Grup titik dalam tiga dimensi

Grup titik dalam tiga dimensi

Simetri involusi Cs, (*) [ ] =	Simetri siklik Cnv, (*nn) [n] =	Simetri dihedral Dnh, (*n22) [n,2] =
Grup polihedral, [n,3], (*n32)
Simetri tetrahedral Td, (*332) [3,3] =	Simetri oktahedral Oh, (*432) [4,3] =	Simetri ikosahedral Ih, (*532) [5,3] =

Dalam geometri, sebuah grup titik dalam tiga dimensi adalah grup isometri dalam tiga dimensi yang meninggalkan asal tetap, atau dengan demikian, grup isometri dari bola. Ini adalah subgrup dari grup ortogonal O(3), grup dari semua isometri yang membiarkan asal tetap, atau dengan demikian, grup dari matriks ortogonal. O(3) sendiri adalah subgrup dari grup Euklides E(3) dari semua isometri.

Grup simetri objek adalah grup isometri. Oleh karena itu, analisis grup isometri adalah analisis kemungkinan simetri. Semua isometri dari objek 3D hingga memiliki satu atau lebih titik tetap yang sama. Apabila memilih asal sebagai salah satunya.

Grup simetri suatu objek terkadang juga disebut grup simetri penuh, sebagai lawan dari grup rotasi atau grup simetri baik, irisan grup simetri penuhnya dan grup rotasi SO(3) dari ruang 3D itu sendiri. Grup rotasi suatu objek sama dengan grup simetri penuhnya jika dan hanya jika objek adalah kiral.

Grup titik dalam tiga dimensi banyak digunakan dalam kimia, terutama untuk menggambarkan simetri molekul dan orbital molekul yang membentuk ikatan kovalen, dan dalam konteks ini ini disebut juga sebagai gugus titik molekuler.

Grup Coxeter hingga adalah himpunan khusus grup titik yang dihasilkan murni oleh sekumpulan cermin pemantulan yang melewati titik yang sama. Grup Coxeter peringkat n memiliki cermin n dan diwakili oleh diagram Coxeter–Dynkin. Notasi Coxeter menawarkan notasi kurung ekuivalen dengan diagram Coxeter, simbol markup tersebut untuk rotasi dan grup titik subsimetri lainnya.

Struktur grup

SO(3) adalah subgrup dari E⁺(3), yang terdiri dari isometri langsung; yaitu, isometri kelestarian orientasi tersebut berisi beberapa yang meninggalkan asal tetap.

O(3) adalah produk langsung dari SO(3) dan grup yang dihasilkan oleh inversi (dilambangkan dengan matriks−I):

O(3) = SO(3) × { I , −I }

Jadi, korespondensi 1-ke-1 antara semua isometri langsung dan semua isometri tidak langsung, melalui inversi. Juga korespondensi 1-ke-1 antara semua grup isometri langsung H di O(3) dan semua grup K dari isometri di O(3) yang berisikan inversi:

K = H × { I , −I }

H = K ∩ SO(3)

Misalnya, jika H adalah C₂, maka K adalah C_2h, atau jika H adalah C₃, lalu K adalah S₆ (lihat bagian bawah untuk definisi grup ini).

Jika grup isometri langsung H memiliki subgrup L dari indeks 2, maka, selain dari grup sesuai yang mengandung inversi, grup sesuai yang berisi isometri tidak langsung, namun tidak memiliki inversi:

M = L ∪ ( (H ∖ L) × { −I } )

dimana isometri ( A, I ) diidentifikasi dengan A. Contohnya adalah C₄ untuk H dan S₄ untuk M.

Jadi M diperoleh dari H dengan inversi isometri di H ∖ L. Grup M ini sebagai grup abstrak isomorfik dengan H. Sebaliknya, untuk semua grup isometri yang mengandung isometri tidak langsung, tetapi tidak memiliki inversi, apabila memperoleh grup rotasi dengan inversi isometri tidak langsung. Ini menjelaskan ketika mengkategorikan grup isometri, lihat di bawah.

Dalam 2D grup siklik dari lipatan-k rotasi C_k adalah untuk setiap bilangan bulat positif k subgrup normal dari O(2,R) dan SO(2,R). Dengan demikian, dalam 3D, untuk setiap sumbu, grup siklik dari rotasi lipatan-k pada sumbu tersebut adalah subgrup normal dari grup semua rotasi terhadap sumbu tersebut. Karena setiap subgrup indeks dua adalah normal, grup rotasi (C_n) adalah normal baik pada grup (C_nv) diperoleh dengan menjumlahkan (C_n) bidang pantul melalui sumbu dan dalam grup (C_nh) diperoleh dengan menjumlahkan (C_n) bidang pantul yang tegak lurus sumbunya.

Isometrik 3D terluar dari asal tetap

Isometri dari R³ terluar asal tetap, dalam bentuk grup O(3,R), apabila dikategorikan sebagai berikut:

• SO(3,R):
  • identitas
  • rotasi pada sumbu melalui titik asal dengan sudut yang tidak sama dengan 180°
  • rotasi sekitar sumbu melalui titik asal dengan sudut 180 °;
• sama dengan inversi (x dipetakan ke x), yaitu masing-masing:
  • inversi
  • rotasi pada suatu sumbu dengan sudut yang tidak sama dengan 180°, digabungkan dengan pantulan pada bidang melalui titik asal tegak lurus pada sumbu
  • refleksi dalam bidang melalui titik asal.

Bagian ke-4 dan ke-5 secara khusus, dan dalam arti yang lebih luas juga terdapat bagian ke-6, disebut rotasi tak wajar.

Lihat pula ikhtisar termasuk translasi.

Konjugasi

Saat membandingkan tipe simetri dari dua objek, titik asal yang secara terpisah, yaitu tidak perlu memiliki pusat yang sama. Selain itu, dua objek bertipe simetri yang sama jika grup simetri adalah subgrup konjugat dari O(3) (dua subgrup H₁, H₂ dari grup G adalah konjugasi, apabila jika g ∈ G sedemikian rupa sehingga H₁ = g⁻¹H₂g ).

