Aksjomat wyboru

Dla każdej rodziny niepustych zbiorów (słoików) istnieje funkcja przypisująca elementom z tych zbiorów po jednym elemencie w pewnym zbiorze (słoiku)

(S_i) jest rodziną zbiorów indeksowaną za pomocą liczb rzeczywistych R, tzn. dla każdej liczby rzeczywistej i istnieje jakiś zbiór S_i; kilka takich zbiorów pokazano powyżej. Każdy taki zbiór posiada co najmniej jeden element, choć może ich mieć dowolnie wiele. Aksjomat wyboru pozwala dowolnie wybrać po jednym elemencie z każdego zbioru, aby utworzyć rodzinę elementów (x_i) indeksowanych liczbami rzeczywistymi, gdzie x_i wybrano z S_i. W ogólności rodzina może być indeksowana liczbami należącymi do dowolnego zbioru I, niekoniecznie do R.

Aksjomat wyboru, pewnik wyboru, AC (od ang. axiom of choice) – aksjomat teorii mnogości gwarantujący istnienie zbioru zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do danej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych^[1]. Postulowany zbiór jest nazywany selektorem^{[potrzebny przypis]}.

Aksjomat AC jest niezależny od powszechnie przyjmowanych aksjomatów Zermela-Fraenkla (ZF). Teorie mnogości oparte na aksjomatach ZF oraz aksjomat AC oznacza się zwykle skrótem ZFC. Można również rozważać teorie mnogości oparte na ZF, w których przyjęto negację AC.

Większość matematyków uznaje i stosuje AC, jednak w dowodach twierdzeń zazwyczaj wyraźnie zaznacza się, gdy zakłada się AC. Dowody te nazywa się nieefektywnymi; zwykle są one także niekonstruktywne, gdy mówią jedynie o istnieniu danego obiektu, jednak nie wskazują go (nie podają konstrukcji; por. intuicjonizm).

W przypadku rodzin zbiorów skończonych aksjomat wyboru jest trywialny (tzn. wynika z innych aksjomatów). W przypadku rodzin zbiorów nieskończonych aksjomat AC również wydaje się intuicyjny, jednak jego konsekwencje bywają zaskakujące. Na przykład Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli (kulę z trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej można rozłożyć na sześć części, a następnie z tych części można złożyć, korzystając wyłącznie z obrotów i przesunięć, dwie kule identyczne jak kula wyjściowa).

Definicja formalna

Aksjomat wyboru podawany jest zwykle w następującej postaci:

Dla każdej rodziny

{\mathcal {S}}

niepustych zbiorów parami rozłącznych istnieje zbiór

V

(tzw. selektor), do którego należy dokładnie po jednym elemencie z każdego ze zbiorów należących do rodziny

{\mathcal {S}}

\forall _{\mathcal {S}}{\Big \{}{\big [}\forall _{X\in \,{\mathcal {S}}}X\neq \varnothing {\big ]}\!\land \!{\big [}\forall _{X,Y\in \,{\mathcal {S}}}\,(X\neq Y\Rightarrow X\cap Y=\varnothing ){\big ]}

\Rightarrow \exists _{V}\forall _{X\in \,{\mathcal {S}}}\,\exists _{x}{\big (}X\cap V=\{x\}{\big )}{\Big \}}

Czasami alternatywnie używa się równoważnej postaci aksjomatu wyboru:^[2]

Dla każdej rodziny

{\mathcal {S}}

zbiorów niepustych istnieje jej funkcja wyboru, to znaczy funkcja

f:{\mathcal {S}}\to \bigcup {\mathcal {S}}

spełniająca dla każdego

A\in {\mathcal {S}}

warunek

f(A)\in A

\forall _{\mathcal {S}}\left[\varnothing \notin {\mathcal {S}}\Rightarrow \exists _{f:{\mathcal {S}}\to \bigcup {\mathcal {S}}}\ \forall _{A\in {\mathcal {S}}}f(A)\in A\right]

