Numeri naturali (superiori)

L'origine dei numeri

L'origine del sistema dei numeri naturali si perde nella notte dei tempi. Non abbiamo documenti sufficienti per capire come l'uomo li abbia costruiti o scoperti; è possibile che il nostro sistema di numerazione sia nato contemporaneamente al linguaggio stesso della specie umana. Sono stati ritrovati tronchi fossili risalenti a più di trentamila anni fa, recanti delle incisioni a distanza regolare. In particolare, è stato ritrovato un osso di babbuino, detto “Osso di Ishango” (FIGURA 1) in quanto è stato rinvenuto presso la città di Ishango nel Congo tra il Nilo e il lago Edoardo, che riporta delle tacche disposte in modo tale da farci pensare che rappresentino dei numeri o dei calcoli. L'osso risale a un periodo tra il 20 000 a.C. e il 18 000 a.C.

FIGURA 1: Osso di Ishango

Possiamo immaginare che i pastori per contare i capi del proprio gregge, facessero delle tacche su dei bastoni mano a mano che le pecore entravano nel recinto una alla volta: una tacca per ogni pecora. Tuttavia, questo metodo di associazione uno ad uno (una tacca per una pecora) non è efficace per greggi, o oggetti da contare, di grandi dimensioni. Si immagini, per esempio, la difficoltà di tracciare cinquecento tacche su un bastone. È possibile allora che per rappresentare numeri grandi si siano cominciati a usare simboli specifici che richiamassero alla mente i numeri grandi e che contemporaneamente siano state fissate alcune regole per associare questi simboli. Sappiamo per certo che circa 6 000 anni fa gli antichi Egizi scrivevano, incidendo sulla pietra, i numeri utilizzando geroglifici per le potenze di 10:

Valore	1	10	100	1 000	10 000	100 000	1 milione, o infinito
Geroglifici						o
Descrizione	Tratto	Arco	Vortice	Nymphaea (chiamata anche Lotus)	Dito	Uccello o Rana	Uomo seduto con le mani alzate

Ripetendo questi simboli è possibile scrivere, per esempio, il numero 4 622 così:

I Romani usavano invece sette simboli con i quali, seguendo determinate regole, rappresentavano qualunque numero. I simboli sono I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1 000. La scrittura MM rappresenta il valore 1 000 + 1 000 = 2 000, mentre VI rappresenta 5 + 1 = 6 ed invece IV rappresenta 5 - 1 = 4.

Il sistema di numerazione decimale posizionale

Il modo di scrivere i numeri dei Romani risultava piuttosto complicato sia nella scrittura dei numeri sia nell'esecuzione dei calcoli. Il sistema tutt'oggi utilizzato per la scrittura dei numeri fa uso dei soli dieci simboli 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, che vengono detti cifre. Un numero è rappresentato da una sequenza ordinata di tali cifre (eventualmente anche ripetute). Per rappresentare il numero dieci, che segue il 9, non si fa uso di un simbolo diverso ma si scrivono due cifre: il simbolo 1 e il simbolo 0 alla sua destra. Per chiarire questo metodo utilizziamo un pallottoliere (FIGURA 2) con aste verticali capaci di contenere fino a 9 dischetti: per rappresentare il numero 10 dispongo un dischetto nell'asta a sinistra e svuotando quella immediatamente alla sua destra: il numero dieci viene rappresentato dalla scrittura 10 che indica appunto 1 dischetto nella seconda asta (iniziando il conteggio da quella più a destra) e 0 in quella immediatamente a destra.

FIGURA 2: Il pallottoliere

I dischetti sull'ultima asta rappresentano il numero 9; un dischetto sulla penultima rappresenta il numero 10. Per rappresentare il numero cento si fa uso della scrittura 100. Ovvero si sposta il numero 1 ancora a sinistra ponendo uno 0 nel posto lasciato vuoto. Questo metodo rappresenta i numeri dando ad ogni cifra un peso differente a seconda della posizione che essa occupa all'interno della rappresentazione del numero stesso: ogni posizione occupata da una cifra vale 10 volte di più rispetto a quella che si trova immediatamente alla sua destra. La rappresentazione di un numero è quella che si ottiene riportando il numero di dischetti presenti in ogni asta dell'abaco, uno accanto all'altro. Per esempio, se ci sono soltanto 3 dischetti nella terza asta il numero in cifre è 300, mentre la scrittura 219 indica 2 dischetti nella terza asta, 1 nella seconda e 9 nella prima. Il sistema di numerazione che utilizziamo, detto sistema decimale, si basa sulle potenze di 10 (sezione 1.6), che è la base dei pesi assegnati alle posizioni occupate dalle cifre. Nel pallottoliere ciascuna asta indica una potenza di dieci. Il valore di un numero si ottiene moltiplicando ciascuna cifra per il suo peso e sommando i valori ottenuti. Per esempio, tre dischetti nella terza asta rappresentano il numero 3 * 10² = 300. Il numero 219 si rappresenta tenendo conto di questa scrittura 2 * 10² + 1 * 10 + 9. Per quanto detto, il sistema di numerazione che usiamo è decimale o a base dieci, perché utilizza dieci simboli (cifre) per rappresentare i numeri, e posizionale perché una stessa cifra assume un peso (valore) diverso a seconda della posizione che essa occupa.

I numeri naturali

I primi numeri che abbiamo usato sin da bambini per contare gli oggetti o le persone si chiamano numeri naturali

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, . . .

L'insieme di tutti questi numeri si indica con la lettera N.