Misalnya, dua objek 3D memiliki tipe simetri yang sama:

• jika keduanya memiliki simetri cermin, namun pada bidang cermin yang berbeda
• jika keduanya memiliki simetri putar 3 kali lipat, namun pada sumbu yang berbeda.

Dalam kasus beberapa bidang cermin dan/atau sumbu rotasi, dua grup simetri memiliki tipe simetri yang sama jika dan hanya jika rotasi memetakan seluruh struktur grup simetri pertama ke struktur kedua. Definisi konjugasi juga akan memungkinkan bayangan cermin dari struktur, tetapi ini tidak diperlukan, struktur itu sendiri adalah akiral. Misalnya, jika grup simetri berisi sumbu rotasi 3 kali lipat, hal tersebut apabila rotasi dalam dua arah yang berlawanan. (Struktur adalah kiral untuk 11 pasang ruang grup dengan sumbu sekrup.)

Grup isometri tak hingga

Lihat pula: Simetri putar § simetri putar terhadap sembarang sudut

Ada banyak grup isometri tak hingga; misalnya, "grup siklik" (artinya dihasilkan oleh satu elemen—jangan bingung dengan grup torsi) yang dihasilkan oleh rotasi oleh bilangan irasional putaran sebuah kapak. Apabila grup abelian non-siklus dengan menambahkan lebih banyak rotasi di sekitar sumbu yang sama. Ada juga grup non-abelian yang dihasilkan oleh rotasi di sekitar sumbu yang berbeda. Ini biasanya (umumnya) grup bebas. Apabila akan menjadi tak hingga kecuali rotasi dipilih secara khusus.

Semua grup tak hingga yang disebutkan sejauh ini tidak tertutup sebagai subgrup topologi dari O(3). Sekarang membahas subgrup tertutup topologi dari O(3).

Bola yang tidak bertanda memiliki simetri O(3).

Seluruh O(3) adalah grup simetri dari simetri bola; SO(3) adalah grup rotasi yang sesuai. Grup isometrik tak hingga lainnya terdiri dari semua rotasi tentang sumbu melalui titik asal, dan grup dengan refleksi tambahan pada bidang yang melalui sumbu, dan/atau pantulan pada bidang melalui titik asal, tegak lurus terhadap sumbu. Dengan refleksi bidang melalui sumbu, dengan atau tanpa refleksi bidang melalui titik asal tegak lurus pada sumbu, adalah grup simetri untuk dua jenis simetri tabung. Perhatikan bahwa setiap objek fisik yang memiliki simetri rotasi tak hingga juga akan memiliki simetri bidang cermin yang melalui sumbu.

Ada tujuh grup kontinu yang semuanya merupakan limit grup isometri hingga. Ini disebut grup titik pembatas atau grup pembatas Curie dinamai Pierre Curie yang merupakan orang pertama yang menyelidikinya. Tujuh barisan tak hingga dari grup aksial mengarah ke lima grup pembatas (dua di antaranya adalah duplikat), dan tujuh grup titik tersisa menghasilkan dua grup lebih kontinu. Dalam notasi internasional, daftarnya adalah ∞, ∞2, ∞/m, ∞mm, ∞/mm, ∞∞, dan ∞∞m.

Grup isometri hingga

Simetri dalam 3D dikarenakan titik asal tetap sepenuhnya dicirikan oleh simetri pada bola yang berpusat di titik asal. Untuk grup titik 3D hingga, lihat pula grup simetri bola.

Hingga konjugasi, himpunan grup titik 3D hingga terdiri dari:

• 7 deret tak hingga dengan banyak satu sumbu rotasi lebih dari 2 kali lipat; ia adalah grup simetri terbatas pada tabung tak hingga, atau ekuivalen, dan tabung hingga. Ia terkadang disebut grup titik aksial atau prismatik.
• 7 grup titik dengan beberapa sumbu rotasi 3 kali lipat atau lebih; ia juga dapat dicirikan sebagai grup titik dengan beberapa sumbu rotasi 3 kali lipat, karena semua 7 mencakup sumbu ini; berhubungan dengan sumbu rotasi 3 kali lipat atau lebih, kombinasi yang mungkin adalah:
  • 4 sumbu 3 kali lipat
  • 4 sumbu 3 kali lipat dan 3 sumbu 4 kali lipat
  • 10 sumbu 3 kali lipat dan 6 sumbu 5 kali lipat

Menurut teorema restriksi kristalografi, sejumlah grup titik hingga kompatibel dengan simetri translasi diskrit: 27 dari 7 deret tak hingga, dan 5 dari 7 lainnya. Bersama-sama, ini membentuk 32 apa yang disebut grup titik kristalografi.

Tujuh deret tak hingga dari grup aksial

Deret tak hingga dari grup aksial atau prismatik memiliki indeks n, yang berupa bilangan bulat; setiap deret, grup simetri ke-n berisi lipatan-n simetri rotasi suatu sumbu, yaitu simetri terhadap rotasi dengan sudut 360°/n. n=1 mencakup kasus tidak ada simetri rotasi sama sekali. Ada empat deret tanpa sumbu simetri rotasi lainnya (lihat simetri siklik) dan tiga dengan sumbu tambahan simetri lipat 2 (lihat simetri dihedral). Apabila dipahami sebagai grup titik dalam dua dimensi diperpanjang dengan koordinat aksial dan refleksi di dalamnya. Terkait dengan grup dekorasi; yang ditafsirkan sebagai pola grup dekorasi yang berulang kali n di sekitar tabung.

