Tolygusis briaunainis

Platono kūnas: Tetraedras

Tolygusis žvaigždinis briaunainis: Nusklembtas dodekadodekaedras

Tolygusis briaunainis – toks briaunainis, kurio sienos yra taisyklingieji daugiakampiai ir kurio viršūnės yra tranzityvios (t. y. viršūnių kampai yra lygūs ir šis briaunainis yra izogonas). Tolygaus briaunainio visos viršūnės yra tolygios (tapačios), o pats briaunainis pasižymi didelio laipsnio atspindėjimo ir sukimo simetrija.

Tolygieji briaunainiai gali būti taisyklingi (jei be viršūnių, dar yra tranzityvios sienos ir briaunos), kvazitaisyklingi (jei be viršūnių, dar yra tranzityvios briaunos, bet sienos netranzityvios) ir pustaisyklingiai (jei tranzityvios vien viršūnės, o sienos ir briaunos netranzityvios). Šių briaunainių sienos ir viršūnės gali būti ir neiškilos, tad daug tolygiųjų briaunainių yra žvaigždiniai.

Atmetus begalines prizminių briaunainių klases, suskaičiuosime 75 tolygiuosius briaunainius (arba 76, jei įskaičiuosime Skilingo figūrą).

• Iškilieji:
  • 5 Platono kūnai – taisyklingieji iškili briaunainiai;
  • 13 Archimedo kūnų – 2 kvazitaisyklingieji ir 11 pustaisyklingių iškilių briaunainių.
• Žvaigždiniai:
  • 4 Keplerio-Puanso kūnai – taisyklingi neiškili briaunainiai;
  • 53 tolygūs žvaigždiniai braiunainiai – 5 kvazitaisyklingieji ir 48 pustaisyklingiai;
  • 1 žvaigždinis briaunainis, turintis sutampančių briaunų poras, geometriškai vadinamas didžiuoju dinusklembtu dirombiniu dodekaedru, kurį atrado Džonas Skilingas (John Skilling), todėl neretai jis svadinamas tiesiog Skilingo figūra.

Greta šios suskaičiuojamos aibės dar yra dvi begalinės briaunainių klasės – prizmės ir antiprizmės, apimančios prizmines iškilas ir žvaigždines formas.

Tolygiųjų briaunainių dualai turi tranzityvias sienas (yra izoedrai) ir jų viršūnės planas yra taisyklingas daugiakampis. Įprastai klasifikuojant, dualūs briaunainiai gretinami su jų pirminiais tolygiaisiais briaunainiais. Taisyklingųjų briaunainių dualai taip pat yra taisyklingieji, o Archimedo kūnų – Katalano kūnai.

Tolygieji briaunainiai yra atskiras trimatis tolygiųjų politopų atvejis. Tolygiųjų politopų teorija apibendrina tolygiąsias figūras ne vien trimatei bet ir kitų matavimų erdvėms: tiek aukštesnio matavimo (keturmatei ir aukštesnei), tiek žemesnėms (dvimatei, vienmatei ir pan.). Trimačių tolygiųjų briaunainių nagrinėjimas leidžia akivaizdžiai pažvelgti į tolygiųjų politopų savybes žmogui lengvai suvokiamoje trimatėje erdvėje.

Istorija

• Platono kūnai buvo studijuojami dar Senovės Graikijoje, kur jais domėjosi filosofas Platonas, matematikai Teatetas (Theaetetus) ir Euklidas.
• Johanas Kepleris (1571–1630) pirmas paskelbė išsamų Archimedo kūnų sąrašą, nors pradinis Archimedo veikalas buvo jau prarastas.

Taisyklingieji žvaigždiniai briaunainiai:

• Kepleris 1619 metais atrado du Keplerio-Puanso briaunainius, o prancūzų matematikas Lui Puanso (Louis Poinsot), 1809 metais, kitus du.