Cosa hanno in comune le dita di una mano, con 5 mele, 5 penne, 5 sedie? Evidentemente il numero 5. Una caratteristica cioè che è comune a tutti gli insiemi formati da 5 oggetti. Questa caratteristica può essere vista come un oggetto a sé stante, un oggetto astratto di tipo matematico. Ma i numeri naturali non servono solo per indicare quanti oggetti ci sono (aspetto cardinale del numero), vengono usati anche per rappresentare l'ordine con cui si presentano gli oggetti, (aspetto ordinale), l'ordine per esempio con cui i corridori arrivano al traguardo: primo, secondo, terzo, . . . Nonostante i numeri naturali e le operazioni su di essi ci vengano insegnati fin da piccoli, e nonostante l'umanità li usi da tempi antichissimi una loro piena comprensione non è semplice, come dimostra il fatto che ancora oggi i matematici ne discutono. Il dibattito su cosa siano i numeri e su cosa si fondano è stato particolarmente animato nei primi decenni del XX secolo, quando ne hanno discusso matematici e filosofi come Frege, Peano, Russell, Hilbert e tanti altri. Oggi ci sono diversi punti di vista.

Rappresentazione geometrica

I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta: si identifica il numero 0 con l'origine della semiretta, come verso di percorrenza si prende quello da sinistra verso destra e come unità di misura un segmento AB. Si riporta questa unità di misura più volte partendo dall'origine e a ogni passo si va al numero successivo.

Ogni numero naturale si costruisce a partire dal numero 0 e passando di volta in volta al numero successivo: 1 è il successore di 0, 2 è il successore di 1, 3 è il successore di 2, ecc. Ogni numero naturale ha il successore e ogni numero, a eccezione di 0, ha il precedente. L'insieme N ha 0 come elemento minimo e non ha un elemento massimo. I numeri rappresentati sulla retta sono sempre più grandi man mano che si procede da sinistra verso destra. Ogni numero è maggiore di tutti i suoi precedenti, quelli che stanno alla sua sinistra, e minore di tutti i suoi successivi, quelli che stanno alla sua destra. Tra i numeri naturali esiste quindi una relazione d'ordine, che si rappresenta con i simboli di disuguaglianza ≤ (si legge “minore o uguale a”) e ≥ (si legge “maggiore o uguale a”) o disuguaglianza stretta < (si legge “minore di”) e > (si legge “maggiore di”). Grazie a questo ordinamento, è sempre possibile confrontare due numeri naturali qualsiasi.

LEGGE 1. (di tricotomia). Dati due numeri naturali n e m vale sempre una delle seguenti tre relazioni: n < m, n = m, n > m.

Operazioni con i numeri naturali

Addizione e moltiplicazione di numeri naturali

Tra i numeri naturali è definita l'operazione di addizione come segue:

DEFINIZIONE 1. Dati due numeri naturali n e m, detti addendi, l'operazione di addizione associa ai due addendi un terzo numero s, detto somma, che si ottiene partendo da n e procedendo verso i successivi di n tante volte quante indica il secondo addendo m.

L'operazione di addizione è indicata con il simbolo “+”:

n +m = s.

Ad esempio, se vogliamo eseguire la somma 3 + 5, dobbiamo partire da 3 e contare 5 numeri successivi:

DEFINIZIONE 2. Dati due numeri naturali n, m, detti fattori, l'operazione di moltiplicazione associa ai due fattori un terzo numero p, detto prodotto, che si ottiene sommando n addendi tutti uguali a m.

L'operazione di moltiplicazione può essere indicata con diversi simboli:

n X m = p, n · m = p, n * m = p.

Per eseguire la moltiplicazione 4 * 2, che possiamo leggere “quattro volte due”, dobbiamo addizionare 4 volte 2, cioè 2 + 2 + 2 + 2, e otteniamo 8. Le operazioni di addizione e moltiplicazione si dicono operazioni interne all'insieme dei numeri naturali, poiché, utilizzando numeri naturali, esse danno sempre come risultato un numero naturale.

Sottrazione e divisione di numeri naturali

Diamo la seguente definizione:

DEFINIZIONE 3. Dati due numeri naturali n e m, il primo detto minuendo e il secondo sottraendo, si dice differenza il numero naturale d, se esiste, che aggiunto ad m dà come somma n.

L'operazione di sottrazione è indicata con il simbolo “-”:

n - m = d.

Per esempio, 7 - 5 = 2 perché 5 + 2 = 7. Non esiste invece la differenza tra 5 e 7, in quanto nessun numero naturale aggiunto a 7 può dare 5. Ritornando alla rappresentazione dei numeri naturali sulla semiretta orientata, la differenza tra i numeri 7 e 5 si può trovare partendo da 7 e procedendo a ritroso di 5 posizioni.

Diventa allora evidente perché non è possibile trovare la differenza tra 5 e 7, infatti partendo dal 5 non è possibile andare indietro di 7 posizioni, poiché non è possibile andare oltre il numero 0 che è il più piccolo dei numeri naturali.

Si può osservare allora che in N la sottrazione a - b è possibile solo se b è più piccolo o al più uguale ad a.

DEFINIZIONE 4. Dati due numeri naturali n e m, con m ≠ 0, il primo detto dividendo e il secondo divisore, si dice quoziente esatto (o quoto) un numero naturale q, se esiste, che moltiplicato per m dà come prodotto n.

L'operazione di divisione può essere indicata con diversi simboli:

n ÷ m = q, n : m = q, n / m = q.