Tabel berikut mencantumkan beberapa notasi untuk grup titik: notasi Hermann–Mauguin (digunakan dalam kristalografi), notasi Schönflies (digunakan untuk mendeskripsikan simetri molekuler), notasi orbifold, dan notasi Coxeter. Tiga yang terakhir tidak hanya terkait dengan sifatnya, tetapi juga dengan urutan grup. Notasi orbifold adalah notasi terpadu, juga berlaku untuk grup bingkai dan grup dekorasi. Grup kristalografi memiliki n hingga pada 1, 2, 3, 4, dan 6; menghapus pembatasan kristalografi memungkinkan setiap bilangan bulat positif. Deret tersebut adalah:

H–M		Schön.	Orb.	Cox.	Dekorasi	Struktur. (Urutan)	Contoh	Catatan
Ganda n	Ganjil n				(tabung)
n		Cn	nn	[n]+	p1	Zn (n)		Lipatan simetri rotasi-n
2n	n	S2n	n×	[2n+,2+]	p11g	Z2n (2n)		Lipatan refleksi rotor simetri-n Jangan disamakan dengan abstrak grup simetris
n/m	2n	Cnh	n*	[n+,2]	p11m	Zn×Z2 (2n)
nmm	nm	Cnv	*nn	[n]	p1m1	Dihn (2n)		Piramida simetri; dalam biologi, simetri biradial
n22	n2	Dn	22n	[n,2]+	p211	Dihn (2n)		Simetri dihedral
2n2m	nm	Dnd	2*n	[2n,2+]	p2mg	Dih2n (4n)		Antiprismaatik simetri
n/mmm	2n2m	Dnh	*22n	[n,2]	p2mm	Dihn×Z2 (4n)		Prismatik simetri

Untuk ganjil n memiliki Z_2n = Z_n × Z₂ dan Dih< sub>2n = Dih_n × Z₂.

Grup C_n (termasuk trivial C₁) dan D_n adalah kiral, yang lainnya kiral.

Istilah horizontal (h) dan vertikal (v), dan subskrip sesuai, mengacu pada bidang cermin tambahan, yang sejajar dengan sumbu rotasi (vertikal) atau tegak lurus terhadap sumbu rotasi (horizontal).

Grup aksial nontrivial paling sederhana setara dengan grup abstrak Z₂:

• C_i (dengan ekuivalen S₂) – inversi simetri
• C₂ – lipatan-2 simetri rotasi
• C_s (dengan ekuivalen C_1h dan C_1v) – simetri refleksi, atau disebut juga simetri bilateral.

Pola pada pita tabung yang menggambarkan kasus n = 6 untuk masing-masing dari 7 keluarga tak hingga grup titik. Grup simetri dari setiap pola adalah grup yang ditunjukkan.

Yang kedua adalah pertama dari grup uniaksial (grup siklik) C_n urutan n (juga berlaku dalam 2D), yang dihasilkan oleh satu putaran sudut 360°/n. Selain itu, apabila menambahkan bidang cermin yang tegak lurus terhadap sumbu, memberikan grup C_nh orde 2n, atau satu himpunan bidang cermin n yang berisi sumbu, memberikan grup C_nv, juga dari urutan 2n. Yang terakhir adalah grup simetri untuk piramida bersisi n beraturan. Objek tipikal dengan grup simetri C_n atau D_n adalah kitiran.

Jika bidang refleksi horizontal dan vertikal ditambahkan, perpotongannya memberikan sumbu rotasi 'n' hingga 180°, sehingga grup bukan uniaksial. Grup baru dari urutan 4n ini disebut D_nh. Subgrup rotasinya adalah grup dihedral D_n urutan 2n, yang masih memiliki sumbu rotasi 2 kali lipat tegak lurus terhadap sumbu rotasi primer, tetapi bukan dari bidang cermin.

Catatan: dalam 2D, D_n menyertakan refleksi, yang juga dilihat sebagai inversi benda datar tanpa membedakan bagian depan dan belakang; namun dalam 3D, operasi tersebut dibedakan: D_n adalah "inversi", bukan refleksi.

Ada satu grup lagi dalam keluarga ini, yang disebut D_nd (atau D_nv), yang memiliki bidang cermin vertikal sebagai sumbu rotasi utama, namun alih-alih memiliki bidang cermin horizontal, ia memiliki isometri yang menggabungkan refleksi pada bidang horizontal dan rotasi dengan sudut 180°/n. D_nh adalah grup simetri untuk "gonal-n "biasa" prisma dan juga untuk "gonal-n "biasa" bipiramid. D_nd adalah grup simetri untuk "gonal-n "biasa" antiprisma, dan juga untuk "gonal-n "biasa" trapezohedron. D_n adalah grup simetri dari prisma yang diputar sebagian ("memutar").

Grup D₂ dan D_2h diperhatikan karena tidak ada sumbu rotasi khusus. Sebaliknya, ada tiga sumbu tegak lurus lipatan-2. D₂ adalah subgrup dari semua simetri polihedral (lihat di bawah), dan D_2h adalah subgrup dari grup polihedral T_h dan O _h. D₂ pada homotetramer seperti Concanavalin A, dalam senyawa koordinasi tetrahedral dengan empat ligan kiral identik, atau dalam molekul seperti tetrakis(klorofluorometil)metana jika semua gugus klorofluorometil memiliki kiralitas yang sama. Unsur D₂ berada dalam korespondensi 1-ke-2 dengan rotasi yang diberikan oleh satuan kuaternion Lipschitz.

Grup S_n dihasilkan oleh kombinasi refleksi pada bidang horizontal dan rotasi dengan sudut 360°/n. Untuk n ganjil ini sama dengan grup yang dihasilkan oleh keduanya secara terpisah, C_nh urutan 2n, dan oleh karena itu notasi S_n tidak diperlukan; namun, untuk n berbeda dari ganjil, dan urutan n. Seperti D_nd adalah sejumlah rotasi takwajar tanpa memuat rotasi yang sesuai.