Kiti 53 netaisyklingieji žvaigždiniai briaunainiai:

• Iš likusių 53, 1878 metais Edmundas Hesas (Edmund Hess) atrado du briaunainius, 1881 metais Alberas Banduro (Albert Badoureau) atrado 36, o Pičas (Pitsch), tais pačiais 1881 metais, nepriklausomai atrado dar 18, iš kurių 15 buvo dar visiškai nežinomi.
• JAV geometras Haroldas Kokseteris (Harold Scott MacDonald Coxeter), bendradarbiaudamas su Džefriu Mileriu (Jeffrey Charles Percy Miller), 1930–1932 metais atrado likusius dvylika briaunainių, bet neskubėjo apie tai publikuoti, tad panašiai tuo pačiu metu broliai Maiklas ir Kristoferis Longet-Higinsai (Michael Selwyn Longuet-Higgins, Hugh Christopher Longuet-Higgins) nepriklausomai atrado 11 šių briaunainių.
• 1954 metais Kokseteris, broliai Longet-Higinsai ir Mileris bendrai publikavo tolygiųjų briaunainių sąrašą.
• 1970 metais Sopovas įrodė, kad jų sąrašas yra išsamus.
• 1974 metais Magnusas Veningeris (Magnus Wenninger) publikavo veikalą Polyhedron models (Briaunainių modeliai), kuriame pavaizduoti visi 75 neprizminiai tolygieji briaunainiai ir pateikti matematiko Normano Džonsono (Norman Johnson) suteikti pavadinimai, kurie, daugelio jų, nebuvo anksčiau skelbti.
• 1975 metais Dž. Skilingas (John Skilling) nepriklausomai dar kartą įrodė, kad Kokseterio ir kitų sąrašas yra išsamus, o jei būtų leista tolygiesiems briaunainiams priskirti figūrą, kurios kelios briaunos sutampa, tuomet reikėtų įtraukti dar vieną, ir tiktai vieną briaunainį, vėliau pavadintą Skilingo figūra.
• 1987 metais Edmondas Bonanas (Edmond Bonan) nubraižė visų tolygiųjų briaunainių trimates projekcijas kompiuterio programa (turbo paskalio kalba parašyta programa Polyca) – šie vaizdai buvo pristatyti Tarptautiniame steroskopijos kongrese (International Stereoscopic Union Congress, Eastbourne, UK).
• 1993 metais Zvi Har Elis (Zvi Har’El) sukūrė kompiuterinę programą Kaleido, skirtą kaleidoskopiniam tolygiųjų briaunainių konstravimui ir aprašė ją straipsnyje Uniform Solution for Uniform Polyhedra (Vieningas sprendimas tolygiems briaunainiams). Jis figūras numeravo nuo 1 iki 80.
• Tais pačiais 1993 metais, R. Mėderis (R. Mäder) Kaleido programos sprendimui pritaikė kitokį figūrų indeksavimą ir viską perkėlė į Mathematica programinę aplinką.
• 2002 metais Peteris Meseris (Peter W. Messer) atrado minimalią aibę, apimančią uždaro pavidalo išraiškas, kuriomis galima išreikšti kombinatorinių ir metrinių bet kurio tolygiojo briaunainio (ir jo dualo) savybių kiekybinius parametrus, kai žinomas tik Vithofo simbolis.

Tolygieji žvaigždiniai briaunainiai

Visi 57 neprizminiai neiškili briaunainiai gali būti sudaryti taikant Vithofo konstravimo metodą.

Iškilos (nežvaigždinės) formos: Vithofo konstravimas

Pavyzdys sukurtas iš kubo ir oktaedro tarpusavio virsmo

Iškili tolygieji briaunainiai yra vadinami pagal Vithofo konstravimo veiksmo pavadinimą ir (arba) pagal sąsają su taisyklingąja forma. Žemiau pateikiami iškili tolygieji briaunainiai išdėstyti pagal Vithofo konstravimo veiksmą ir simetrijos grupę.

Vithofo konstravimo metu sukuriami pakartojimai, kuriuos atitinka žemesnės simetrijos atvejai. Kubas vienu metu yra ir taisyklingasis briaunainis, ir kvadratinė prizmė. Oktaedras vienu metu yra ir taisyklingasis briaunainis, ir trikampė antiprizmė; be to, jis dar yra rektifikuotas tetraedras. Daug briaunainių gali būti sukurti pakartotinai iš skirtingų Vithofo konstravimo taškų – tik tada jie yra kitaip nuspalvinami. (Kadangi Vithofo konstravimas vienodai tinkamas tiek tolygiems briaunainiams, tiek tolygiems klojiniams, tai lentelėje pateikiami abeji vaizdai. Sferiniai klojiniai apima ir vadinamuosius hosoedrus bei diedrus, kurie yra netikrieji, „išsigimę“ briaunainiai.)

Vithofo konstravimo metu simetrijos grupės sukuriamos iš trimačio atspindžio taškų grupių, kurių kiekvieną atitinka fundamentinis trikampis (p q r), kur p>1, q>1, r>1 ir 1/p+1/q+1/r<1.