Se il quoziente esiste, il numero m si dice divisore di n oppure si dice che n è divisibile per m.

DEFINIZIONE 5. Un numero naturale m si dice multiplo di un numero naturale n se esiste un numero p che moltiplicato per n dà m, cioè m = n * p.

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ESEMPIO 1. Divisori e multipli.

• 12 : 3 = 4 perché 3 * 4 = 12. Quindi, 12 è divisibile per 3; 3 è un divisore di 12; 12 è un multiplo di 3.
• 20 è divisibile per 4 perché 20 : 4 = 5.
• 7 è divisore di 35 perché 35 : 7 = 5.
• 6 è multiplo di 3 perché 6 = 2 * 3.
• 5 non è multiplo di 3 poiché non esiste alcun numero naturale che moltiplicato per 3 dà 5.

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OSSERVAZIONE. In N la divisione tra due numeri m e n, è possibile solo se m è multiplo di n.

Come hai potuto notare dagli esercizi precedenti la divisione tra due numeri naturali non è sempre possibile. Con i numeri naturali però è sempre possibile eseguire la divisione con il resto.

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ESEMPIO 2. Nella divisione con resto tra 25 e 7 si ha quoziente 3 (infatti 7 * 3 = 21, mentre 7 * 4 = 28 supera il dividendo) e resto 4 (infatti 25-21 = 4). Pertanto si può scrivere 25 = 7 * 3+4.

DEFINIZIONE 6. Dati due numeri naturali n e m, con m ≠ 0, si dice quoziente tra n e m, il più grande numero naturale q che moltiplicato per m dà un numero minore o uguale a n. Si dice resto della divisione tra n e m la differenza r tra il dividendo n e il prodotto tra il divisore m e il quoziente q.

In simboli:

n = m * q + r, r = n -m * q.

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ESEMPIO 3. Divisione con resto.

• 0 : 2 = 0.
• 1 : 2 = 0 con resto 1.
• 5 : 2 = 2 con resto 1.

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La divisione con il resto ci permette di risolvere situazioni in cui dobbiamo dividere o raggruppare persone o altri oggetti indivisibili.

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ESEMPIO 4. Dovendo raggruppare 321 studenti in classi da 30 alunni, dividiamo 321 : 30 = 10 con resto 21. I rimanenti 21 alunni possono formare un'altra classe oppure possono essere distribuiti nelle altre classi.

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OSSERVAZIONE. Nella definizione di quoziente abbiamo sempre richiesto che il divisore sia diverso da zero. In effetti, se il divisore è 0 non c'è nessun numero che moltiplicato per 0 ci possa dare un dividendo diverso da zero. Per esempio, nella divisione 5 : 0 dobbiamo ottenere un numero che moltiplicato per 0 dia 5; ciò non è possibile in quanto qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0. Invece nella divisione 0 : 0 un qualsiasi numero è adatto come quoziente, infatti qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 come prodotto. Nel linguaggio matematico diciamo che una divisione del tipo n : 0, con n ≠ 0, è impossibile; mentre la divisione 0 : 0 è indeterminata.

DEFINIZIONE 7. Dati due numeri naturali n e m, con m ≠ 0, la divisione intera tra n e m è l'operazione che associa il più grande numero naturale q (il quoziente) per il quale si ha q * m ≤ n.

La divisione intera si indica con “:”:

n : m = q (con resto r).

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ESEMPIO 5. L'operazione divisione intera.

• 0 : 5 = 0
• 8 : 2 = 4
• 10 : 3 = 3 (con resto 1)
• 16 : 9 = 1 (con resto 7)
• 3 : 0 = impossibile
• 3 : 5 = 0 (con resto 3)

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DEFINIZIONE 8. Dati due numeri naturali n e m, con m ≠ 0, l'operazione che restituisce il resto della divisione intera tra n e m si chiama modulo di n rispetto a m.

L'operazione di modulo viene indicata con “mod”:

n mod m = r (dove r è il resto di n div m).

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ESEMPIO 6. L'operazione modulo.

• 0 mod 5 = 0.
• 9 mod 5 = 4.
• 10 mod 5 = 0.
• 3 mod 5 = 3.
• 11 mod 5 = 1.
• 3 mod 0 = non si può fare.

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Ripassiamo l'algoritmo della divisione intera per numeri a più cifre; questa procedura risulterà particolarmente utile nel seguito.

a) 327 : 23 = quoziente 14 e resto 5.

b) 1 329 : 107 = quoziente 12 e resto 45.

c) 125 943 : 171 = quoziente 736 e resto 87.

Proprietà delle operazioni

Proprietà commutativa

Un'operazione (♦) gode della proprietà commutativa se, cambiando l'ordine dei numeri sui quali essa va eseguita, il risultato non cambia.

a ♦ b = b ♦ a.

La proprietà commutativa vale per le seguenti operazioni:

addizione a + b = b + a. Es. 3 + 5 = 5 + 3 = 8.

moltiplicazione a * b = b * a. Es. 3 * 5 = 5 * 3 = 15.

La proprietà commutativa non vale per le seguenti operazioni:

sottrazione a - b ≠ b - a. Es. 8 - 3 = 5 ≠ 3 - 8 non si può fare in N.

divisione a : b ≠ b : a. Es. 8 : 4 = 2 ≠ 4 : 8 non si può fare in N.

divisione intera a div b ≠ b div a. Es. 17 div 5 = 3 ≠ 5 div 17 = 0.

modulo a mod b ≠ b mod a. Es. 9 mod 2 = 1 ≠ 2 mod 9 = 2.

potenza a^b ≠ b^a. Es. 3² = 9 ≠ 2³ = 8.

