Polyedertall

Et oktaeder bygd opp av det sjette oktaedertallet 146 magnetiske kuler.

Polyedertall er i aritmetikken figurtall basert på forskjellige polyeder i tre dimensjoner. Kanskje de mest kjente følgene av slike positive heltall er kubikktallene og pyramidetallene.

Vanligligvis er polyedertall knyttet til de regulære polyederne. I det tredimensjonale rommet finnes det fem forskjellige slike geometriske figurer som er de platonske legemene tetraeder, kube, oktaeder, dodekaeder og ikosaeder. På samme måte som man kan konstruere sentrerte polygontall i to dimensjoner, kan man fra disse romlegemene lage fem følger med sentrerte polyedertall i tre dimensjoner.

Mens tetraederet, kuben og oktaederet kan utvides til regulære polytoper i rom med høyere dimensjoner, eksisterer romlegemer som dodekaederet og ikosaederet bare i det tredimensjonale rommet.

Noen eksempel

Et tetraeder er en pyramide med en trekantet grunnflate. Den kan bygges opp av kuler eller baller i forskjellige lag opp til toppen hvor en kule ligger. Hvert lag er en likesidet trekant. Numereres disse fra toppen av pyramiden, inneholder det k-te laget et antall kuler gitt ved trekanttallet Δ_k  hvor Δ₁ = 1 og

$\Delta _{k}={1 \over 2}k(k+1)$

Et slikt tetraeder med n lag inneholder derfor et totalt antall kuler bestemt ved summen

$T_{n}=\sum _{k=1}^{n}\Delta _{k}={1 \over 6}n(n+1)(n+2)$

som definerer tetraedertallene. De første er

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, ...

På tilsvarende måte defineres det n-te kubikktallet C_n som antall kuler i en kube bestående av n  lag hvor hvert lag inneholder n²  slike kuler. Det totale antallet er dermed C_n = n⋅n² = n³. De første kubikktallene blir dermed

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, ...

Oktaedertall

Av formen til et oktaeder ser man at det kan deles i to pyramider med kvadratiske grunnflater. Hvis oktaederet har n kuler i en sidekant, vil den ene pyramiden ha like mange kuler i sidekanten til sin grunnflate, mens den andre pyramiden vil ha en mindre. Derfor kan det n-te oktaedertallet uttrykkes ved de tilsvarende, kvadratiske pyramidetallene som

$O_{n}=M_{4}(n)+M_{4}(n-1)={1 \over 3}n(2n^{2}+1)$

ved å bruke at

$M_{4}(n)={1 \over 6}n(n+1)(2n+1)$

For de første oktaedertallene har man dermed

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, 1469, 1834, 2255, 2736, 3281, ...

Sentrerte polyedertall

35 kuler kan plasseres i to lag rundt en sentral kule i et kubisk krystallgitter og utgjør det tredje, sentrerte kubikktallet.

På samme måte som at vanlige polygontall kan utvides til å inkludere sentrerte polygontall, kan man også for polyedertallene definere en egen klasse av sentrerte polyedertall. Hver av dem kan tenkes å fremkomme ved å starte med en sentral kule og så omgi denne med et konsentrisk skall av kuler med form av polyederet man vil konstruere. Denne prosessen kan så fortsettes ved at i hvert trinn økes sidelengden i polyederet med en kule.

Denne konstruksjonen lar seg lett formulere rekursivt og kan lett illustreres for en kube. Den har 6 kvadratiske sideflater, 12 sidekanter og 8 hjørner. Når man går fra den (n -1)-te, sentrerte kuben til den neste ved å omslutte den med et nytt, kubisk skall, vil det kreve 8 nye kuler for hjørnene. I tillegg vil det behøves 12⋅(n - 2) kuler for de nye sidekantene og 6⋅K_{n - 2}  for sideflatene hvor K_n = n²  er det n-te kvadrattallet. Det betyr i alt

$8+12\cdot (n-2)+6\cdot (n-2)^{2}=6n^{2}-12n+8$

nye kuler. Kaller man det n-te, senterete kubikktallet for CC_n, har man dermed rekursjonsrelasjonen

$CC_{n}=CC_{n-1}+6n^{2}-12n+8$

med CC₁ = 1. Denne relasjonen har som konsekvens at

$CC_{n}=(2n-1)(n^{2}-n+1)=2n^{3}-3n^{2}+3n-1$

som kan vises ved induksjon. De første, numeriske verdiene som følger fra denne formelen, er

1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, 3059, 3925, 4941, 6119, 7471, 9009, ...

Da man kan skrive det sentrerte kubikktallet som

$CC_{n}=n^{3}+(n-1)^{3}$,

kan man tenke seg at det fremkommer ved å plassere en kule i hver åpning mellom alle de andre kulene i en vanlig, kubisk plassering. Da C_n = n³  er de vanlige kubikktallene, har man derfor sammenhengen CC_n = C_n + C_{n - 1}  for de sentrerte kubikktallene.

Sentrert oktaeder

Et oktaeder kan bygges opp av 129 tett plassert kubiske klosser med en i midten i overensstemmelse med at 129 er det femte, sentrerte oktaedertallet.

Et oktaeder har 6 hjørner, 12 sidekanter og 8 sideflater som er likesidete trekanter. For det n-te, sentrerte oktaederet vil hver slik trekant ha Δ_{n - 3}  indre kuler i tillegg til kulene i hjørnene og langs de tre sidekantene. Her er Δ_n = n(n + 1)/2  det n-te trekanttallet. På samme måte som for den sentrerte kuben, vil man derfor nå ha sammenhengen

${\begin{aligned}CO_{n}&=CO_{n-1}+6+12\cdot (n-2)+8\cdot {1 \over 2}(n-3)(n-2)\\&=CO_{n-1}+4n^{2}-8n+6\end{aligned}}$

for de sentrerte oktaedertallene. Løsningen av denne rekursjonsrelasjonen gir formelen

$CO_{n}={1 \over 3}(2n-1)(2n^{2}-2n+3)={1 \over 3}(4n^{3}-6n^{2}+8n-3)$

som igjen kan vises ved induksjon. Ved å sette inn her n = 1, 2, 3, .... finnes de første, sentrerte oktaedertallene å være

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, 3303, 4089, 4991, 6017, ...

Numerisk ser man fra formelen at disse nye polyedertallene kan uttrykkes ved de vanlige oktaedertallene som CO_n = O_n + O_{n - 1}  helt analogt med de sentrerte kubikktallene. Geometrisk kan dette tolkes som at man kan forandre et vanlig oktaeder med kuler til et sentrert oktaeder ved å plassere ekstra kuler i hulrommene mellom de opprinnelige kulene.

Litteratur

• A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk III for realgymnaset, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
• A. Holme, Matematikkens Historie 1, Fagbokforlaget, Bergen (2001). ISBN 82-7674-678-0.
• E. Deza and M.M. Deza (2012), Figurate Numbers, World Scientific, Singapore (2012). ISBN 978-981-4355-48-3; Figurate numbers: Presentation of a Book.

Eksterne lenker

• Jutta Gerhard, Figurierte Zahlen - die Arithmetik der Spielsteinchen, gode websider om polygonaltall og polyedertall.
• OEIS, Centered Platonic numbers, med vanlige definisjoner.