• Tetraedrinė simetrija (3 3 2) – eilė 24
• Oktaedrinė simetrija (4 3 2) – eilė 48
• Ikosaedrinė simetrija (5 3 2) – eilė 120
• Diedrinė simetrija (n 2 2), visiems n=3,4,5,… – eilė 4n

Likusios neatspindėjimo formos yra konstruojamos nupjaunant pakaitomis (angl. alternation) sienų daugiakampius, turinčius lyginį kraštinių skaičių, kai nupjaunamas kas antras briaunanio sienos daugiakampio kampas.

Kartu su prizmėmis ir jų diedrine simetrija, sferinio Vithofo konstravimo veiksmas prideda dvi taisyklingas klases, kurios yra „išsigimę“ briaunainiai – diedrai ir hosoedrai, iš kurių pirmieji turi tik dvi sienas, o antrieji tik dvi viršūnes. Nupjaunant taisyklingąjį hosoedrą gauname prizmes.

Žemiau, iškili tolygieji briaunainiai, kurie nėra prizmės, pateikiami simetrinių formų tvarka ir indeksuojami nuo 1 iki 18. Pasikartojančios formos numeris apskliaustas laužtiniais skliaustais.

Begalinės prizminės formos indeksuojamos, paskirsčius jas į keturias šeimas:

1. Hosoedrai H_2… (Tik kaip sferiniai klojiniai)
2. Diedrai D_2… (Tik kaip sferiniai klojiniai)
3. Prizmės P_3… (Nupjautiniai hosoedrai)
4. Antiprizmės A_3… (Nusklembtos (angl. snub) prizmės)

Apibendrinančios duomenų lentelės

p – sienos kraštinių (arba kampų) skaičius;
q – į vieną viršūnę sueinančių sienų (arba briaunų) skaičius.

Džonsono pavadinimai	Pirminis	Nupjautinis	Rektifikuotas	Binupjautinis (nupjautinis dualas)	Birektifikuotas (dualas)	Kanteliuotas	Omninupjautinis (Kantenupjautinis)	Nusklembtas (angl. snub)
Išplėstinis Šlėfli simbolis	${\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}$	$r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}$
	{p, q}	t{p, q}	r{p, q}	2t{p, q}	2r{p, q}	rr{p, q}	tr{p, q}	sr{p, q}
	t0{p, q}	t0,1{p, q}	t1{p, q}	t1,2{p, q}	t2{p, q}	t0,2{p, q}	t0,1,2{p, q}	ht0,1,2{p, q}
Vithofo simbolis (p q 2)	q | p 2	2 q | p	2 | p q	2 p | q	p | q 2	p q | 2	p q 2 |	| p q 2
Kokseterio diagram
Viršūnės planas	pq	(q.2p.2p)	(p.q)2	(p.2q.2q)	qp	(p.4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.p.3.q)
Tetraedrinė (3 3 2)	{3,3}	(3.6.6)	(3.3.3.3)	(3.6.6)	{3,3}	(3.4.3.4)	(4.6.6)	(3.3.3.3.3)
Oktaedrinė (4 3 2)	{4,3}	(3.8.8)	(3.4.3.4)	(4.6.6)	{3,4}	(3.4.4.4)	(4.6.8)	(3.3.3.3.4)
Ikosaedrinė (5 3 2)	{5,3}	(3.10.10)	(3.5.3.5)	(5.6.6)	{3,5}	(3.4.5.4)	(4.6.10)	(3.3.3.3.5)

Diedrinės simetrijos vaizdai:

(p 2 2)	Pirminis	Nupjautinis	Rektifikuotas	Binupjautinis (nupj. dualas)	Birektifikuotas (dualas)	Kanteliuotas	Omninupjautinis (Kantenupjautinis)	Nusklembtas (angl. snub)
Išplėstinis Šlėfli simbolis	${\begin{Bmatrix}p,2\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p,2\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}2,p\end{Bmatrix}}$	${\begin{Bmatrix}2,p\end{Bmatrix}}$	$r{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$	$t{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$	$s{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}$
	{p,2}	t{p,2}	r{p,2}	2t{p,2}	2r{p,2}	rr{p,2}	tr{p,2}	sr{p,2}
	t0{p,2}	t0,1{p,2}	t1{p,2}	t1,2{p,2}	t2{p,2}	t0,2{p,2}	t0,1,2{p,2}	ht0,1,2{p,2}
Vithofo simbolis	2 | p 2	2 2 | p	2 | p 2	2 p | 2	p | 2 2	p 2 | 2	p 2 2 |	| p 2 2
Kokseterio-Dinkino diagrama
Viršūnės planas	p2	(2.2p.2p)	(p. 2.p. 2)	(p. 4.4)	2p	(p. 4.2.4)	(4.2p.4)	(3.3.p. 3.2)
Diedrinė (2 2 2)	{2,2}	2.4.4	2.2.2.2	4.4.2	{2,2}	2.4.2.4	4.4.4	3.3.3.2
Diedrinė (3 2 2)	{3,2}	2.6.6	2.3.2.3	4.4.3	{2,3}	2.4.3.4	4.4.6	3.3.3.3
Diedrinė (4 2 2)	{4,2}	2.8.8	2.4.2.4	4.4.4	{2,4}	2.4.4.4	4.4.8	3.3.3.4
Diedrinė (5 2 2)	{5,2}	2.10.10	2.5.2.5	4.4.5	{2,5}	2.4.5.4	4.4.10	3.3.3.5
Diedrinė (6 2 2)	{6,2}	2.12.12	2.6.2.6	4.4.6	{2,6}	2.4.6.4	4.4.12	3.3.3.6

Vithofo konstravimo veiksmai

Veiksmas	Simbolis	Kokseterio diagrama	Aprašymas
Pirminis	{p, q} t0{p, q}		Bet koks taisyklingas briaunainis arba klojinys
Rektifikuotas (r)	r{p, q} t1{p, q}		Visiškai nupjautos briaunos virsta taškais. Briaunainio sienos dabar yra kombinuotos iš priminio kūno ir jo dualo sienų.
Birektifikuotas (2r) (tas pats, kas dualas)	2r{p, q} t2{p, q}		Birektifikuotas kūnas (dualas) gaunamas toliau nupjaunant taip, kad pirminės sienos virsta taškais. Naujos sienos susidaro po kiekviena pirmine viršūne. Briaunų skaičius nepakinta, bet jos pasisuka 90 laipsnių. Taisyklingojo briaunainio {p, q} dualas yra taip pat taisyklingas briaunainis {q, p}.
Nupjautas (t)	t{p, q} t0,1{p, q}		Kiekviena pirminė viršūnė nupjaunama ir jos vietoje susidaro nauja siena. Nupjovimui būdingas tam tikras laisvės laipsnis, kurio vienas sprendimas sukuria tolygųjį nupjautinį briaunainį. Pirminių briaunainio sienos pastumiamos į šonus, o nupjautų viršūnių vietoje susidaro dualo sienos.
Binupjovimas (2t)	2t{p, q} t1,2{p, q}		Tas pats, kas nupjautinis dualas.
Kanteliacija (rr) (Taip pat Išplėtimas)	rr{p, q}		Kartu su viršūnės nupjovimu, kiekviena pirminė briauna nuožulniai papildoma nauja stačiakampe siena, susidarančia vietoje briaunos. Tolygi kanteliacija yra pusiaukelė tarp pirminio kūno ir jo dualo.
Kantenupjautas (tr) (Taip pat Omninupjovimas)	tr{p, q} t0,1,2{p, q}		Nupjovimas ir kanteliacija vyksta kartu ir sukuria omninupjautą formą, kurioje pirminio kūno sienos yra pastumtos į šonus, dualo sienos yra pastumtos į šonus, o vietoje pirminių briaunų yra susidarę kvadratai

Nupjovimas pakaitomis (angl. alternation)

Veiksmas	Simbolis	Kokseterio diagrama	Aprašymas
Nusklembtas rektifikuotas (sr)	sr{p, q}		Kantenupjovimas pakaitomis. Visos pirminės sienos netenka pusės savo kraštinių, o kvadratai susitraukia į briaunas. Kadangi omninupjautinės formos turi trisienių viršūnių, susidaro nauji trikampiai. Įprastai šios pakaitinio sienų keitimo būdu gautos formos vėliau šiek tiek deformuojamos, kad vėl taptų tolygiais briaunainiais. Vėlesnės kaitos galimybės priklauso nuo laisvės laipsnio.
Nusklembtas (s)	s{p,2q}		Nupjovimas pakaitomis
Kantavimas nusklembimas (s2)	s2{p,2q}
Kanteliacija pakaitomis (hrr)	hrr{2p,2q}		Įmanomi tik tolygieji klojiniai (begaliniai briaunainiai), kai pakaitomis nupjaunama Pavyzdžiui,
Pusė (h)	h{2p, q}		Pakaitomis nupjaunama , tas pats kaip
Kantavimas (h2)	h2{2p, q}		Tas pats kaip
Pusiau rektifikavimas (hr)	hr{2p,2q}		Įmanomas tik tolygiems klojiniams (begaliniams briaunainiams), pakaitomis nupjaunama , tas pats kaip arba Pavyzdžiui, = arba
Ketvirtis (q)	q{2p,2q}		Įmanomas tik tolygiems klojiniams (begaliniams briaunainiams), tas pats kaip pavyzdžiui, = arba