Proprietà associativa

Un'operazione (♦) gode della proprietà associativa se, presi arbitrariamente tre numeri legati da due operazioni, è indifferente da quale operazione si inizia, in quanto il risultato che si ottiene è sempre lo stesso.

(a ♦ b) ♦ c = a ♦ (b ♦ c).

La proprietà associativa vale per le seguenti operazioni:

addizione (a + b) + c = a + (b + c). Es. (3 + 5) + 2 = 3 + (5 + 2) = 10.

moltiplicazione (a * b) * c = a * (b * c). Es. (3 * 5) * 2 = 3 * (5 * 2) = 30.

La proprietà associativa non vale per le seguenti operazioni:

sottrazione (a - b) - c ≠ a - (b - c). Es. (10 - 5) - 2 = 3 ≠ 10 - (5 - 2) = 7.

divisione (a : b) : c ≠ a : (b : c). Es. (16 : 4) : 2 = 2 ≠ 16 : (4 : 2) = 8.

divisione intera (a div b) div c ≠ a div(b div c). Es. (17 div 5) div 2 = 1 ≠ 17 div(5 div 2) = 8.

modulo (a mod b) mod c ≠ a mod (b mod c). Es. (17 mod 7) mod 1 = 1 ≠ 17 mod (7 mod 2) = 0.

Elemento neutro

Un'operazione (♦) ha un elemento neutro n se componendo n con qualsiasi altro numero lo lascia invariato, sia quando il numero è a destra, sia quando è a sinistra dell'operatore.

a ♦ n = n ♦ a = a.

L'elemento neutro dell'addizione è 0, sia che si trovi a destra che a sinistra:

a + 0 = 0 + a = a.

L'elemento neutro della moltiplicazione è 1, sia che si trovi a destra sia che si trovi a sinistra:

a * 1 = 1 * a = a.

La divisione ha l'elemento neutro a destra, che è 1, ma non ha elemento neutro a sinistra:

a : 1 = a (1 : a ≠ a, se a ≠ 1).

In maniera analoga, anche la sottrazione ha l'elemento neutro 0 solo a destra:

a - 0 = a (0 - a ≠ a, se a ≠ 0).

Proprietà distributiva

La proprietà distributiva coinvolge due operazioni differenti (♦ e ¤). La proprietà distributiva di ¤ rispetto a ♦ è espressa in simboli:

a ¤ (b ♦ c) = a ¤ b ♦ a ¤ c

(a ♦ b) ¤ c = a ¤ c ♦ b ¤ c.

Proprietà distributiva della moltiplicazione

Rispetto all'addizione. Moltiplicare il risultato dell'addizione di più numeri per un altro numero dà lo stesso risultato che moltiplicare ogni addendo per il fattore considerato e addizionare i prodotti ottenuti. Questa proprietà vale sia se la somma è a destra sia se è a sinistra.

a * (b + c) = a * b + a * c Es. 3 * (2 + 4) = 3 * 2 + 3 * 4 = 18

(a + b) * c = a * c + b * c Es. (2 + 4) * 3 = 2 * 3 + 4 * 3 = 18.

Rispetto alla sottrazione. In maniera analoga:

a * (b - c) = a * b - a * c Es. 6 * (10 - 4) = 6 * 10 - 6 * 4 = 36

(a - b) * c = a * c - b * c Es. (10 - 4) * 6 = 10 * 6 - 4 * 6 = 36.

Proprietà distributiva della divisione

Rispetto all'addizione. Solo se le somme sono a sinistra:

(a + b + c) : d = a : d + b : d + c : d Es. (20 + 10 + 5) : 5 = 20 : 5 + 10 : 5 + 5 : 5 = 7.

Verifichiamo con un esempio che non vale la proprietà distributiva se le somme si trovano a destra: 120 : (3+5) Eseguendo prima l'operazione tra parentesi si ottiene correttamente 120 : 8 = 15. Se si prova ad applicare la proprietà distributiva si ottiene 120 : 3+120 : 5 = 40+24 = 64. Il risultato corretto è il primo.

Rispetto alla sottrazione. Solo se la sottrazione è a sinistra:

(a - b) : c = a : c - b : c Es. (20 - 10) : 5 = 20 : 5 - 10 : 5 = 4 - 2 = 2.

Se, però, la sottrazione è a destra:

120 : (5 - 3) = 120 : 2 = 60 6= 120 : 5 - 120 : 3 = 24 - 40 = non si può fare in N.

LEGGE 2. (Annullamento del Prodotto). Il prodotto di due o più numeri naturali si annulla se e solo se almeno uno dei fattori è nullo.

Il matematico Carl Friedrich Gauss fu un bambino prodigio. Si racconta che a nove anni il suo insegnante ordinò di fare la somma dei numeri da 1 a 100. Poco dopo Gauss diede la risposta esatta sorprendendo il suo insegnante. Probabilmente egli aveva scritto in una riga i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, notando che ogni colonna dava per somma 101. Quindi, anziché sommare uno ad uno i numeri da 1 a 100, moltiplicando 100 per 101 e dividendo il risultato per 2, Gauss aveva ottenuto rapidamente la risposta: 100 * 101 : 2 = 5 050.

Potenza

La potenza di un numero naturale è una moltiplicazione che ha tutti i fattori uguali.

