Holzhauser zette zijn eerste voetbalstappen bij ATSV Teesdorf waar hij in de jeugd werd weggeplukt door profclub Rapid Wien. Op zijn 16de koos hij ervoor om de overstap naar Duitsland te maken waar hij in 2012 een driejarig contract tekende bij VfB Stuttgart. Holzhauser speelde er in eerste instantie voornamelijk bij het tweede elftal dat uitkwam in de 3. Liga. Met verloop van tijd kreeg hij echter ook steeds meer speelkansen in het eerste elftal. Stuttgart verhuurde hem gedurende het seizoen 2013-2014 aan FC Augsburg.[1]
Vervolgens keerde hij terug naar zijn thuisland waar hij voor Austria Wien ging spelen. Onder de Duitse trainer Thorsten Fink werd Holzhauser een zeer belangrijke en bepalende speler. Na drie seizoenen vertrok trainer Fink en werd hij trainer bij het Zwitserse Grasshopper Club Zürich waarna Holzhauser mee de overstap maakte. Bij Zürich liep het echter allemaal wat minder en met verloop van tijd werd trainer Fink er ontslagen. Niet veel later besloten Grasshopper Club Zürich en Holzhauser in onderling overleg uit elkaar te gaan waarna ook hij de club verliet.
In het seizoen 2019/20 tekende hij voor de Belgische tweedeklasser Beerschot Voetbalclub Antwerpen waar hij een contract voor twee jaar heeft getekend. In zijn eerste seizoen bij Beerschot werd meteen kampioen gespeeld en de promotie naar Eerste Klasse A behaald. In de eerste 5 wedstrijden van het seizoen 2020/21 wist Holzhauser meteen 5 keer te scoren en ook nog eens 3 assists uit te delen. Na die goede start in de Belgische hoogste klasse werd Holzhauser voor de eerste keer opgeroepen voor de Oostenrijkse nationale ploeg en kreeg hij meteen ook zijn eerste cap. Hij mocht starten in een oefeninterland tegen Griekenland.
In november 2020 tekende hij bij tot 2023.
Holzhauser kwam uit voor diverse Oostenrijkse jeugdelftallen. Hij debuteerde in 2009 in Oostenrijk -21. Op 29 september 2020 werd hij, door zijn sterke competitiestart bij Beerschot, voor het eerst opgeroepen voor de A-selectie van het Oostenrijk. Holzhauser debuteerde op 7 oktober 2020 door in de basis te starten in de oefeninterland tegen Griekenland, na 66 minuten werd hij gewisseld voor Michael Gregoritsch. Oostenrijk zou deze interland uiteindelijk ook winnen met 2-1.