(3 3 2) T_d Tetraedrinė simetrija

Sferos tetraedrinė simetrija sukuria 5 tolygiuosius briaunainius, o šeštas suformuojamas nusklembimo veiksmu.

Tetraedrinės simetrijos pagrindas yra fundamentinis trikampis, turintis vieną viršūnę su dviem veidrodžiais ir dvi viršūnes su trimis veidrodžiais, kas užrašoma simboliu (3 3 2). Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe A₂ arba [3,3], taip pat Kokseterio-Dinkino diagrama: .

Tetrakis heksaedras turi 24 regimus trikampius, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius ant analogiško sferinio briaunainio:

Nr.	Pavadinimas	Grafas A3	Grafas A2	Vaizdas	Klojinys	Viršūnės planas	Kokseterio-Dinkino ir Šlėfli simboliai	Sienų kiekis pagal poziciją			Elementų kiekis
								Poz. 2 [3] (4)	Poz. 1 [2] (6)	Poz. 0 [3] (4)	Sienos	Briaunos	Viršūnės
1	Tetraedras						{3,3}	{3}			4	6	4
[1]	Birektifikuotas tetraedras (tas pats, kaip tetraedras)						t2{3,3}={3,3}			{3}	4	6	4
2	Rektifikuotas tetraedras (tas pats, kaip oktaedras)						t1{3,3}=r{3,3}	{3}		{3}	8	12	6
3	Nupjautinis tetraedras						t0,1{3,3}=t{3,3}	{6}		{3}	8	18	12
[3]	Binupjautinis tetraedras (tas pats, kaip nupjautinis tetraedras)						t1,2{3,3}=t{3,3}	{3}		{6}	8	18	12
4	Rombinis tetratetraedras (tas pats, kaip kuboktaedras)						t0,2{3,3}=rr{3,3}	{3}	{4}	{3}	14	24	12
5	Nupjautinis tetratetraedras (tas pats, kaip nupjautinis oktaedras)						t0,1,2{3,3}=tr{3,3}	{6}	{4}	{6}	14	36	24
6	Nusklembtas tetratetraedras (tas pats, kaip ikosaedras)						sr{3,3}	{3}	2 {3}	{3}	20	30	12

(4 3 2) O_h Oktaedrinė simetrija

Sferos oktaedrinė simetrija sukuria 7 tolygiuosius briaunainius ir dar 7 pasitelkiant nupjovimą pakaitomis. Šeši pavidalai kartojasi iš aprašytos tetraedrinės simetrijos lentelės (aukščiau).

Oktaedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (4 3 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe B₂ arba [4,3], taip pat Kokseterio-Dinkino diagrama: .

Disdyakis dodekaedras turi 48 regimus sienų trikampius, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius, vaizduojančius analogišką sferinį briaunainį:

