Քառանկյուն

Քառանկյուն
┌─────────────┼────────────┐
Ոչ ուռուցիկ		Ուռուցիկ		Ինքնահատվող
┌─────────────┼─────────────┐
Շրջանագծով արտագծված		Սեղան		Շրջանագծով ներգծված
| ┌───────────┤				|
Հավասարասրուն սեղան Սրունքները հավասար են		Զուգահեռագիծ Կողմերը զուգահեռ են		Դելտոիդ Անկյունագծերն ուղղահայաց են
└─────┬─────┘			└─────┬─────┘
Ուղղանկյուն Ուղիղ անկյուններ			Շեղանկյուն Հավասարասրուն
└──────────┬─────────┘
Քառակուսի

Քառանկյուն, երկրաչափական պատկեր, որը կազմված է 4 գագաթից (դրանցից 3-ը մեկ ուղղի վրա ընկած չեն) և 4 ուղղից, որոնք միացնում են գագաթները։ Տարբերում են ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ քառանկյուններ։

Քառանկյան տեսակները

• Զուգահեռագիծ՝ քառանկյուն, որի հանդիպակած կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են և հավասար
• Ուղղանկյուն՝ քառանկյուն, որի բոլոր անկյուններն ուղիղ են
• Շեղանկյուն՝ քառանկյուն, որի բոլոր կողմերը հավասար են
• Քառակուսի՝ քառանկյուն, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են, իսկ բոլոր կողմերը՝ հավասար
• Սեղան՝ քառանկյուն, որի երկու հակադիր կողմերը զուգահեռ են
• Դելտոիդ՝ քառանկյուն, որի իրար կապված երկու կողմերի երկու զույգ հավասար են

Քառանիստ

Չնայած այս անվանումը կարող է համարժեք չլինել քառանկյան հետ, բայց նրան հաճախ տրվում է հավելյալ իմաստ։ Քառանկյուն է կոչվում այն 4 գծերը, որոնցից ցանկացած երկուսը զուգահեռ չեն և ցանկացած երեքը չեն անցնում մեկ կետով։

Հիմնական տեղեկություններ

• Քառանկյան անկյունների գումարը հավասար է 2π = 360°։
• Քառանկյանը կարելի է արտագծել շրջանագիծ այն և միայն այն դեպքում, երբ հակադիր անկյունների գումարը հավասար է 180°՝

($~\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$)

• Ուռուցիկ քառանկյունը հանդիսանում է ներգծված շրջանագծով այն և միայն այն դեպքում, երբ հակադիր կողմերի երկարությունները հավասար են ($~AB+CD=BC+AD$)։
• Էյլերի բանաձևը. Տրամագծերի հատույթի տարածության քառակուսու քառապատիկը հավասար է քառանկյան կողմերի քառակուսու և իր տրամագծերի քառակուսու տարբերությանը։
• Քառանկյան միջին գիծը և քառանկյան տրամագծերի հատույթը միացնող հատվածը հատվում են և կիսվում։
• Չորս հատվածները, որոնցից յուրաքանչյուրը քառանկյան գագաթը միացնում է մյուս 3 գագաթներից կազմված եռանկյան կենտրոնին, հատվում են քառանկյան կենտրոնում և բաժանվում 3։1 հարաբերությամբ հատվածների՝ հաշված գագաթից։
• Քառանկյան երկու հանդիպակաց կողմեր ուղղահայաց են այն և միայն այն դեպքում, երբ մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարը հավասար է անկյունագծերի քառակուսիների գումարին։
• Քառանկյան անկյունագծերը ուղղահայաց են այն և միայն այն դեպքում, որբ հակադիր կողմերի քառակուսիների գումարները հավասար են։
• 4 կամայական կետերի միջև ընկած 6 հեռավորությունները, որոնք վերցված են զույգ առ զույգ, կապված են հետևյալ հարաբերակցությամբ՝

$a^{2}c^{2}\left(b^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}-a^{2}-c^{2}\right)+b^{2}d^{2}\left(a^{2}+c^{2}+e^{2}+f^{2}-b^{2}-d^{2}\right)+$

$+e^{2}f^{2}\left(a^{2}+c^{2}+b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2}\right)=(abe)^{2}+(bcf)^{2}+(cde)^{2}+(daf)^{2}$.

Այս հավասարումը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

$\left|{\begin{matrix}0&a^{2}&e^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&f^{2}&1\\e^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&f^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{matrix}}\right|=0$

Մակերես

$d_{1}$, $d_{2}$ անկյունագծեր և նրանց միջև ընկած $\alpha$ անկյուն ունեցող ուռուցիկ քառանկյան մակերեսը հավասար է

$S={\frac {d_{1}d_{2}\sin \alpha }{2}}$

Կամայական քառանկյան մակերեսը հավասար է

• $16S^{2}=4d_{1}^{2}d_{2}^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)^{2}$, որտեղ $d_{1}$, $d_{2}$ — անկյունագծեր, իսկ a, b, c, d —ն կողմերի երկարություններն են։
• $S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }},$, որտեղ p-ն կիսապարագիծն է, իսկ $\theta$-ն՝ քառանկյան հակառակ կողմերի կիսագումարը (կապ չունի, թե որ զույգն է վերցված, քանի որ եթե մի համադիր զույգի կիսագումարը հավասար է $\theta$, ապա մյուս անկյունների կիսագումարը հավասար կլինի $180^{\circ }-\theta$ և $\cos ^{2}(180^{\circ }-\theta )=\cos ^{2}\theta$)։

Բացառություններ

Եթե քառանկյունը և՛ ներգծված է, և՛ արտագծված, ապա $S={\sqrt {abcd}}$։ Եթե այն արտագծված է, ապա մակերեսը հավասար է նրա պարագծի և ներգծված շրջանագծի շառավղի արտադրյալին։

Պատմություն

Հին Եգիպտոսում մի քանի այլ ազգեր մակերեսը հաշվելու համար օգտագործում էին ոչ ճիշտ բանաձև՝

$S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}$։

Տես նաև

• Կոսինուսների թեորեմ