지수 함수

y = e^x의 그래프

지수 함수(指數函數, 영어: exponential function)란 거듭제곱의 지수를 변수로 하고, 정의역을 실수 전체로 정의하는 초월함수이다. 로그 함수의 역함수이다.

정의

$a$를 양의 상수, $x$를 모든 실수 값을 취하는 변수라고 할 때 $y=a^{x}$로 주어지는 함수를 말한다. 예를 들어, 함수 $f(x)=2^{x}$는 지수함수다. 자연로그의 역함수로 주어지는 지수함수는 ${\text{exp}}(x)$ 또는 $e^{x}$와 같이 쓴다. 이때 $e$를 '자연로그의 밑'이라 한다. 지수함수 $y=e^{x}$ 역시 그래프로 나타낼 수 있으며, 실변수 $x$의 함수로서 그래프는 항상 양수이고, 왼쪽에서 오른쪽으로 증가한다. 이때 그래프는 $x$축과 만나지 않지만, $x$축에 점점 접근해간다.

a가 양의 실수, x가 임의의 실수일 때, a를 밑, x를 지수로 하는 지수함수를 a^x 로 쓴다. 특별히 지수가 자연수(혹은 유리수)일 때, 이 함수는 a의 거듭제곱과 일치한다. 지수함수는 다음의 공리에 의해 정의된다.

• a^x는 R에서 (0, ∞) 로의 연속사상이다.
• a⁰ = 1
• a^p+q = a^pa^q

극한

함수 $f(x)=a^{x}$에서

$a>1$일 때 위 지수함수의 극한은

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$, $\lim _{x\to -\infty }f(x)=0$이고,

$0<a<1$일 때 위 지수함수의 극한은

$\lim _{x\to \infty }f(x)=0$, $\lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty$이다.

그리고 $a=1$일 때 위 지수함수의 극한은

$\lim _{x\to \infty }f(x)=1$, $\lim _{x\to -\infty }f(x)=1$이다.

미분

밑이 e 인 지수 함수 e^x의 도함수는 e^x 자신이 된다. e^x를 $\exp(x)$ 로 쓰기도 한다. 임의의 지수함수 a^x는 자연로그 ln 을 사용하여, $e^{\ln a^{x}}=e^{x\ln a}$ 로 쓸 수 있다. 따라서, 일반적인 지수함수 a^x의 도함수는 (ln a)a^x = a^x ln a가 된다.

$\exp(x)$는 미분방정식 $dy/dx=y$의 특수해가 된다. 이는 반대로 미분방정식 $dy/dx=y,\;y(0)=1$를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.

해석학에서 지수 함수는 주로 밑이 e인 것만을 가리킨다.

음함수 미분을 이용한 지수함수의 미분

음함수 미분을 이용하여 ${\frac {d}{dx}}a^{x}$의 해를 구할 수 있다.

$y=a^{x}$ 라 하면 다음이 성립한다:

$\ln y=\ln a^{x}=x\ln a$

좌변을 $x$에 대해 미분하면:

${\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln a\;\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}=(\ln a)y=(\ln a)a^{x}$

로그함수의 역함수로서의 정의

로그함수를 정적분을 이용하여 정의할 경우, 지수함수는 거듭제곱이 아닌 로그함수의 역함수로 정의된다.

자연로그를 다음과 같이 정의하자.

$\ln x=\int _{1}^{x}{1 \over t}\,dt$

이때 $y=\ln x$는 강한 증가 함수이며 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재한다. 이때의 역함수를 $y=\exp(x)$라고 표기한다.

이 함수의 도함수는 역함수의 미분에 의하여

${dy \over dx}={1 \over {dx \over dy}}={1 \over {1 \over y}}=y$

즉, ${d \over dx}\exp(x)=\exp(x)$이다. 또한, $\ln 1=0$ 이므로, $\exp(0)=1$이다.

그리고 로그함수와의 역함수 관계를 이용하여 다음 등식이 성립함을 간단히 보일 수 있다.

$\exp(a+b)=\exp(a)\cdot \exp(b)$

$\exp(a)=p,\exp(b)=q$로 놓으면

$a=\ln p,b=\ln q$이므로 로그의 성질에 의하여 $a+b=\ln p+\ln q=\ln pq$

따라서 $\exp(a+b)=pq=\exp(a)\cdot \exp(b)$가 성립한다.

로그함수 $y=\ln x$는 정의역 전체에서 연속 함수이므로 중간값 정리에 의하여 방정식 $\ln x=1$를 만족하는 해 $x$가 존재하며, 단사함수이므로 실수 $x$는 단 한개만 존재한다. 방정식 $\ln x=1$의 해를 $x=e$라 하자.

$\therefore \ln e=1,\exp(1)=e$

이제 $\exp(x)=e^{x}$로 놓고 이것을 지수함수로 정의한다.

수학적 귀납법을 이용하면 $x$가 자연수일 때 $\exp(x)=\underbrace {e\times e\times e\times \cdots e} _{x}$임을 보일 수 있다.

이제 일반적인 밑을 가진 지수를 $a^{x}=e^{x\ln a}$ $(a>0)$로 정의하자.

마찬가지로 수학적 귀납법을 이용하여 자연수 $x$에 대하여 $a^{x}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{x}$임을 보일 수 있다.

증명은 다음과 같다.

1에 대하여 성립

$a^{1}=e^{\ln a}=a$

$n$에 대하여 성립한다는 가정 아래, $n+1$에 대하여 성립

$a^{n}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n}$

양변에 a를 곱하면

$a^{n}\cdot a=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n+1}$

위 식의 좌변은 다음과 같이 정리된다.

$a^{n}\cdot a=a^{n}\cdot a^{1}=e^{n\ln a}\cdot e^{\ln a}=e^{n\ln a+\ln a}=e^{(n+1)\ln a}=a^{n+1}$

$\therefore a^{n+1}=\underbrace {a\times a\times a\times \cdots a} _{n+1}$

따라서 수학적 귀납법에 의하여 자연수 $x$에 대하여 $e^{x\ln a}$로 정의된 $a^{x}$는 a를 x번 곱한 것과 같다.

같이 보기

• 자연로그의 밑
• 행렬 지수 함수
• 지수열

외부 링크

• “Complex exponential function”. 《PlanetMath》 (영어). 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Exponential Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.