Magnetisering

Magnetisering eller magnetisk polarisasjon er en størrelse i elektromagnetisk teori som uttrykker tettheten av permanente eller induserte, magnetiske dipoler i et magnetisk materiale. Disse skyldes mikroskopiske, elektriske strømmer som har sitt opphav i elektronenes bevegelse i atomene som utgjør materialet eller deres kvantemekaniske spinn. Magnetiseringen til et materiale avhenger av mange ytre forhold som temperatur og nærvær av andre, magnetiske felt og kan ofte sammenfattes ved en magnetisk susceptibilitet.

Et magnetisk moment er en vektorstørrelse som i SI-systemet måles i enheter av A⋅m². Da magnetiseringen i alminnelighet varierer fra punkt til punkt i materialet, kan den beskrives som et vektorfelt som vanligvis betegnes med M og angis i enheter av A/m. Siden den er definert som en tetthet av magnetiske dipoler, involverer den mange atomer og må derfor betraktes som en gjennomsnittlig størrelse.

Inni et magnetisert materiale som befinner seg i et magnetisk felt B, er det ofte hensiktsmessig å innføre det alternative feltet

\mathbf {H} ={1 \over \mu _{0}}\mathbf {B} -\mathbf {M}

hvor μ₀ er den magnetiske konstanten. På samme måte som magnetiseringen M er dette derfor et fenomenologisk, magnetisk felt. Utenfor materialet skiller disse to feltene seg fra hverandre kun med den magnetiske konstanten som skyldes målesystemet som her benyttes.^[1]

Magnetiske materialer

Det magnetiske B-feltet skyves ut av et diamagnetisk materiale (øverst), trekkes inn i et paramagnetisk materiale (midten) og i enda større grad i et ferromagnetisk materiale (nederst).

Alle materialer kan gjøres mer eller mindre magnetiske ved å plassere dem i et ytre, magnetisk felt H = B/μ₀. I et «lineært materiale» vil dette resultere i en magnetisering M som er proporsjonal med feltet,

\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H}

hvor χ_m er den magnetiske susceptibiliteten til materialet. Magnetiseringen forsvinner derfor når det ytre feltet blir slått av. For paramagnetiske og diamagnetiske stoffer er denne meget liten, typisk av størrelsesorden fra 10⁻⁶ til 10⁻⁴.

Permanente magneter er vanligvis laget av ferromagnetiske materialer. Som deres navn sier, vil deres magnetisering ikke forsvinne når det ytre magnetfeltet blir null. Slike materialer er ikke lineære og kan ikke tilordnes en entydig permeabilitet. De har til felles at magnetiseringen avtar med økende temperatur, og den blir null over Curie-temperaturen. Den termiske bevegelsen til de enkelte dipolene som materialet inneholder, er da så kraftig at de i gjennomsnitt midler hverandre ut.^[2]

Magnetiseringsstrømmer

Ampère var den som foreslo at magnetisme skyldes effekten av mikroskopiske strømsløyfer inni magnetiske materialer. Selv om dette bildet med utviklingen av moderne atomfysikk med årene er blitt forandret, viser det seg likevel at hans forklaring er matematisk riktig når man innfører magnetiseringen. Det gir en effektiv beskrivelse som ofte er meget nyttig.

Bundne strømmer

Man kan vende om argumentet til Ampère og vise at eksistensen av en magnetisering tilsvarer mikroskopiske strømmer i materialet. I det enkleste tilfelle kan man betrakte en sylinder med en konstant magnetisering M langs sin akse som velger å være i z-retning. Hvert lite volumelement ΔV = ΔxΔyΔz har da et magnetisk moment Δm = M ΔV som i Ampères bilde skyldes en strøm I som går i en liten sløyfe med areal ΔS = ΔxΔy slik at Δm = I ΔxΔy. Da magnetiseringen er konstant, vil strømmene i alle indre flater mellom volumelementene kansellere slik at man står igjen med en nettostrøm I = M Δz på overflaten av sylinderen i en stripe med tykkelse Δz. Det tilsvarer en elektrisk overflatestrømtetthet med størrelse K_m = M som beveger seg parallelt med xy-planet. Hvis n er en enhetsvektor rettet utover på overflaten, er denne flatestrømmen da gitt ved vektoren

\mathbf {K} _{m}=\mathbf {M} \times \mathbf {n}

På endeflatene til sylinderen er denne strømmen derfor lik med null. Rent praktisk betyr dette at en sylinderformet stavmagnet med konstant magnetisering M langs aksen gir opphav til et magnetisk B-felt som er identisk med feltet fra en elektrisk spole med samme form og som har en overflatestrøm av samme størrelse. Hvis spolen fører strømmen I og har n vindinger per lengdeenhet i z-retning, vil da M = nI.

Hvis magnetiseringen ikke er konstant, vil strømmene i møtende sidekanter til volumelementene inni materialet ikke lenger kansellere. For en slik variasjon i y-retning vil strømmen M_z(y)Δz i x-retning ikke lenger bli opphevet av strømmen i naboelementet som har magnetiseringen M_z(y + Δy). Nettoresultatet av disse to nabostrømmene blir dermed

I_{x}={\partial M_{z} \over \partial y}\Delta y\Delta z

Et tilsvarende bidrag til denne strømmen i motsatt retning vil oppstå hvis magnetiseringen M_y varierer i z-retning. Det gir den totale x-komponenten

(\mathbf {J} _{m})_{x}={\partial M_{z} \over \partial y}-{\partial M_{y} \over \partial z}

av den elektriske strømtettheten

\mathbf {J} _{m}={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M}

med sitt utspring i den romlig varierende magnetiseringen.

