Knippe (matematikk)

Et knippe er en funktor som tilordner en hver åpen mengde i et topologisk rom en annen matematisk struktur, f.eks. mengder, grupper eller ringer. Denne tilordningen er kontravariant funktoriell med hensyn på inklusjon av åpne mengder i det opprinnelige topologiske rommet. Et element av det tilordnede objektet kalles en seksjon, og en viktig egenskap for et knippe er at disse seksjonene kan "limes sammen". Et viktig eksempel er funktoren som til enhver åpen mengde i en mangfoldighet tilordner ringen av alle glatte, reelle funksjoner definert over den gitte åpne mengden. En seksjon er i dette tilfellet det samme som en glatt funksjon. Disse kan limes sammen, i den forstand at glatte funksjoner over to åpne mengder U og V som tar de samme verdiene på U∩V definerer en unik glatt funksjon på U∪V. De opprinnelige funksjonene får man igjen ved å restrihere til henholdsvis U og V.

Definisjon

La X være et topologisk rom og C en kategori. Et preknippe er en kontravariant funktor F fra kategorien av åpne mengder i X (under inklusjon) til C. Med andre ord:

• For hver åpen mengde U ⊆ X tilordnes et objekt F(U) i C.
• For hver inklusjon av åpne mengder U ⊆ V tilordnes en morfi res_V,U slik at res_U,U er identitetsfunksjonen på F(U), og slik at dersom U ⊆ V ⊆ W har vi at res_W,V o res_V,U = res_W,U.

Et knippe er et preknippe som i tillegg tilfredsstiller de følgende aksiomene

• Dersom {U_i} er en åpen dekning av U ⊆ X og s,t ∈ F(U) er slik at res_Ui,U (s) = res_Ui,U (t) for alle i, så har vi at s=t.
• Hvis {U_i} er en åpen dekning av U ⊆ X og s_i ∈ F(U_i) er slik at res_Ui∩Uj,Ui (s_i) = res_Ui∩Uj,Uj (s_j), så eksisterer det en s ∈ F(U) slik at s_i = res_Ui,U (s) for alle i.