DEFINIZIONE 9. Dati due numeri naturali a e n, con n > 1, il primo detto base ed il secondo esponente, la potenza di a con esponente n è il numero p che si ottiene moltiplicando fra loro n fattori tutti uguali ad a. Si scrive an = p e si legge “a elevato a n uguale a p”.

Per esempio, 5³ = 5 * 5 * 5 = 125.

Per completezza, alla definizione precedente vanno aggiunti i seguenti casi particolari:

a¹ = a,

a⁰ = 1 se a ≠ 0,

0⁰ = non ha significato.

Queste definizioni trovano giustificazione nelle proprietà delle potenze.

Proprietà delle potenze

Cenni sull'estrazione di radice

L'operazione inversa dell'elevazione a potenza è l'estrazione di radice.

DEFINIZIONE 10. Dati due numeri naturali a e n (con n > 1) si definisce radice n-esima di a il numero r tale che moltiplicando tra loro n fattori tutti uguali a r si ottiene come risultato a.

Numeri Primi

Osserva il seguente schema

18 è multiplo di/è divisibile per 6 è sottomultiplo di/è divisore di 18

In esso sono descritte alcune caratteristiche del numero 18 e i suoi legami con il numero 6.

DEFINIZIONE 11. Chiamiamo divisore proprio di un numero un suo divisore diverso dal numero stesso e dall'unità.

Osserva ora il seguente schema

31 è multiplo di/è divisibile per ... è sottomultiplo di/è divisore di 31

Al centro, al posto dei puntini, puoi inserire soltanto i numeri 31 o 1.

DEFINIZIONE 12. Un numero p > 1 si dice primo se è divisibile solo per se stesso e per l'unità. Un numero naturale maggiore di 1 non primo si dice composto.

Per come sono stati definiti i numeri primi e quelli composti si ha:

• 0 non è primo né composto.
• 1 non è primo né composto.
• 2 è primo.
• 3 è primo.
• 4 è composto.
• 5 è primo.
• 6 è composto.
• 7 è primo.
• 8 è composto.
• 9 è composto.
• 10 è composto.
• 11 è primo.
• 12 è composto.
• 13 è primo.
• ...

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ESEMPIO 8. Per verificare se 31 è primo, calcolo il valore approssimato ${\sqrt {\ }}$31 ≈ 5;5 e verifico se è divisibile per i numeri primi ≤ 5, cioè 2, 3 e 5. 31 non è divisibile per 2 in quanto è dispari, non è divisibile per 3 poiché la somma delle sue cifre è 4 (che non è divisibile per 3) e non è divisibile per 5 in quanto non finisce per 0 o 5 (paragrafo successivo). Quindi 31 è primo.

ESEMPIO 9. Per verificare se 59 è un numero primo calcolo ${\sqrt {\ }}$59 ≈ 7;6 e verifico se 59 è divisibile per un numero primo ≤ 7, cioè per 2, 3, 5 e 7. Eseguendo le divisioni si vede che 59 non è divisibile per nessuno di questi numeri, quindi è primo.

OSSERVAZIONE. Un numero è primo quando non è divisibile per nessun numero primo compreso tra 2 e la radice quadrata del numero stesso.

Criteri di divisibilità

Per verificare se un numero è divisibile per i primi numeri interi si possono applicare i seguenti criteri di divisibilità.

Divisibilità per 2. Un numero è divisibile per 2 se e solo se la sua ultima cifra, quella delle unità, è un numero pari, cioè è 0, 2, 4, 6, 8.

• 1 236 finisce per 6 quindi è divisibile per 2.
• 109 230 finisce per 0 quindi è divisibile per 2.
• 10 923 finisce per 3 quindi non è divisibile per 2.

Divisibilità per 3. Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle cifre che lo compongono è divisibile per 3.

• 24 è divisibile per 3, infatti la somma delle sue cifre è 2 + 4 = 6, dato che 6 è divisibile per 3 anche 24 è divisibile per 3.
• 1 236 è divisibile per 3, infatti la somma delle sue cifre è 1+2+3+6 = 12; 12 è divisibile per 3 dato che la somma delle sue cifre è 1 + 2 = 3, quindi anche 1 236 è divisibile per 3.
• 31 non è divisibile per 3, infatti la somma delle sue cifre è 3 + 1 = 4, dato che 4 non è divisibile per 3 neanche 31 è divisibile per 3.

Divisibilità per 5. Un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5.

• 1 230 finisce per 0 quindi è divisibile per 5.
• 59 235 finisce per 5 quindi è divisibile per 5.
• 109 253 finisce per 3 quindi non è divisibile per 5.

Divisibilità per 7. Un numero (maggiore di 10) è divisibile per 7 se la differenza (in valore assoluto) fra il valore ottenuto dal numero stesso togliendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 7 o un multiplo di 7.

• 252 è divisibile per 7, infatti |25 - 2 * 2| = 21 è multiplo di 7.
• 49 è divisibile per 7, infatti |4 - 2 * 9| = 14 è multiplo di 7.
• 887 non è divisibile per 7, infatti |88 - 2 * 7| = 74 non è divisibile per 7.

Divisibilità per 11. Un numero è divisibile per 11 se e solo se la differenza, in valore assoluto, fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è 0, 11 o un multiplo di 11.

• 253 è divisibile per 11, infatti |5 - (2 + 3)| = 0.
• 9 482 è divisibile per 11, infatti |(9 + 8) - (4 + 2)| = 11.
• 887 non è divisibile per 11, infatti |8 - (8 + 7)| = 7.

