Persamaan Maxwell

Persamaan Maxwell adalah himpunan empat persamaan diferensial parsial yang mendeskripsikan sifat-sifat medan listrik dan medan magnet dan hubungannya dengan sumber-sumbernya, muatan listrik dan arus listrik, menurut teori elektrodinamika klasik. Keempat persamaan ini digunakan untuk menunjukkan bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik. Secara terpisah, keempat persamaan ini masing-masing disebut sebagai Hukum Gauss, Hukum Gauss untuk magnetisme, Hukum induksi Faraday, dan Hukum Ampere.

Keempat persamaan ini dengan Hukum Lorentz merupakan kumpulan hukum lengkap dari elektrodinamika klasik.

Deskripsi konseptual

• Hukum Gauss menerangkan bagaimana muatan listrik dapat menciptakan dan mengubah medan listrik. Medan listrik cenderung untuk bergerak dari muatan positif ke muatan negatif. Hukum Gauss adalah penjelasan utama mengapa muatan yang berbeda jenis saling tarik-menarik, dan yang sama jenisnya tolak-menolak. Muatan-muatan tersebut menciptakan medan listrik, yang ditanggapi oleh muatan lain melalui gaya listrik
• Hukum Gauss untuk magnetisme menyatakan tidak seperti listrik tidak ada partikel "kutub utara" atau "kutub selatan". Kutub-kutub utara dan kutub-kutub selatan selalu saling berpasangan.
• Hukum induksi Faraday mendeskripsikan bagaimana mengubah medan magnet dapat menciptakan medan listrik. Ini merupakan prinsip operasi banyak generator listrik. Gaya mekanik (seperti yang ditimbulkan oleh air pada bendungan) memutar sebuah magnet besar, dan perubahan medan magnet ini menciptakan medan listrik yang mendorong arus listrik yang kemudian disalurkan melalui jala-jala listrik.

Memori inti magnetik An Wang (1954) adalah penerapan Hukum Ampere. Tiap inti magnetik merupakan satu bit

• Hukum Ampere menyatakan bahwa medan magnet dapat ditimbulkan melalui dua cara: yaitu lewat arus listrik (perumusan awal Hukum Ampere), dan dengan mengubah medan listrik (tambahan Maxwell).

Koreksi Maxwell terhadap Hukum Ampere cukup penting: dengan demikian, hukum ini menyatakan bahwa perubahan medan listrik dapat menimbulkan medan magnet, dan sebaliknya. Dengan demikian, meskipun tidak ada muatan listrik atau arus listrik, masih dimungkinkann buat memiliki gelombang osilasi medan magnet dan medan listrik yang stabil dan dapat menjalar terus-menerus. Keempat persamaan Maxwell ini mendeskripsikan gelombang ini secara kuantitatif, dan lebih lanjut lagi meramalkan bahwa gelombang ini mestilah memiliki laju tertentu yang universal. Laju ini dapat dihitung cukup dari dua konstanta fisika yang dapat diukur (konstanta elektrik dan konstanta magnetik)

Laju yang dihitung untuk radiasi elektromagnetik tepat sama dengan laju cahaya. Cahaya memang merupakan salah satu bentuk radiasi elektromagnetik (seperti juga sinar X, gelombang radio dan lain-lainnya). Dengan demikian, Maxwell memadukan dua bidang yang sebelumnya terpisah, elektromagnetisme dan optika.

Perumusan umum persamaan Maxwell

Persamaan-persamaan dalam bagian ini ditulis dalam satuan SI. Tidak seperti persamaan dalam mekanika misalnya, perumusan persamaan Maxwell berubah-ubah tergantung pada sistem satuan yang digunakan. Meskipun bentuk umumnya tetap, berbagai definisi berubah dan tetapan yang berbeda-beda muncul di tempat yang berbeda-beda pula. Selain satuan SI (yang umum digunakan dalam rekayasa), sistem satuan lain yang umum digunakan adalah satuan Gauss (didasarkan pada sistem CGS dan dianggap memiliki keuntungan teoretis dibandingkan SI ), satuan Lorentz-Heaviside (biasa digunakan dalam fisika partikel) dan satuan Planck (digunakan dalam fisika teori).

Ada dua perumusan umum persamaan Maxwell, yang dibeberkan di bawah. Kedua-duanya ekivalen. Perumusan pertama memisahkan muatan terikat dan arus terikat (yang muncul dalam konteks dielektrik dan/atau bahan magnet) dari muatan bebas dan arus bebas. Pemisahan ini berguna untuk perhitungan yang melibatkan bahan dielektrik dan magnet. Perumusan kedua memperlakukan semua muatan secara setara, menggabungkan baik muatan bebas dan terikat ke dalam muatan total (dan hal yang sama juga berlaku untuk arus). Ini adalah pendekatan yang lebih mendasar atau mikroskopis, dan terutama berguna bila tidak ada bahan dielektrik atau magnet.