Disse strømmene er bundne strømmer som ikke skyldes elektriske ladninger i noen makroskopisk bevegelse, men derimot effekten av ladninger som er bundne til atomene i materialet. Men de gir opphav til magnetiske felt på samme måte som vanlige, elektriske strømmer som består av elektriske ladninger som transporteres over vilkårlig store avstander.^[3]

Matematisk utledning

Fra definisjonen av magnetisering følger at et differensielt volumelement dV av materialet har et magnetisk dipolmoment d m = MdV. Befinner det seg i posisjon r' , vil det gi opphav til et magnetisk vektorpotensial

d\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{d\mathbf {m} (\mathbf {r'} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}

i punktet r. Det totale potensialet fra hele det magnetiserte materialet kan herav finnes ved integrasjon som så gjør det mulig å beregne det resulterende B-feltet. Ved å benytte at man kan skrive

{\mathbf {r} -\mathbf {r'}  \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}={\boldsymbol {\nabla '}}{1 \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |},

er dermed vektorpotensialet gitt ved integralet

\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int dV'\;\mathbf {M} (\mathbf {r'} )\times {\boldsymbol {\nabla '}}{1 \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}

Her kan nå integranden skrives om ved å bruke identiteten

\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\nabla }}\phi =\phi {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} -{\boldsymbol {\nabla }}\times \phi \mathbf {v}

fra vektoranalysen for en vilkårlig funksjon $\phi$ og vektorfelt $\mathbf {v}$ . Ved å velge $\phi =1/|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |$ gir denne resultatet^[1]

\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int dV'\;{{\boldsymbol {\nabla '}}\times \mathbf {M} (\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int dS'\;{\mathbf {M} (\mathbf {r'} )\times \mathbf {n}  \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}

Her er det siste leddet et integral over flaten med normal n som omslutter det magnetiserte materialet. Det fremkommer ved bruk av Stokes' teorem på utvidet form som tillater omskrivningen

\int dV'\;{\boldsymbol {\nabla '}}\times {\mathbf {M} (\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}=\int dS'\;{\mathbf {n} \times \mathbf {M} (\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}

Fra uttrykket for vektorpotensialet kan man identifisere det første leddet med bidraget fra en strømtetthet J_m = ∇ × M fordelt over magnetens volum, mens det andre leddet skyldes en tilsvarende overflatestrøm K_m = M × n.

Magnetisk H-felt

Med vektorpotensialet på denne formen kan nå det magnetiske feltet finnes fra B = ∇ × A. Resultatet av denne kompliserte beregningen kan forenkles ved å ta i betraktning at dette feltet må oppfylle Ampères sirkulasjonslov ∇ × B = μ₀J_tot hvor på høyresiden opptrer alle elektriske strømmer, frie og bundne. Derfor vil generelt J_tot = J + J_m hvor magnetiseringsstrømmen opptrer sammen med den frie strømmen J. Fra

{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M}

Det er derfor naturlig å skrive det totale magnetfeltet inni materialet som

\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )

hvor det nye magnetfeltet oppfyller ∇ × H = J. Dette er Maxwells fjerde ligning i det statiske tilfellet.^[3]

I et område av rommet hvor det ikke er noen frie strømmer, er curl til H-feltet lik med null slik at det er konservativt. Det kan derfor skrives som gradienten til et skalart felt,

\mathbf {H} =-{\boldsymbol {\nabla }}\Psi

som kalles det magnetiske skalarpotensialet. Da man alltid må ha oppfylt at ∇⋅B = 0, vil ∇⋅H = - ∇⋅M. Man kan derfor betrakte

\rho _{m}=-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {M}

som en romlig tetthet av fiktive, magnetiske ladninger. De virker som en kilde for det magnetiske skalarpotensialet Ψ på samme måte som elektriske ladninger er kilden for det elektriske skalarpotensialet Φ. Likedan oppfyller det Poissons ligning

\nabla ^{2}\Psi =-\rho _{m}

med løsninger som allerede er kjente fra det tilsvarende, elektrostatiske tilfellet. Derfor spiller dette nye potensialet en viktig rolle i magnetostatikken som omhandler magnetiske felt inni og utenfor magnetiske materialer som ikke forandrer seg med tiden.^[4]

Se også

Referanser

^ ^a ^b J.R. Reitz and F.J. Milford, Foundations of Electromagnetic Theory, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1960).
^ H.D. Young and R.A. Freedman, University Physics, Addison Wesley, New York (2008). ISBN 978-0-321-50130-1.
^ ^a ^b D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.
^ J.J. Roche, B and H, the intensity vectors of magnetism: A new approach to resolving a century-old controversy Arkivert 18. august 2018 hos Wayback Machine., American Journal of Physics, 68 (5), 438 - 449 (2000).

[RM-1] J.R. Reitz and F.J. Milford, Foundations of Electromagnetic Theory, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1960).

[YF-2] H.D. Young and R.A. Freedman, University Physics, Addison Wesley, New York (2008). ISBN 978-0-321-50130-1.

[Griffiths-3] D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.

[Roche-4] J.J. Roche, B and H, the intensity vectors of magnetism: A new approach to resolving a century-old controversy Arkivert 18. august 2018 hos Wayback Machine., American Journal of Physics, 68 (5), 438 - 449 (2000).

[1]

[2]

[3]

[4]