Semua grup simetri dalam 7 deret tak hingga berbeda, kecuali untuk empat pasang yang sama besar berikut:

• C_1h dan C_1v: grup urutan 2 dengan refleksi tunggal (C_s )
• D₁ dan C₂: grup urutan 2 dengan satu putaran 180°
• D_1h dan C_2v: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° melalui garis pada bidang tersebut
• D_1d dan C_2h: grup urutan 4 dengan refleksi pada bidang dan rotasi 180° melalui garis yang tegak lurus bidang tersebut.

S₂ adalah grup urutan 2 dengan satu inversi (C_i ).

"Sama dengan" dimaksudkan sebagai sama hingga konjugasi dalam ruang. Ini lebih kuat dari "isomorfisme aljabar hingga". Misalnya, tiga grup berbeda dari urutan dua dalam pengertian pertama, tetapi hanya ada satu dalam pengertian kedua. Demikian pula, misalnya S_2n isomorfik secara aljabar dengan Z_2n.

Grup apabila dibangun sebagai berikut:

• C_n. Dihasilkan oleh elemen juga disebut C_n, sesuai dengan rotasi dengan sudut 2π/n di sekitar sumbu. Unsur-unsurnya adalah E (identitas), C_n, C_n², ..., C _nⁿ⁻¹, sesuai dengan sudut rotasi 0, 2π/n, 4π/n, ..., 2(n − 1)π/n.
• S_2n. Dihasilkan oleh elemen C_2nσ_h, dimana σ_h adalah refleksi dalam arah sumbu. Elemennya adalah elemen C_n dengan C_2nσ_h, C_2n³σ_h, ..., C_2n²ⁿ⁻¹σ_h.
• C_nh. Generated by element C_n and reflection σ_h. Its elements are the elements of group C_n, with elements σ_h, C_nσ_h, C_n²σ_h, ..., C_nⁿ⁻¹σ_h added.
• C_nv. Dihasilkan oleh elemen C_n dan refleksi _v dalam arah pada bidang tegak lurus terhadap sumbu. Elemennya adalah elemen grup C_n, dengan elemen σ_v, C_nσ_v, C_n²σ_v, ..., C_nⁿ⁻¹σ_v.
• D_n. Dihasilkan oleh elemen C_n dan rotasi 180° U = σ_hσ_v di sekitar arah pada bidang tegak lurus sumbu. Elemennya adalah elemen grup C_n, dengan elemen U, C_nU, C_n²U, ..., C_n^n − 1U.
• D_nd. Dihasilkan oleh elemen C_2nσ_h dan σ_v. Elemennya adalah elemen grup C_n dan elemen tambahan S_2n dan C_nv , dengan elemen C_2nσ_hσ_v, C_2n³σ_hσ_v, ..., C_2n^2n − 1σ_hσ_v.
• D_nh. Dihasilkan oleh elemen C_n, σ_h, and σ_v. Elemennya adalah elemen grup C_n dan elemen tambahan dari C elements_nh, C_nv, dan D_n.

Mengambil n ke ∞ menghasilkan grup dengan rotasi aksial kontinu:

H–M	Schönflies	Orbifold	Coxeter		Batas	Grup abstrak
∞	C∞	∞∞	[∞]+		Cn	Z∞	SO(2)
∞, ∞/m	C∞h	∞*	[2,∞+]		Cnh, S2n	Z2×Z∞	Z2×SO(2)
∞m	C∞v	*∞∞	[∞]		Cnv	Dih∞	O(2)
∞2	D∞	22∞	[2,∞]+		Dn	Dih∞	O(2)
∞m, ∞/mm	D∞h	*22∞	[2,∞]		Dnh, Dnd	Z2×Z∞	Z2×O(2)

Tujuh grup titik yang tersisa

Grup titik yang tersisa dikatakan sangat tinggi atau simetri polyhedral karena mereka memiliki lebih dari satu sumbu rotasi dengan orde lebih besar dari 2. Disini, C_n menunjukkan sumbu rotasi melalui 360°/n dan S_n menunjukkan sumbu rotasi takwajar melalui yang sama. Dalam tanda kurung adalah notasi orbifold, notasi Coxeter (diagram Coxeter), kelengkapan notasi Hermann–Mauguin, dan yang disingkat jika berbeda. Grup tersebut adalah:

T, (332) [3,3]+ () 23 urutan 12	kiral simetri tetrahedral	Ada empat sumbu C3, melalui dua simpul kubus (diagonal badan) atau salah satu dari tetrahedron biasa, dan tiga sumbu C2, melalui pusat permukaan kubus, atau titik tengah tepi tetrahedron. Grup ini adalah isomorfik hingga A4, grup alternatif pada 4 elemen, dan merupakan grup rotasi untuk tetrahedron reguler. Ini adalah subgrup normal dari Td, Th, dan simetri oktahedral. Unsur dari grup sesuai 1-ke-2 dengan rotasi yang diberikan oleh 24 satuan kuaternion Hurwitz ("grup tetrahedral biner").
Td, (*332) [3,3] () 43m urutan 24	simetri tetrahedral penuh	Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, namun dengan enam bidang cermin, dua sisi kubus atau satu sisi tetrahedron, satu sumbu C2 dan dua sumbu C3. Sumbu C2 sekarang sebenarnya adalah sumbu S4. Grup ini adalah grup simetri untuk tetrahedron reguler. Td isomorfik ke S4, grup simetris pada 4 huruf, karena korespondensi 1-ke-1 antara elemen Td dan 24 permutasi dari empat sumbu lipatan tiga. Sebuah objek simetri C3v di bawah salah satu sumbu 3 kali lipat menimbulkan aksi Td ke orbit yang terdiri dari empat objek tersebut, dan Td sesuai dengan himpunan permutasi dari empat objek ini. Td adalah subgrup normal dari Oh. Lihat pula isometri dari tetrahedron beraturan.
Th, (3*2) [3+,4] () 2/m3, m3 urutan 24	simetri piritohedral	Jahitan bola voli memiliki simetri Th. Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan T, dengan bidang cermin sejajar dengan permukaan kubus. Sumbu C3 menjadi sumbu S6, dan terdapat simetri inversi. Th isomorfik ke A4 × Z2 (karena T dan Ci keduanya adalah subgrup normal), dan bukan untuk grup simetris S4. Ini adalah simetri kubus dengan setiap wajah segmen garis yang membagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, sehingga segmen garis dari wajah yang berdekatan tidak bertemu pada tepi. Simetri sesuai dengan permutasi genap dari diagonal tubuh dan kombinasi yang sama dengan inversi. Ini juga merupakan simetri dari piritohedron, yang mirip dengan kubus yang dijelaskan, dengan setiap persegi panjang diganti dengan segi lima dengan satu sumbu simetri dan 4 sisi yang sama dan 1 sisi yang berbeda (sesuai dengan segmen garis yang membagi wajah kubus); yaitu, wajah kubus menonjol di garis pemisah dan menjadi sempit. Ini adalah subgrup (namun bukan subgrup normal) dari grup simetri ikosahedral penuh (sebagai grup isometri, bukan hanya grup abstrak), dengan 4 dari 10 sumbu tiga kali lipat. Ini adalah subgrup normal dari Oh.
O, (432) [4,3]+ () 432 urutan 24	kiral simetri oktahedral	Grup dengan T, namun sumbu C2 sekarang menjadi sumbu C4, dan selain itu 6 sumbu C2, melalui titik tengah tepi kubus. Grup ini juga isomorfik pada S4 karena elemen berkorespondensi 1-ke-1 dengan 24 permutasi dari sumbu lipatan 3, dengan T. Objek D3 simetri bawah salah satu sumbu lipatan 3 memunculkan bawah tindakan O ke orbit yang terdiri dari empat objek, dan O sesuai dengan himpunan permutasi dari keempat objek ini. Ini adalah grup rotasi dari kubus dan oktahedron. Mewakili rotasi dengan kuaternion, O terdiri dari 24 satuan kuaternion Hurwitz dan 24 kuaternion Lipschitz dari norma kuadrat 2 dinormalisasi dengan membagi dengan ${\sqrt {2}}$. Seperti sebelumnya, ini adalah korespondensi 1-ke-2.
Oh, (*432) [4,3] () 4/m32/m, m3m urutan 48	simetri oktahedral penuh	Grup ini memiliki sumbu rotasi yang sama dengan O, namun dengan bidang cermin, terdiri dari bidang cermin Td dan Th . Grup isomorfik ini pada S4 × Z2 (karena O dan Ci adalah subkelompok normal), dan merupakan grup simetri dari kubus dan oktahedron. Lihat pula isometri kubus.
I, (532) [5,3]+ () 532 urutan 60	kiral simetri ikosahedral	grup rotasi ikosahedron dan dodesahedron. Ini adalah subgrup normal dari indeks 2 dalam grup penuh simetri Ih. Grup ini adalah 10 versi D3 dan 6 versi D5 (simetri rotasi seperti prisma dan antiprisma). Ini juga adalah lima versi T (lihat Gabungan lima tetrahedra). Grup I adalah isomorfik hingga A5, grup alternatif pada 5 huruf, karena elemen bersesuaian 1-ke-1 dengan permutasi genap dari lima simetri Th (atau lima tetrahedra yang baru saja disebutkan). Mewakili rotasi dengan kuaternion, I terdiri dari 120 satuan ikosian. Seperti sebelumnya, ini adalah korespondensi 1-ke-2.
Ih, (*532) [5,3] () 532/m, 53m urutan 120	simetri ikosahedral penuh	grup simetri ikosahedron dan dodecahedron. Grup Ih isomorfik dengan A5 × Z2 karena I dan Ci keduanya adalah subgrup normal. Grup ini adalah 10 versi D3d, 6 versi D5d (simetri seperti antiprisma), dan 5 versi T h.

Grup kontinu yang terkait dengan grup ini adalah:

• ∞∞, K, atau SO(3), semua kemungkinan rotasi.
• ∞∞m, K_h, atau O(3), semua kemungkinan rotasi dan refleksi.

Seperti disebutkan di atas untuk grup isometri tak hingga, setiap benda fisik yang memiliki simetri K juga akan memiliki simetri K_h.

Relasi antara notasi orbifold dan urutan

Urutan setiap grup adalah 2 dibagi dengan orbifold karakteristik Euler; yang terakhir adalah 2 dikurangi jumlah nilai fitur, ditetapkan sebagai berikut:

• n tanpa atau sebelum * dihitung sebagai (n−1)/n
• n setelah * dihitung sebagai (n−1)/(2n)
• * dan × dihitung sebagai 1

Ini juga dapat diterapkan untuk grup bingkai dan grup dekorasi: bagi mereka, jumlah nilai fitur adalah 2, memberikan urutan tak hingga; lihat karakteristik Euler orbifold untuk grup bingkai

Grup Coxeter reflektif

Domain dasar grup Coxeter 3D

A3, [3,3],	B3, [4,3],	H3, [5,3],
cermin 6	cermin 3+6	cermin 15
2A1, [1,2],	3A1, [2,2],	A1A2, [2,3],
cermin 2	cermin 3	cermin 4
A1, [1],	2A1, [2],	A2, [3],
cermin 1	cermin 2	cermin 3

Grup titik reflektif dalam tiga dimensi juga disebut grup Coxeter dan diberikan oleh diagram Coxeter-Dynkin dan mewakili satu himpunan cermin potongan di satu titik pusat, dan mengikat domain segitiga bola pada permukaan bola. Grup Coxeter dengan kurang dari 3 generator memiliki domain segitiga bola yang merosot, seperti lune atau hemibola. Dalam notasi Coxeter kelompok-kelompok ini adalah simetri tetrahedral [3,3], simetri oktahedral [4,3], simetri ikosahedral [5,3], dan simetri dihedral [p,2]. Jumlah cermin untuk grup tak tereduksi adalah nh/2, dimana h adalah bilangan Coxeter grup Coxeter, n adalah dimensi (3).