Scomposizione in fattori primi

Scomporre in fattori (o fattorizzare) un numero significa scriverlo come prodotto di altri numeri naturali.

TEOREMA 3. (fondamentale dell'aritmetica). Ogni numero naturale n > 1 si può scrivere in modo unico come prodotto di numeri primi.

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ESEMPIO 10. Scomporre in fattori primi il numero 630.

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In generale, un numero può essere scomposto in fattori in più modi. Per esempio, 12 = 3 * 4, ma anche 12 = 6 * 2. Il teorema fondamentale dell'aritmetica ci assicura che, se si scompone un numero in fattori primi, questa scomposizione è unica, a meno dell'ordine con cui si scrivono i fattori. Tornando all'esempio precedente 12 = 2² * 3 è l'unico modo in cui il 12 si può scomporre in fattori primi, a meno che non si scambino di posto i fattori 12 = 3 * 2². I numeri primi sono quindi i mattoni fondamentali dell'aritmetica, poiché gli altri numeri naturali possono essere ottenuti, in maniera univoca, come prodotto di primi. Sebbene al crescere dei valori considerati i numeri primi diventino sempre più radi, essi sono comunque infiniti, come affermò Euclide con il seguente teorema che porta il suo nome:

TEOREMA 4. (di Euclide). I numeri primi sono infiniti.

Numeri primi e crittografia

Il problema legato alla scomposizione in fattori primi è di notevole interesse per i matematici, poiché non è ancora stato individuato un meccanismo che permette di stabilire se un numero sia primo o meno, se non quello di provare a dividerlo per tutti i numeri minori o uguali alla sua radice quadrata, procedura che diventa sempre più lunga man mano che le cifre che compongono il numero da verificare aumentano. Per questo motivo l'utilizzo di valori che siano il prodotto di numeri primi con un numero elevato di cifre è ciò che sta alla base della moderna crittografia, ovvero dei sistemi per la cifratura dei messaggi. Consideriamo un semplice esempio che può chiarire come funziona il meccanismo di base per inviare messaggi segreti. Alice deve inviare la sua password, la parola “BACI”, a suo fratello Bruno. Alice trasforma la parola in numeri secondo la semplice regola A=1, B=2, C=3, I=9 (assegnando ad ogni lettera il numero cardinale corrispondente alla sua posizione nell'alfabeto). Il messaggio diventa così 2 139. Alice moltiplica questo numero per un numero primo “segreto” (che conosce solo lei) 26 417 e ottiene 2 139 * 26 417 = 56 505 963 e invia quest'ultimo numero a Bruno. Chiunque intercetti questo numero non è in grado di individuare la password in chiaro. Quando Bruno riceve il numero 56 505 963 lo moltiplica per un suo numero primo “segreto” (che conosce solo lui) 43 969 ottenendo 5 650 593 � 43 969 = 2 484 510 687 147 e lo invia nuovamente ad Alice. Quando Alice riceve il numero lo divide per il suo numero primo 2 484 510 687 147 : 26 417 = 94 049 691 e quindi lo rispedisce a Bruno, A questo punto Bruno divide il numero ricevuto per il suo numero primo segreto ottenendo 94 049 691 : 43 969 = 2 139. Conoscendo il meccanismo di codifica (relazione tra i numeri e le lettere dell'alfabeto 2=B, 1=A, 3=C, 9=I) Bruno può dunque ricostruire la password “BACI”. In realtà, i sistemi per lo scambio di messaggi cifrati oggi utilizzati per mezzo dei computer si basano su meccanismi leggermente differenti che evitano il doppio invio di messaggi tra Alice e Bruno. I meccanismi sono essenzialmente due: il primo è detto a chiave simmetrica, in cui sia Alice che Bruno condividono il numero segreto con il quale viene cifrato il messaggio e quindi entrambi possono codificarlo e decodificarlo autonomamente; il secondo, un po' più complesso ma che dà le stesse garanzie del doppio invio di messaggi (nessuna condivisione del numero segreto tra gli interlocutori), viene chiamato a chiave asimmetrica e si basa sull'utilizzo di un numero segreto ed un numero pubblico da condividere con l'interlocutore. Va comunque sottolineato il fatto che la robustezza del meccanismo di cifratura sta nella difficoltà intrinseca della fattorizzazione di numeri molto grandi. Ciò non significa che i messaggi rimarranno segreti per sempre: prima o poi saranno decifrati visto che la velocità di calcolo dei computer è sempre in aumento. Per cercare di rendere il processo di decifratura più arduo si possono scegliere chiavi di cifratura composte da numeri primi sempre più grandi.

Massimo Comune Divisore e minimo comune multiplo

DEFINIZIONE 13. Il massimo comune divisore di numeri naturali a e b è il più grande tra tutti i divisori comuni ad a e b e viene indicato con MCD(a, b).

Applicando la definizione, il massimo comune divisore tra 18 e 12 si ottiene prendendo tutti i divisori di 18 e di 12:

divisori di 18: 18, 9, 6, 3, 2, 1.

divisori di 12: 12, 6, 4, 2, 1.

I divisori comuni sono 6, 2 e 1. Il più grande dei divisori comuni è 6, quindi MCD(18, 12) = 6. Per calcolare il massimo comune divisore di due o più numeri si può applicare la seguente procedura:

PROCEDURA 5. Calcolo del MCD di due o più numeri naturali:

a) si scompongono i numeri in fattori primi.

b) si moltiplicano tra loro i fattori comuni, presi una sola volta e con il minore esponente.