Lambang dicetak tebal mewakili besaran vektor, sedangkan lambang dicetak miring mewakili besaran skalar

Tabel 1: Perumusan dalam muatan dan arus bebas

Nama	Bentuk diferensial	Bentuk integral
Hukum Gauss:	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{f}$	$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =Q_{f,S}$
Hukum Gauss untuk magnetisme:	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0$
Persamaan Maxwell-Faraday (Hukum induksi Faraday):	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\partial \Phi _{B,S}}{\partial t}}$
Hukum Ampere (dengan koreksi Maxwell):	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$ ${\displaystyle }$	$\oint _{\partial S}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =I_{f,S}+{\frac {\partial \Phi _{D,S}}{\partial t}}$

Table 2: Perumusan dalam muatan dan arus total

Nama	Bentuk diferensial	Bentuk Integral
Hukum Gauss:	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$	$\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}$
Hukum Gauss untuk magnetisme:	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} =0$
Persamaan Maxwell-Faraday (Hukum induksi Faraday):	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =-{\frac {\partial \Phi _{B,S}}{\partial t}}$
Hukum Ampere (dengan koreksi Maxwell):	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\$ $\$	$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}I_{S}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \Phi _{E,S}}{\partial t}}$

Tabel berikut menyatakan definisi tiap lambang dan satuan SI-nya:

Tabel 3: Definisi dan satuan

Lambang	Arti (yang pertama paling umum)	Satuan SI
$\mathbf {\nabla \cdot }$	operator divergensi	per meter (akibat penerapan operator)
$\mathbf {\nabla \times }$	operator curl
${\frac {\partial }{\partial t}}$	turunan parsial terhadap waktu	per detik(hasil penerapan operator)
$\mathbf {E} \$	medan listrik	volt per meter atau (ekivalen), newton per coulomb
$\mathbf {B} \$	medan magnet juga disebut sebagai induksi magnet juga disebut sebagai kuat medan magnet juga disebut sebagai rapat fluks magnet	tesla, atau (ekivalen), weber per meter kuadrat volt•detik per meter kuadrat
$\mathbf {D} \$	medan pergeseran listrik	coulomb per meter kuadrat atau (ekivalen), newton per volt-meter
$\mathbf {H} \$	H juga disebut sebagai medan magnet bantu (auxiliary magnetic field) juga disebut sebagai intensitas medan magnet juga disebut sebagai medan magnet	ampere per meter
$\epsilon _{0}\$	permitivitas ruang hampa, sebutan resmi adalah konstanta listrik, tetapan universal	farads per meter
$\mu _{0}\$	permeabilitas ruang hampa, sebutan resmi adalah konstanta magnetik, tetapan universal	henry per meter, atau newton per ampere kuadrat
$\ \rho _{f}\$	rapat muatan bebas (tidak termasuk muatan terikat)	coulomb per meter kubik
$\ \rho \$	rapat muatan total (termasuk muatan bebas dan muatan terikat)	coulomb per meter kubik
$\oint _{S}\mathbf {E\cdot \mathrm {d} A}$	fluks medan magnet pada permukaan Gauss tertutup S	joule-meter per coulomb
$Q_{f,S}\$	muatan bebas netto yang ditutup oleh permukaan Gauss S (tidak termasuk muatan terikat)	coulomb
$Q_{S}\$	muatan netto yang ditutupi oleh permukaan Gauss S (termasuk muatan bebas dan terikat)	coulomb
$\oint _{S}\mathbf {B\cdot \mathrm {d} A}$	fluks medan magnet pada permukaan tertutup S	tesla meter kuadrat atau weber
$\oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$	integral garis medan listrik sepanjang batas ∂S (dan karenanya adalah kurva tertutup) permukaan S	joule per coulomb
$\Phi _{B,S}=\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$	fluks magnet pada sembarang permukaan S (tidak mesti tertutup)	weber
$\mathbf {J} _{f}$	rapat arus bebas (tidak termasuk arus terikat)	ampere per meter kuadrat
$\mathbf {J}$	rapat arus (termasuk arus bebas dan terikat)	ampere per meter kuadrat
$\oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l}$	integral garis medan magnet pada batas tertutup ∂S permukaan S	tesla-meter
$I_{f,S}=\int _{S}\mathbf {J} _{f}\cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$	arus listrik bebas netto yang melewati permukaan S (tidak termasuk arus terikat)	ampere
$I_{S}=\int _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$	arus listrik netto yang melewati permukaan S (termasuk arus bebas dan terikat)	amperes
$\Phi _{E,S}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$	fluks listrik melalui sembarang permukaan S, tidak mesti tertutup	joule-meter per coulomb
$\Phi _{D,S}=\int _{S}\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$	fluks medan pergeseran listrik melalui sembarang permukaan S, tidak mesti tertutup	coulomb
$\mathrm {d} \mathbf {A}$	elemen vektor diferensial area permukaan A, dengan magnitudo dan arah infinitesimal normal terhadap permukaan S	meter kuadrat
$\mathrm {d} \mathbf {l}$	elemen vektor diferensial panjang lintasan bersinggungan terhadap kontur	meter

Persamaan Maxwell secara umum diterapkan pada rata-rata makroskopik dari medan, yang sangat bervariasi pada skala mikroskopik di sekitar masing-masing atom (di tempat tersebut medan juga mengalami efek kuantum). Hanya bila dipahami sebagai rata-rata kita dapat mendefinisikan besaran seperti permitivitas dan permeabilitas magnet bahan. Pada aras mikroskopik, persamaan Maxwell, dengan mengabaikan efek kuantum, mendeskripsikan medan, muatan dan arus dalam ruang hampa, namun pada level rincian ini kita harus memperhitungkan setiap muatan, bahkan pada level atomik, yang secara umum merupakan masalah yang tidak terpecahkan (intractable).