Grup Weyl	Notasi Coxeter		Urutan	Bilangn Coxeter (h)	Cermin (m)
Grup polihedral
A3		[3,3]	24	4	6
B3		[4,3]	48	6	3+6
H3		[5,3]	120	10	15
Grup dihedral
2A1		[1,2]	4		1+1
3A1		[2,2]	8		2+1
I2(p)A1		[p,2]	4p		p+1
Grup siklik
2A1		[2]	4		2
I2(p)		[p]	2p		p
Cermin tunggal
A1		[ ]	2		1

Grup rotasi

Grup rotasi, yaitu subgrup hingga SO(3), adalah: grup siklik C_n (grup rotasi dari piramida kanonik), grup dihedral D_n (grup rotasi seragam prisma, atau kanonik bipiramid), dan grup rotasi T, O dan I dari tetrahedron reguler, oktahedron/kubus dan icosahedron/dodecahedron.

Secara khusus, grup dihedral D₃, D₄ dll. adalah grup rotasi dari poligon beraturan bidang yang tertanam dalam ruang tiga dimensi, dan sosok seperti itu dapat dianggap sebagai prisma reguler yang merosot. Oleh karena itu, ia juga disebut dihedron (Yunani: padat dengan dua wajah), yang menjelaskan nama grup dihedral.

• Sebuah objek dengan grup simetri C_n, C_nh, C_nv atau S_2n memiliki grup rotasi C_n.
• Objek dengan grup simetri D_n, D_nh, atau D_nd memiliki grup rotasi D_n.
• Sebuah objek dengan salah satu dari tujuh grup simetri lainnya memiliki grup rotasi yang sesuai tanpa subscript: T, O atau I.

Grup rotasi suatu objek sama dengan grup simetri penuhnya jika dan hanya jika objek tersebut kiral. Dengan kata lain, objek kiral adalah objek dengan grup simetrinya dalam daftar grup rotasi.

Diberikan dalam notasi Schönflies, notasi Coxeter, (notasi orbifold), subgrup rotasi adalah:

Refleksi	Refleksi/rotasi	Rotasi takwajar	Rotasi
Cnv, [n], (*nn)	Cnh, [n+,2], (n*)	S2n, [2n+,2+], (n×)	Cn, [n]+, (nn)
Dnh, [2,n], (*n22)	Dnd, [2+,2n], (2*n)		Dn, [2,n]+, (n22)
Td, [3,3], (*332)			T, [3,3]+, (332)
Oh, [4,3], (*432)	Th, [3+,4], (3*2)		O, [4,3]+, (432)
Ih, [5,3], (*532)			I, [5,3]+, (532)

Korespondensi antara grup rotasi dan grup lain

Grup berikut berisi inversi:

• C_nh dan D_nh untuk nilai genap n
• S_2n dan D_nd untuk nilai ganjil n (S₂ = C_i adalah grup yang dihasilkan oleh inversi; D_1d = C_2h)
• T_h, O_h, dan I_h

Seperti dijelaskan di atas, ada korespondensi 1-ke-1 antara grup ini dan semua grup rotasi:

• C_nh untuk nilai genap n dan S_2n untuk nilai ganjil n sesuai dengan C_n
• D_nh untuk nilai genap n dan D_nd untuk nilai ganjil n sesuai dengan D_n
• T_h, O_h, dan I_h sesuai dengan T, O, dan I.

Grup lain mengandung isometri tidak langsung, tetapi tidak inversi:

• C_nv
• C_nh dan D_nh untuk nilai ganjil n
• S_2n dan D_nd untuk nilai genap n
• T_d

Sesuai dengan grup rotasi H dan subgrup L dari indeks 2 dalam arti bahwa apabila diperoleh dari H dengan membalikkan isometri di H \ L, seperti yang dijelaskan di atas:

• C_n adalah subgrup dari D_n dari indeks 2, menghasilkan C_nv
• C_n adalah subgrup dari C_2n dari indeks 2, memberikan C_nh untuk nilai ganjil n dan S_2n untuk nilai genap n
• D_n adalah subgrup dari D_2n dari indeks 2, memberikan D_nh untuk nilai ganjil n dan D_nd untuk nilai genap n
• T adalah subgrup dari O dari indeks 2, memberikan T_d

Simetri maksimal

Ada dua grup titik diskret dengan sifat yang tidak dimiliki grup titik diskret sebagai subgrup yang tepat: O_h dan I_h. Subgrup umum terbesar adalah T_h. Kedua grup diperoleh dari mengubah simetri putar lipatan 2 menjadi lipatan 4, dan masing-masing menambahkan simetri lipatan 5.

Ada dua grup titik kristalografi dengan sifat yang tidak dimiliki kelompok titik kristalografi sebagai subgrup yang tepat: O_h dan D_6h. Subgrup umum maksimal, bergantung pada orientasinya, adalah D_3d dan D_2h.

Grup tersusun berdasarkan tipe grup abstrak

Di bawah grup yang dijelaskan di atas disusun berdasarkan jenis grup abstrak.

Grup abstrak terkecil yang bukan merupakan grup simetri dalam 3D, adalah grup kuaternion (urutan 8), Z₃ × Z₃ (urutan 9), grup disiklik Dadu₃ (urutan 12), dan 10 dari 14 grup urutan 16.

Kolom "# elemen urutan 2" pada tabel berikut menunjukkan jumlah total subgrup isometri tipe C₂, C_i, C_s. Jumlah total ini adalah salah satu karakteristik yang membantu membedakan berbagai jenis grup abstrak, sedangkan tipe isometrinya membantu membedakan berbagai grup isometri dari grup abstrak yang sama.

