오각수

수학에서 오각수(五角數, 영어: pentagonal number)는 오각형을 사용하여 정의되는 다각수이다. 삼각수 및 정사각수와 달리, 오각수를 나타내는 공의 배열은 균일하지 않다.

정의

음이 아닌 정수 $n$ 에 대하여, $n$ 번째 오각수 $\operatorname {Pen} (n)$ 는 다음과 같이 정의된다.

\operatorname {Pen} (n)={\frac {n(3n-1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}(3k-2)

처음 몇 오각수는 다음과 같다.

0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, ... (OEIS의 수열 A000326)

n번째 오각수는 3n-1번째 삼각수의 1/3과 같다.

오각수는 홀수-홀수-짝수-짝수의 순서로 이어지며, 1과 5를 빼고는 모두 합성수이다.

오각수는 오일러의 오각수 정리에도 등장한다.

모든 자연수는 최대 5개의 오각수의 합으로 표현할 수 있다. (다각수 정리)

Weisstein, Eric Wolfgang. “Pentagonal number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.