Chiusura algebrica

In matematica, in particolare in algebra, la chiusura algebrica di un campo $K$ è la più piccola estensione algebrica di $K$ che è algebricamente chiusa; in termini meno rigorosi, la chiusura algebrica di $K$ è quel campo che si ottiene "aggiungendo" a $K$ le radici di tutti i polinomi a coefficienti in $K$.

Ogni campo ha una chiusura algebrica, e questa è unica a meno di isomorfismi: questo permette di parlare della chiusura algebrica di $K$, invece che di una chiusura algebrica di $K$.

Esempi

• Il teorema fondamentale dell'algebra afferma che il campo $\mathbb {C}$ dei numeri complessi è algebricamente chiuso, e di conseguenza è la chiusura algebrica del campo dei numeri reali. Tuttavia, $\mathbb {C}$ non è la chiusura algebrica del campo $\mathbb {Q}$ dei numeri razionali, in quanto contiene elementi (i numeri trascendenti) che non sono algebrici su $\mathbb {Q}$. La chiusura algebrica dei razionali è, invece, il campo dei numeri algebrici.

• Esistono molti campi algebricamente chiusi all'interno dei numeri complessi e contenenti strettamente il campo dei numeri algebrici. Tra questi, vi sono le chiusure algebriche delle estensioni trascendenti dei numeri razionali, ad esempio la chiusura algebrica di $\mathbb {Q} (\pi )$.

• Per un campo finito di caratteristica prima p, la chiusura algebrica è un campo di cardinalità numerabile, che contiene una copia del campo di ordine $p^{n}$ per ogni intero positivo n (ed è di fatto l'unione di queste copie).

Esistenza ed unicità

Usando il lemma di Zorn, può essere mostrato che ogni campo ha una chiusura algebrica, e che la chiusura algebrica di un campo $K$ è unica a meno di isomorfismi che fissano ogni elemento di $K$. Tuttavia, non esiste un isomorfismo "canonico" tra due chiusure algebriche: ad esempio, date due chiusure $F_{1},F_{2}$ del campo $\mathbb {F} _{p}$ con p elementi, esistono un numero infinito (e non numerabile) di isomorfismi di $F_{1}$ in $F_{2}$.

Proprietà

La chiusura algebrica ${\overline {K}}$ di $K$ può essere vista come la più grande estensione algebrica di $K$, nel senso che ogni altra estensione algebrica $L$ di $K$ può essere immersa dentro ${\overline {K}}$ (generalmente in modo non unico); ne segue anche che ${\overline {K}}$ è anche la chiusura algebrica di $L$.

La chiusura algebrica di un campo $K$ ha la stessa cardinalità di $K$ se $K$ è infinito, ed è numerabile se $K$ è finito.

Bibliografia

• Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
• James S. Milne, Fields and Galois Theory (PDF), v.4.30, 2012. URL consultato il 6 dicembre 2012.

Voci correlate

• Estensione algebrica
• Campo finito
• Campo di spezzamento

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Chiusura algebrica, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Chiusura algebrica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.