Dalam kemungkinan grup isometri dalam 3D, ada banyak sekali tipe grup abstrak dengan elemen 0, 1 dan 3 urutan 2, ada dua dengan 2n + 1 elemen urutan 2, dan ada tiga dengan 2n + 3 elemen orde 2 (untuk masing-masing n ≥ 2 ). Tidak pernah ada bilangan genap positif dari elemen urutan 2.

Grup simetri dalam 3D siklik sebagai grup abstrak

simetri kelompok untuk lipatan-n rotasi simetri adalah C_n; tipe grup abstraknya adalah grup siklik Z_n, yang juga dilambangkan dengan C_n. Namun, ada dua deret tak hingga dari grup simetri dengan tipe grup abstrak ini:

• Untuk urutan genap 2n ada grup S_2n (notasi Schoenflies) yang dihasilkan oleh rotasi dengan sudut 180°/n terhadap sumbu, digabungkan dengan refleksi pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu. Untuk S₂ digunakan notasi C_i; itu dihasilkan oleh inversi.
• Untuk setiap urtan 2n dimana nilai gankil n, memiliki C_nh; ia memiliki sumbu rotasi lipatan n, dan bidang refleksi tegak lurus. Ini dihasilkan oleh rotasi dengan sudut 360°/n tentang sumbu, dikombinasikan dengan refleksi. Untuk C_1h digunakan notasi C_s; itu dihasilkan oleh refleksi dalam bidang.

Jadi, dengan huruf tebal dari 10 grup titik kristalografi siklik, dimana pembatas kristalografi berlaku:

Urutan	Grup isometri	Grup abstrak	# urutan 2 elemen	Diagram siklus
1	C1	Z1	0
2	C2, Ci, Cs	Z2	1
3	C3	Z3	0
4	C4, S4	Z4	1
5	C5	Z5	0
6	C6, S6, C3h	Z6 = Z3 × Z2	1
7	C7	Z7	0
8	C8, S8	Z8	1
9	C9	Z9	0
10	C10, S10, C5h	Z10 = Z5 × Z2	1

dll.

Grup simetri dalam 3D dihedral sebagai grup abstrak

Dalam 2D grup dihedral D_n mencakup refleksi, yang juga dilihat sebagai benda datar inversi tanpa membedakan bagian depan dan belakang.

Namun, dalam 3D dua operasi dibedakan: grup simetri yang dilambangkan dengan D_n berisi n sumbu lipatan 2 tegak lurus dengan sumbu lipatan n, bukan pantulan. D_n adalah grup rotasi dari sisi n prisma dengan basis reguler, dan sisi n bipiramid dengan alas beraturan, dan juga sisi beraturan n antiprisma dan sisi beraturan n trapezohedron. Grup juga merupakan grup simetri penuh dari objek setelah membuat kiral dengan tanda kiral identik pada setiap wajah, atau beberapa modifikasi dalam bentuk.

Jenis grup abstrak adalah grup dihedral Dih_n, yang juga dilambangkan dengan D_n. Namun, tiga deret tak hingga dari grup simetri dengan tipe grup abstrak ini:

• C_nv urutan 2n, grup simetri dari sisi beraturan n piramida
• D_nd urutan 4n, grup simetri dari sisi n beraturan antiprisma
• D_nh dari urutan 4n untuk ganjil n. Untuk n = 1 menghasilkan D₂, menjadi n ≥ 3.

Perhatikan sifat berikut:

Dih_4n+2 $\cong$ Dih_2n+1 × Z₂

Jadi, dengan huruf tebal dari 12 kelompok titik kristalografi, dan menulis D_1d sebagai ekuivalen C_2h:

Urutan	Grup isometri	Grup abstrak	# elemen urutan 2	Diagram siklus
4	D2, C2v, C2h	Dih2 = Z2 × Z2	3
6	D3, C3v	Dih3	3
8	D4, C4v, D2d	Dih4	5
10	D5, C5v	Dih5	5
12	D6, C6v, D3d, D3h	Dih6 = Dih3 × Z2	7
14	D7, C7v	Dih7	7
16	D8, C8v, D4d	Dih8	9
18	D9, C9v	Dih9	9
20	D10, C10v, D5h, D5d	Dih10 = D5 × Z2	11

dll.

Lain

C_2n,h urutan 4n adalah tipe grup abstrak Z_2n × Z₂. Untuk n = 1 menghasilkan Dih₂, menjadi n ≥ 2.

Jadi, dengan huruf tebal dari 2 kelompok titik kristalografi siklik:

Urutan	Grup isometri	Grup abstrak	# dari urutan 2 elemen	Diagram siklus
8	C4h	Z4 × Z2	3
12	C6h	Z6 × Z2 = Z3 × Z22 = Z3 × Dih2	3
16	C8h	Z8 × Z2	3
20	C10h	Z10 × Z2 = Z5 × Z22 = Z5 × Dih2	3

dll.

D_nh urutan 4n adalah tipe grup abstrak Dih_n × Z₂. Untuk ganjil n, jadi D_2nh urutan 8n, yang merupakan grup abstrak Dih_2n × Z₂ (n≥1).

Jadi, dengan huruf tebal dari 3 kelompok titik kristalografi dihedral:

Urutan	Grup isometri	Grup abstrak	# dari urutan 2 elemen	Diagram siklus
8	D2h	Z23	7
16	D4h	Dih4 × Z2	11
24	D6h	Dih6 × Z2 = Dih3 × Z22	15
32	D8h	Dih8 × Z2	19

dll.