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ESEMPIO 11. Calcolare MCD(60, 48, 36). Si scompongono in fattori i singoli numeri 60 = 2² * 3 * 5, 48 = 2⁴ * 3 e 36 = 2² * 3². I fattori comuni sono 2 e 3; il 2 compare con l'esponente minimo 2 ed il 3 compare con esponente minimo 1. Pertanto MCD(60, 48, 36) = 2² * 3 = 12.

ESEMPIO 12. Calcolare MCD(60, 120, 90). Si scompongono in fattori i singoli numeri 60 = 2² * 3 * 5, 120 = 2³ * 3 * 5 e 90 = 2 * 3² * 5. I fattori in comune sono 2, 3 e 5. L'esponente minimo è 1 per tutti. Pertanto MCD(60, 120, 90) = 2 * 3 * 5 = 30.

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DEFINIZIONE 14. Due numeri a e b si dicono primi tra loro o coprimi se MCD(a, b) = 1.

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ESEMPIO 13. Numeri primi tra loro:

• 12 e 25 sono primi tra loro. Infatti il MCD(12, 25) = 1 dato che nelle loro scomposizioni in fattori non si hanno fattori comuni: 12 = 2² * 3 e 25 = 5².
• 35 e 16 sono primi tra loro. Infatti 35 = 5 * 7 e 16 = 2⁴. I due numeri non hanno divisori comuni, quindi il loro MCD = 1.
• 11 e 19 sono primi tra loro infatti il MCD(11, 19) = 1 dato che 11 e 19 sono entrambi numeri primi.
• 12 e 15 non sono primi tra di loro in quanto hanno 3 come divisore comune.

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DEFINIZIONE 15. Il minimo comune multiplo di due numeri naturali a e b si indica con mcm(a, b) ed è il più piccolo tra tutti i multipli comuni di a e di b.

Per calcolare il minimo comune multiplo tra 6 e 15 applicando la definizione occorre calcolare i primi multipli dei due numeri:

multipli di 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, . . . .

multipli di 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, . . .

Sono multipli comuni 30, 60, 90, . . . Il più piccolo di essi è 30, ovvero mcm(6, 15) = 30. Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri si può applicare la seguente procedura:

PROCEDURA 6. Calcolo del mcm di due o più numeri naturali:

a) si scompongono i numeri in fattori primi.

b) si moltiplicano tra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il maggiore esponente.

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ESEMPIO 14. Calcolare il mcm(60, 48, 36). Scomponendo in fattori i numeri si ha 60 = 2² * 3 * 5, 48 = 2⁴ * 3 e 36 = 2² * 3². Tutti i fattori comuni e non comuni presi una sola volta con l'esponente più grande con cui compaiono sono: 2⁴, 3² e 5. Quindi il mcm è 2⁴ * 3² * 5 = 720.

ESEMPIO 15. Calcolare il mcm(20, 24, 450). Scomponendo in fattori si ha: 20 = 2² * 5, 24 = 2³ * 3 e 450 = 2 * 3² * 5². Moltiplicando i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente si ha 2³ * 3² * 5² = 1 800.

ESEMPIO 16. Si vuole pavimentare una stanza a pianta rettangolare di 315 cm per 435 cm con mattonelle quadrate le più grandi possibili, senza sprecarne alcuna. Quali sono le dimensioni delle mattonelle? Quante mattonelle sono necessarie? Poiché le mattonelle devono essere quadrate devono avere il lato tale che entri un numero intero di volte sia nel 315 sia nel 435, pertanto la dimensione delle mattonelle deve essere un divisore comune di 315 e di 435. Poiché è richiesto che le mattonelle siano quanto più grandi possibile, la dimensione deve essere il massimo divisore comune.

La soluzione del problema è data quindi dal MCD(315, 435) = 3 * 5 = 15. Le mattonelle devono avere il lato di 15 cm. Ci vogliono 435 : 15 = 29 mattonelle per ricoprire il lato di 435 cm e 315 : 15 = 21 mattonelle per ricoprire il lato da 315 cm. In tutto occorrono 29 � 21 = 609 mattonelle.

ESEMPIO 17. Alla fermata dei pulman l'autobus rosso passa ogni 20 minuti, l'autobus verde passa ogni 30 minuti e il pulman blu ogni 45 minuti. Se i pulman rosso, verde e blu erano insieme alla fermata delle 8:00, quando si troveranno di nuovo insieme alla stessa fermata? Gli autobus si incontrano nei minuti che sono i multipli comuni di 20, 30 e 45. quindi alle 11:00, alle 14:00, alle 17:00 ecc. La prima volta che si incontrano sarà data dal minimo comune multiplo di 20, 30 e 45, quindi dopo 180 minuti.

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Espressioni numeriche

Nel linguaggio comune alcune frasi possono risultare ambigue. Per esempio «Luca ha detto Mario è stato promosso» può avere due significati diversi a seconda di come si inserisce la punteggiatura: scrivendo «Luca, ha detto Mario, è stato promosso» significa che è stato promosso Luca; scrivendo «Luca ha detto: Mario è stato promosso» significa che è stato promosso Mario. Anche nella matematica, quando abbiamo più operazioni da eseguire, dobbiamo chiarirel'ordine con cui esse devono essere eseguire. Per esempio, l'espressione 2 + 3 * 4 può valere 14 oppure 20, infatti:

• eseguendo per prima la moltiplicazione si ha 2 + 3 * 4 = 2 + 12 = 14.
• eseguendo per prima l'addizione si ha 2 + 3 * 4 = 5 * 4 = 20.