Nr.	Pavadinimas	Grafas B3	Grafas B2	Vaizdas	Klojinys	Viršūnės planas	Kokseterio-Dinkino ir Šlėfli simboliai	Sienų kiekis pagal poziciją			Elementų kiekis
								Poz. 2 [4] (8)	Poz. 1 [2] (12)	Poz. 0 [3] (6)	Sienos	Briaunos	Viršūnės
7	Kubas						{4,3}	{4}			6	12	8
[2]	Oktaedras						{3,4}			{3}	8	12	6
[4]	Rektifikuotas kubas Rektifikuotas oktaedras (Kuboktaedras)						{4,3}	{4}		{3}	14	24	12
8	Nupjautinis kubas						t0,1{4,3}=t{4,3}	{8}		{3}	14	36	24
[5]	Nupjautinis oktaedras						t0,1{3,4}=t{3,4}	{4}		{6}	14	36	24
9	Kanteliuotas kubas Kanteliuotas oktaedras Rombinis kuboktaedras						t0,2{4,3}=rr{4,3}	{8}	{4}	{6}	26	48	24
10	Omninupjautinis kubas Omninupjautinis oktaedras Nupjautinis kuboktaedras						t0,1,2{4,3}=tr{4,3}	{8}	{4}	{6}	26	72	48
[6]	Nusklembtas oktaedras (Tas pats, kaip ikosaedras)						= s{3,4}=sr{3,3}		{3}	{3}	20	30	12
[1]	Puskubis (Tas pats, kaip tetraedras)						= h{4,3}={3,3}	1/2 {3}			4	6	4
[2]	Kantuotas kubas (Tas pats, kaip nupjautinis tetraedras)						= h2{4,3}=t{3,3}	1/2 {6}		1/2 {3}	8	18	12
[4]	(Tas pats, kaip kuboktaedras)						= rr{3,3}				14	24	12
[5]	(Tas pats, kaip nupjautinis oktaedras)						= tr{3,3}				14	36	24
[9]	Kantuotas nusklembtas oktaedras (Tas pats, kaip rombinis kuboktaedras)						s2{3,4}=rr{3,4}				26	48	24
11	Nusklembtas kuboktaedras						sr{4,3}	{4}	2 {3}	{3}	38	60	24

(5 3 2) I_h Ikosaedrinė simetrija

Sferos ikosaedrinė simetrija sukuria 7 tolygiuosius briaunainius ir dar 1, pasitelkiant nupjovimą pakaitomis. Tik 1 pavidalas kartojasi iš aprašytų tetraedrinės ir oktaedrinės simetrijos lentelių (aukščiau).

Ikosaedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (5 3 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe G₂ arba [5,3], taip pat Kokseterio-Dinkino diagrama: .

Disdyakis triakontaedras turi 120 regimų sienų trikampių, o ant sferos matome pakaitomis nudažytus trikampius, vaizduojančius analogišką sferinį briaunainį:

Nr.	Pavadinimas	Grafas (A2) [6]	Grafas (H3) [10]	Vaizdas	Klojinys	Viršūnės planas	Kokseterio-Dinkino ir Šlėfli simboliai	Sienų kiekis pagal poziciją			Elementų kiekis
								Poz. 2 [5] (12)	Poz. 1 [2] (30)	Poz. 0 [3] (20)	Sienos	Briaunos	Viršūnės
12	Dodekaedras						{5,3}	{5}			12	30	20
[6]	Ikosaedras						{3,5}			{3}	20	30	12
13	Rektifikuotas dodekaedras Rektifikuotas ikosaedras Ikosidodekaedras						t1{5,3}=r{5,3}	{5}		{3}	32	60	30
14	Nupjautinis dodekaedras						t0,1{5,3}=t{5,3}	{10}		{3}	32	90	60
15	Nupjautinis ikosaedras						t0,1{3,5}=t{3,5}	{5}		{6}	32	90	60
16	Kanteliuotas dodekaedras Kanteliuotas ikosaedras Rombinis ikosidodekaedras						t0,2{5,3}=rr{5,3}	{5}	{4}	{3}	62	120	60
17	Omninupjautinis dodekaedras Omninupjautinis ikosaedras Nupjautinis ikosidodekaedras						t0,1,2{5,3}=tr{5,3}	{10}	{4}	{6}	62	180	120
18	Nusklembtas ikosidodekaedras						sr{5,3}	{5}	2 {3}	{3}	92	150	60

(p 2 2) Prizminės [p,2], I₂(p) šeimos (D_ph diedrinė simetrija)

Sferos ikosaedrinė simetrija sukuria dvi begalines tolygiųjų briaunanių aibes, prizmes ir antiprizmes, ir dar dvi begalines išsigimusių briaunanių aibes, hosoedrus ir diedrus, kurie egzistuoja tik kaip sferos klojiniai.

Diedrinės simetrijos generavimo pagrindas yra fundamentinis trikampis (p 2 2), jei skaičiuosime veidrodžius kiekvienoje viršūnėje. Taip pat šią simetriją galima užrašyti Kokseterio grupe I₂(p) arba [n,2], taip pat prizmine Kokseterio-Dinkino diagrama: .

Žemiau pavaizduoti pirmi penki diedrinės simetrijos atvejai: D₂ … D₆. Diedrinės simetrijos D_p eilė yra 4n, atspindi bipiramidės sienas, o ant sferos – tai pusiaujo linija ir n tolygiai viena nuo kitos nutolusių dienovidinių.

