Vettore d'onda

In fisica il vettore d'onda k è un vettore relativo ad un'onda, che ha come modulo il numero d'onda angolare k, come direzione e verso quelli della propagazione dell'onda. Per cui si ha che:

${\vec {\mathbf {k} }}={\frac {2\pi }{\lambda }}{\hat {\mathbf {v} }}$

in cui ${\hat {\mathbf {v} }}$ è il versore dell'onda considerata. Per quanto riguarda il modulo del vettore d'onda si ha che:

$|{\vec {\mathbf {k} }}|={\frac {2\pi }{\lambda }}=2\pi {\bar {\nu }}$

Da questa equazione si deduce anche la relazione che intercorre tra lunghezza d'onda $\lambda$ e numero d'onda ${\bar {\nu }}={\frac {1}{\lambda }}$ .

Esprimendo il vettore d'onda k in funzione della velocità della luce $c$, dalla relazione della lunghezza d'onda

$f\lambda =c$

risulta

$|{\vec {\mathbf {k} }}|={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi f}{c}}={\frac {\omega }{c}}$

dove si è tenuto conto della relazione $2\pi f=\omega$, che lega la velocità angolare $\omega$ alla frequenza $f$.

Descrizione

Si consideri un'onda piana. L'ampiezza $\psi$ dell'oscillazione in un punto $x$ lungo l'asse $X$ al tempo $t$ è

$\psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\phi )$

dove $A$ è l'ampiezza massima, $k$ il numero d'onda angolare, $\omega$ la velocità angolare e $\phi$ la costante di fase.

Si può facilmente estendere la formula per valutare l'ampiezza dell'oscillazione in qualsiasi punto dello spazio tridimensionale, usando il prodotto scalare del vettore d'onda ${\vec {\mathbf {k} }}$ con il vettore posizione ${\vec {\mathbf {r} }}$:

$\psi ({\vec {\mathbf {r} }},t)=A\cos({\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {r} }}-\omega t+\phi )$

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