Per eliminare queste ambiguità sono state fissate alcune regole che bisogna rispettare nell'esecuzione dei calcoli. Intanto diamo la seguente definizione:

DEFINIZIONE 16. Un'espressione aritmetica è una successione di operazioni da eseguire su più numeri.

Regole per semplificare le espressioni

I. Se un'espressione contiene solo addizioni, le operazioni si possono eseguire in qualsiasi ordine, grazie alla proprietà associativa dell'addizione.

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ESEMPIO 18. Semplificare l'espressione 3 + 2 + 5.

• 3 + 2 + 5 = 5 + 5 = 10. In questo caso si sono eseguite le operazioni nell'ordine in cui compaiono.
• 3+2+5 = 3+7 = 10. In questo caso si è eseguita per prima l'ultima addizione indicata. Il risultato ottenuto è lo stesso.
• 5 + 6 + 15 = 6 + 20 = 26. In questo caso abbiamo applicato anche la proprietà commutativa.

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II. Se un'espressione contiene solo moltiplicazioni, le operazioni si possono eseguire in qualsiasi ordine, anche in questo caso grazie alla proprietà associativa della moltiplicazione.

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ESEMPIO 19. Dovendo moltiplicare 2 * 3 * 4 si può procedere in più modi.

• 2 * 3 * 4 = 6 * 4 = 24. In questo caso si è seguito l'ordine in cui compaiono.
• 2 * 3 * 4 = 2 * 12 = 24. In questo caso si è seguito l'ordine opposto. Il risultato è lo stesso.

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III. Se un'espressione, senza parentesi, contiene più sottrazioni, si deve procedere eseguendole nell'ordine in cui sono scritte, la sottrazione infatti non gode né della proprietà associativa né di quella commutativa.

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ESEMPIO 20. Semplificare l'espressione 10 - 6 - 1.

• 10 - 6 - 1 = 4 - 1 = 3.
• 10 - 6 - 1 = 10 - 5 = 5, errato!

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IV. Se un'espressione senza parentesi contiene solo addizioni e sottrazioni, le operazioni si devono eseguire nell'ordine con cui sono scritte.

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ESEMPIO 21.' Semplificare l'espressione 12 + 6 - 5 - 1 + 2.

12 + 6 - 5 - 1 + 2 = 18 - 5 - 1 + 2 = 13 - 1 + 2 = 12 + 2 = 14.

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V. Se un'espressione senza parentesi contiene solo divisioni, le operazioni si devono eseguire nell'ordine nel quale sono scritte.

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ESEMPIO 22. Semplificare l'espressione 360 : 12 : 3.

• 360 : 12 : 3 = 30 : 3 = 10.
• 360 : 12 : 3 = 360 : 4 = 90, errato!

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VI. Se un'espressione senza parentesi contiene addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni e potenze, si eseguono prima le potenze, poi moltiplicazioni e divisioni, rispettando l'ordine con cui sono scritte, e poi addizioni e sottrazioni, rispettando l'ordine.

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ESEMPIO 23. Semplificare l'espressione 18 : 2 : 9 + 5² - 2 * 3² : 3 - 1.

18 : 2 : 9 + 5² - 2 * 3² : 3 - 1 = 18 : 2 : 9 + 25 - 2 * 9 : 3 - 1

= 9 : 9 + 25 - 18 : 3 - 1

= 1 + 25 - 6 - 1

= 26 - 6 - 1

= 20 - 1

= 19.

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VII. Se l'espressione contiene una coppia di parentesi si devono eseguire prima le operazioni racchiuse nelle parentesi, rispettando le regole precedenti; si eliminano poi le parentesi ottienendo un'espressione senza parentesi alla quale devono essere applicate nuovamente le regole precedenti.

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ESEMPIO 24. Semplificare l'espressione 5 * (4 + 3² - 1).

5 * (4 + 3² - 1) = 5 * (4 + 9 - 1)

= 5 * (13 - 1)

= 5 * 12

= 60.

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VIII. Se l'espressione contiene più ordini di parentesi, si eseguono per prima le operazioni racchiuse nelle parentesi più interne, rispettando le regole precedenti, si eliminano le parentesi e si procede considerando la nuova espressione. Se ci sono ancora delle parentesi si eseguono per prima le operazioni contenute nelle parentesi più interne, rispettando le regole precedenti, si eliminano le parentesi e si procede considerando la nuova espressione. E così via. Per facilitare il riconoscimento dei livelli di parentesi, in genere si usano le parentesi tonde (...) per il primo livello (quello più interno), le quadre [...] per il secondo livello e le graffe {...} g per il terzo livello (quello più esterno). L'uso di parentesi di diverso tipo rende visivamente più evidente l'ordine da seguire nelle operazioni, ma in un'espressione le parentesi possono anche essere soltanto tonde. Ciò accade, per esempio, quando si usano gli strumenti di calcolo elettronico come il computer e la calcolatrice.

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ESEMPIO 25. {[3*5-(5*2-4)]*2}:[(5*6):(3*5)+5:5]-{(5²*4):10-3²}+1

{[3*5-(5*2-4)]*2}:[(5*6):(3*5)+5:5]-{(5²*4):10-3²}+1

={[3*5-(10-4)]*2}:[30:15+5:5]-{(25*4):10-3²}+1

={[3*5-6]*2}:[2+1]-{100:10-9}+1

={[15-6]*2}:3-{10-9}+1

={9*2}:3-{1}+1

={18}:3-{1}+1

=6-1+1

=6