Tujuh sisanya adalah, dengan huruf tebal dari 5 grup titik kristalografi (lihat pula di atas):

Urutan	Grup isometri	Grup abstrak	# dari urutan 2 elemen	Diagram siklus
12	T	A4	3
24	Td, O	S4	6
24	Th	A4 × Z2	6
48	Oh	S4 × Z2	6
60	I	A5
120	Ih	A5 × Z2

Domain fundamental

Triacontahedron Disdyakis

Bidang refleksi untuk simetri ikosahedral potongan dengan bola pada lingkaran besar, dengan domain dasar segitiga bola siku-siku

Domain fundamental dari grup titik adalah padatan berbentuk kerucut. Sebuah objek dengan simetri tertentu dalam orientasi tertentu dicirikan oleh domain fundamental. Jika objeknya adalah permukaan, ia dicirikan oleh permukaan dalam domain fundamental yang berlanjut ke permukaan atau permukaan bordal radialnya. Jika salinan permukaan tidak cocok, permukaan atau permukaan radial dapat ditambahkan. Ia akan tetap cocok jika domain fundamental dibatasi oleh bidang refleksi.

Untuk polihedron, permukaan ini dalam domain dasar dapat menjadi bagian dari bidang sembarang. Misalnya, dalam triacontahedron Disdyakis satu wajah penuh adalah domain dasar dari simetri ikosahedral. Menyesuaikan orientasi bidang memberikan berbagai kemungkinan untuk menggabungkan dua atau lebih wajah yang berdekatan menjadi satu, memberikan berbagai polihedra lain dengan simetri yang sama. Polihedron adalah cembung jika permukaannya sesuai dengan salinannya dan garis radial yang tegak lurus terhadap bidang berada dalam domain fundamental.

Juga permukaan dalam domain fundamental dapat terdiri dari beberapa wajah.

Grup polihedral biner

Peta Spin(3) → SO(3) adalah sampul ganda dari grup rotasi oleh grup putaran dalam 3 dimensi (ini adalah satu-satunya penutup SO(3) yang terhubung, karena Spin(3) terhubung secara sederhana). Dengan teorema kekisi, apabila hubungan Galois antara subgrup Spin(3) dan subgrup SO(3) (grup titik rotasi): citra subgrup Spin(3) adalah grup titik rotasi, dan citra awal grup titik adalah subgrup Spin(3). Perhatikan bahwa Spin(3) memiliki deskripsi alternatif sebagai grup satuan khusus SU(2) dan sebagai grup dari unit kuaternion. Secara topologi, grup Kebohongan ini adalah bola 3-dimensi S³.

Pragambaran grup titik berhingga disebut grup polihedral biner, direpresentasikan sebagai ⟨l,n,m⟩, dan disebut dengan nama yang sama dengan grup titiknya, dengan awalan biner, dengan urutan dua lipatan dari grup polihedral yang terkait (l,m,n). Misalnya, citra awal grup ikosahedral (2,3,5) adalah grup ikosahedral biner, ⟨2,3,5⟩.

Grup polihedral biner adalah:

• $A_{n}$: grup siklik biner dari gon-(n + 1), urutan 2n
• $D_{n}$: grup dihedral biner dari gon-n, ⟨2,2,n⟩, urutan 4n
• $E_{6}$: grup tetrahedral biner, ⟨2,3,3⟩, urutan 24
• $E_{7}$: grup oktahedral biner, ⟨2,3,4⟩, urutan 481
• $E_{8}$: grup ikosahedral biner, ⟨2,3,5⟩, urutan 120

Ini diklasifikasikan oleh klasifikasi ADE, dan hasil bagi dari C² oleh aksi grup polihedral biner adalah singularitas Du Val.

Untuk grup titik yang orientasinya terbalik, situasinya lebih rumit, karena ada dua grup pin, jadi ada dua kemungkinan grup biner yang sesuai dengan grup titik yang diberikan.

Perhatikan bahwa ini adalah penutup dari grup, bukan penutup dari ruang–bola adalah hanya terhubung, dan dengan demikian tidak memiliki ruang peliput. Dengan demikian tidak ada gagasan tentang "polihedron biner" yang menutupi polihedron 3 dimensi. Grup polihedral biner adalah subgrup diskrit dari grup Spin, dan di bawah representasi grup spin bertindak pada ruang vektor, dan dapat menstabilkan polihedron dalam representasi ini – di bawah peta Spin(3) → SO(3) yang bertindak pada polihedron sama dengan grup mendasarinya (non-biner), sementara di bawah representasi spin atau representasi lain dapat menstabilkan polihedra lainnya.

Ini berbeda dengan projective polyhedra–bola menutupi ruang proyektif (dan juga ruang lensa), dan dengan demikian sebuah tessellasi ruang proyektif atau ruang lensa menghasilkan gagasan yang berbeda dari polihedron.

Lihat pula

• Daftar grup simetri bola
• Daftar tabel karakter untuk grip titik 3D secara kimiawi
• Grup titik dalam dua dimensi
• Grup titik dalam empat dimensi
• Simetri
• Isometri bidang Euklides
• Tindakan grup
• Grup titik
• Sistem kristal
• Grup ruang
• Daftar grup kecil
• Simetri molekul

Referensi

• Coxeter, H. S. M. (1974), "7 The Binary Polyhedral Groups", Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, hlm. 73–82 .
• Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups, 4th edition. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.  6.5 The binary polyhedral groups, p. 68
• Conway, John Horton; Huson, Daniel H. (2002), "The Orbifold Notation for Two-Dimensional Groups", Structural Chemistry, Springer Netherlands, 13 (3): 247–257, doi:10.1023/A:1015851621002 

Pranala luar

• Gambaran grafis dari 32 grup titik kristalografi – membentuk bagian pertama (selain melewatkan n=5) dari 7 deret tak hingga dan 5 dari 7 grup titik 3D yang terpisah
• Ikhtisar sifat grup titik Diarsipkan 2021-06-16 di Wayback Machine.
• Polihedra Kanonik Paling Sederhana dari Setiap Jenis Simetri (menggunakan Java)
• Grup Titik dan Sistem Kristal, oleh Yi-Shu Wei, hlm. 4–6
• Pusat Geometri: 10.1 Rumus Simetri dalam Koordinat Kartesius (tiga dimensi) Diarsipkan 2021-04-18 di Wayback Machine.