlóan ahhoz, ahogy térbeli forgatások invariánsul hagyják a háromdimenziós távolságnégyzetet. Ezért a Lorentz-transzformáció négydimenziós forgatásnak is tekinthető a Minkowski-térben, amit nem szabad összetéveszteni a négydimenziós Euklideszi-térrel.

Kontravariáns és kovariáns komponensek

A metrikánál láttuk a g^μνx_μx_ν kifejezést a tér két pontja közötti távolságnégyzetre, vagy ha x_μ-t négyesvektor-komponensnek tekintjük (mert tekinthetjük), akkor ezt a négyesvektor hosszának négyzetének nevezzük a fizikában (ld. Landau). A kifejezésben alsó és felső indexek (nem hatványkitevő) is megjelennek, amelyekkel a következő fontos alapképletünk x^μ = g^μνx_ν. x^μ a négyesvektor kontravariáns, x_μ pedig a kovariáns komponenseit jelöli. A négyesvektort ezekkel a következő alakban is írhatjuk:

• x^μ = (x⁰,x), x_μ = (x⁰,-x), ahol x a térszerű hármasvektor része a négyesvektornak

A kétféle komponens között az x⁰ = x₀, x¹ = – x₁ stb. összefüggések érvényesek. Ezek segítségével a metrikus tenzor elhagyásával x_μx^μ alakban írhatjuk a vektor hossznégyzetét. Az Einstein-féle szummázási konvenció szerint, ha azonos betűvel jelölt egy-egy kovariáns és kontravariáns indexet látunk, akkor arra összegezni kell, mintha a szummázás jele ki lenne téve. A szummázás és a metrikus tenzor elhagyásával a fizikai képletek rendkívül áttekinthetővé válnak. A metrikus tenzorral - aminek kovariáns és kontravariáns alakja ugyanaz - való szorzást indexlehúzásnak illetve indexfelhúzásnak is nevezzük. Egy indexpár szimultán fel- és lehúzása nem változtatja meg a szorzat értékét.

A négyeskoordináták szerinti parciális deriváltak, mint négyesvektorok

Tekintsünk egy tetszőleges Φ négyesskalárt, ami függ a négyeskoordinátáktól. Ennek a teljes deriváltját fejtsük ki a parciális deriváltak szerint:

$d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}dx^{\mu }$

A bal oldalon egy négyesskalár található, ezért a jobb oldal is az. A kifejezés úgy néz ki, mint két négyesvektor skalárszorzata, amit a Lorentz-transzformáció invariánsul hagy. A négyesvektorok előbb látott hossznégyzete is egy ilyen a vektor önmagával vett skalárszorzata, ami egy kovariáns és kontravariáns vektorral a metrikus tenzor nélkül írható fel formálisan. Kifejezésünk alapján látszik, hogy a kontravariáns komponensek szerinti parciális deriváltak (négyesgradiens) egy kovariáns vektort alkotnak. Fordítva is igaz, a kovariáns komponensek szerinti parciális deriválás kontravariáns négyeskomponensekhez vezet. Szokásosak a még tömörebb alábbi kifejezések, amik szembetűnően mutatják a deriválással képzett mennyiségek kovariáns vagy kontravariáns voltát:

$\phi _{,\mu }=\partial _{\mu }\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x^{\mu }}}$

$\phi ^{,\mu }=\partial ^{\mu }\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{\mu }}}$

Négyestenzorok

A háromdimenziós tenzorok mintájára teljesen analóg módon definiálhatjuk a Lorentz-tenzorokat vagy négyestenzorokat, ezen belül a Lorentz-skalárokat vagy négyesskalárokat és Lorentz-vektorokat vagy négyesvektorokat a Lorentz-transzformációval – hármasforgatások helyett – szembeni transzformációs tulajdonságaik alapján.

• négyesskalár például a fénysebesség, nyugalmi tömeg stb.
• négyesvektor például az energia és impulzus alkotta négyesimpulzus; az elektrosztatikus és vektorpotenciál alkotta négyespotenciál; stb.
• négyestenzor például az elektromos és mágneses térerősség alkotta elektromágneses térerősségtenzor; az energiasűrűség, energiaáram-sűrűség és feszültségtenzor alkotta energia-impulzus tenzor; stb.

Kapcsolódó szócikkek

• skalár, vektor, tenzor