(2 2 2) diedrinė simetrija

Yra 8 fundamentalūs trikampiai, matomi ant kvadratinės bipiramidės sienų (oktaedras) ir pakaitomis nuspalvintus trikampius ant sferos:

Nr.	Pavadinimas	Vaizdas	Klojinys	Viršūnės planas	Kokseterio-Dinkino ir Šlėfli simboliai	Sienų kiekis pagal poziciją			Elementų kiekis
						Poz. 2 [2] (2)	Poz. 1 [2] (2)	Poz. 0 [2] (2)	Sienos	Briaunos	Viršūnės
D2 H2	Digoninis diedras Digoninis hosoedras				{2,2}	{2}			2	2	2
D4	Nupjautinis digoninis diedras (Tas pats, kaip kvadratinis diedras)				t{2,2}={4,2}	{4}			2	4	4
P4 [7]	omninupjautinis digoninis diedras (Tas pats, kaip kubas)				t0,1,2{2,2}=tr{2,2}	{4}	{4}	{4}	6	12	8
A2 [1]	Nusklembtas digoninis diedras (Tas pats, kaip tetraedras)				sr{2,2}		2 {3}		4	6	4

(3 2 2) D_3h diedrinė simetrija

Yra 12 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant šešiakampės bipiramidės sienų ir pakaitomis nuspalvintus trikampius ant sferos:

Nr.	Pavadinimas	Vaizdas	Klojinys	Viršūnės planas	Kokseterio-Dinkino ir Šlėfli simboliai	Sienų kiekis pagal poziciją			Elementų kiekis
						Poz. 2 [3] (2)	Poz. 1 [2] (3)	Poz. 0 [2] (3)	Sienos	Briaunos	Viršūnės
D3	Trigoninis diedras				{3,2}	{3}			2	3	3
H3	Trigoninis hosoedras				{2,3}			{2}	3	3	2
D6	Nupjautinis trigoninis diedras (Tas pats, kaip šešiakampis diedras)				t{3,2}	{6}			2	6	6
P3	Nupjautinis trigoninis hosoedras (Trikampė prizmė)				t{2,3}	{3}	{4}		5	9	6
P6	Omninupjautinis trigoninis diedras (Šešiakampė prizmė)				t0,1,2{2,3}=tr{2,3}	{6}	{4}	{4}	8	18	12
A3 [2]	Nusklembtas trigoninis diedras (Tas pats, kaip trikampė antiprizmė) (Tas pats, kaip oktaedras)				sr{2,3}	{3}	2 {3}		8	12	6
P3	Kantuotas nusklembtas trigoninis diedras (Trikampė prizmė)				s2{2,3}=t{2,3}				5	9	6

(4 2 2) D_4h diedrinė simetrija

Yra 16 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant aštuoniakampės bipiramidės sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:

Nr.	Pavadinimas	Vaizdas	Klojinys	Viršūnės planas	Kokseterio-Dinkino ir Šlėfli simboliai	Sienų kiekis pagal poziciją			Elementų kiekis
						Poz. 2 [4] (2)	Poz. 1 [2] (4)	Poz. 0 [2] (4)	Sienos	Briaunos	Viršūnės
D4	Kvadratinis diedras				{4,2}	{4}			2	4	4
H4	Kvadratinis hosoedras				{2,4}			{2}	4	4	2
D8	Nupjautinis kvadratinis diedras (Tas pats, kaip aštuoniakampis diedras)				t{4,2}	{8}			2	8	8
P4 [7]	Nupjautinis kvadratinis hosoedras (Kubas)				t{2,4}	{4}	{4}		6	12	8
D8	Omninupjautinis kvadratinis diedras (Aštuoniakampė prizmė)				t0,1,2{2,4}=tr{2,4}	{8}	{4}	{4}	10	24	16
A4	Nusklembtas kvadratinis diedras (Kvadratinė antiprizmė)				sr{2,4}	{4}	2 {3}		10	16	8
P4 [7]	Kantuotas nusklembtas kvadratinis diedras (Kubas)				s2{4,2}=t{2,4}				6	12	8
A2 [1]	Nusklembtas kvadratinis hosoedras (Digoninė antiprizmė) (Tetraedras)				s{2,4}=sr{2,2}				4	6	4

(5 2 2) D_5h diedrinė simetrija

Yra 20 fundamentalių trikampių, kurie matomi ant dešimtkampės bipiramidės sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:

Nr.	Pavadinimas	Vaizdas	Klojinys	Viršūnės planas	Kokseterio-Dinkino ir Šlėfli simboliai	Sienų kiekis pagal poziciją			Elementų kiekis
						Pos. 2 [5] (2)	Pos. 1 [2] (5)	Pos. 0 [2] (5)	Sienos	Briaunos	Viršūnės
D5	Penkiakampis diedras				{5,2}	{5}			2	5	5
H5	Penkiakampis hosoedras				{2,5}			{2}	5	5	2
D10	Nupjautinis penkiakampis diedras (Tas pats, kaip dešimtkampis diedras)				t{5,2}	{10}			2	10	10
P5	Nupjautinis penkiakampis hosoedras (Tas pats, kaip penkiakampė prizmė)				t{2,5}	{5}	{4}		7	15	10
P10	Omninupjautinis penkiakampis diedras (dešimtkampė prizmė)				t0,1,2{2,5}=tr{2,5}	{10}	{4}	{4}	12	30	20
A5	Nusklembtas penkiakampis diedras (Penkiakampė antiprizmė)				sr{2,5}	{5}	2 {3}		12	20	10
P5	Kantuotas nusklembtas penkiakampis diedras (Penkiakampė prizmė)				s2{5,2}=t{2,5}				7	15	10

(6 2 2) D_6h diedrinė simetrija

Yra 24 fundamentalūs trikampiai, kurie matomi ant dvylikakampės bipiramidės sienų ir kaip pakaitomis nuspalvinti trikampiai ant sferos:

rowspan=2|Nr.

Pavadinimas	Vaizdas	Klojinys	Viršūnės planas	Kokseterio-Dinkino ir Šlėfli simboliai	Sienų kiekis pagal poziciją			Elementų kiekis
					Pos. 2 [6] (2)	Pos. 1 [2] (6)	Pos. 0 [2] (6)	Sienos	Briaunos	Viršūnės
D6	Šešiakampis diedras				{6,2}	{6}			2	6	6
H6	Šešiakampis hosoedras				{2,6}			{2}	6	6	2
D12	Nupjautinis šešiakampis diedras (Tas pats, kaip dvylikakampis diedras)				t{6,2}	{12}			2	12	12
H6	Nupjautinis šešiakampis hosoedras (Tas pats, kaip šešiakampė prizmė)				t{2,6}	{6}	{4}		8	18	12
P12	Omninupjautinis šešiakampis diedras (Dvylikakampė prizmė)				t0,1,2{2,6}=tr{2,6}	{12}	{4}	{4}	14	36	24
A6	Nusklembtas šešiakampis diedras (Šešiakampė antiprizmė)				sr{2,6}	{6}	2 {3}		14	24	12
P3	Kantuotas šešiakampis diedras (Trikampė prizmė)				= h2{6,2}=t{2,3}				5	9	6
P6	Kantuotas nusklembtas šešiakampis diedras (Šešiakampė prizmė)				s2{6,2}=t{2,6}				8	18	12
A3 [2]	Nusklembtas šešiakampis hosoedras (Tas pats, kaip trikampė antiprizmė) (Tas pats, kaip oktaedras)				s{2,6}=sr{2,3}				8	12	6

Šaltiniai

• Brückner, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [1]
• Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). „Uniform polyhedra“. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. The Royal Society. 246 (916): 401–450. doi:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. [2]
• Sopov, S. P. (1970). „A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra“. Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik (8): 139–156. MR 0326550.
• Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
• Skilling, J. (1975). „The complete set of uniform polyhedra“. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. 278 (1278): 111–135. doi:10.1098/rsta.1975.0022. ISSN 0080-4614. JSTOR 74475. MR 0365333.
• Har’El, Z. Uniform Solution for Uniform Polyhedra. Archyvuota kopija 2009-07-15 iš Wayback Machine projekto., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El Archyvuota kopija 2009-07-27 iš Wayback Machine projekto., Kaleido software Archyvuota kopija 2011-05-20 iš Wayback Machine projekto., Images Archyvuota kopija 2011-05-20 iš Wayback Machine projekto., dual images Archyvuota kopija 2011-05-20 iš Wayback Machine projekto.
• Mäder, R. E. Uniform Polyhedra. Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [3]
• Messer, Peter W. Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals.^{[neveikianti nuoroda]}, Discrete & Computational Geometry 27:353-375 (2002).