Twierdzenia równoważne

Wśród ważnych twierdzeń równoważnych aksjomatowi wyboru można wymienić następujące wyniki teorii mnogości:

twierdzenie Tarskiego: Iloczyn kartezjański dowolnej rodziny zbiorów niepustych jest niepusty.
Elementami iloczynu kartezjańskiego rodziny niepustych zbiorów ${\mathcal {S}}=\{S_{i}\colon i\in I\}$ są wszystkie funkcje $f\colon I\to \bigcup S_{i}$ spełniające warunek $f(i)\in S_{i}$ dla każdego $i\in I,$ gdzie $I$ jest ustalonym zbiorem indeksów. Teza twierdzenia Tarskiego brzmi: istnieje chociaż jedna taka funkcja $f.$
twierdzenie Hessenberga: Każdy zbiór nieskończony jest równoliczny ze swoim kwadratem kartezjańskim, tj. $|A|=|A\times A|.$
prawo trychotomii: Dla dowolnych zbiorów $A,B$ zachodzi $|A|=|B|$ albo $|A|>|B|,$ albo $|A|<|B|.$
twierdzenie Königa: Jeśli dla dowolnych liczb kardynalnych ${\mathfrak {m}}_{i},{\mathfrak {n}}_{i}$ spełniona jest nierówność ${\mathfrak {m}}_{i}<{\mathfrak {n}}_{i},$ to $\sum {\mathfrak {m}}_{i}<\prod {\mathfrak {n}}_{i},$ gdzie $i$ przebiega zbiór indeksów $I.$
lemat Teichmüllera-Tukeya: Niech $W$ będzie własnością skończonego typu, mogącą przysługiwać podzbiorom pewnego zbioru $A;$ każdy podzbiór tego zbioru mający wspomnianą własność jest zawarty w maksymalnym (ze względu na zawieranie) podzbiorze $A$ mającym własność $W.$
twierdzenie Zermela: każdy zbiór można dobrze uporządkować.
lemat Kuratowskiego-Zorna: w dowolnym niepustym zbiorze częściowo uporządkowanym, w którym każdy podzbiór liniowo uporządkowany ma ograniczenie górne, istnieje (co najmniej jeden) element maksymalny;
twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym: każdy niepusty zbiór częściowo uporządkowany zawiera maksymalny (w sensie zawierania) podzbiór liniowo uporządkowany.

Twierdzenia słabsze

Czasami matematycy asekurując się przed paradoksalnymi następstwami zakładania aksjomatu wyboru ograniczają się do jego słabszych, nierównoważnych wersji. W wielu zastosowaniach są one wystarczające i, nierzadko, wygodniejsze. Część z nich jest podobna do samego aksjomatu wyboru: niektóre ograniczają tylko rozważane rodziny niepustych zbiorów, np. do skończonych (ACF), inne zakładają z kolei, że funkcja wyboru wybiera podzbiór każdego danego niepustego zbioru zamiast elementu.

Zasada wyboru (SP od ang. selection principle)
Dla każdego zbioru $X$ istnieje funkcja przyporządkowująca każdemu, co najmniej dwuelementowemu podzbiorowi zbioru $X$ pewien niepusty, właściwy podzbiór zbioru $X.$

Aksjomat wyboru dla zbiorów dających się dobrze uporządkować (ACWO, od ang. axiom of choice for well orderable sets)
Dla każdego zbioru $X$ istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element $x\in X$ każdemu niepustemu podzbiorowi zbioru $X$ dającemu się dobrze uporządkować.

Aksjomat wyboru dla zbiorów skończonych (ACF, od ang. axiom of choice for finite sets)
Dla każdego zbioru $X$ istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element $x\in X$ każdemu niepustemu, skończonemu podzbiorowi zbioru $X.$

Aksjomat wyboru dla zbiorów n-elementowych (C_n, od ang. axiom of choice for finite sets of n elements)
Dla każdego zbioru $X$ istnieje funkcja wybierająca po jednym elemencie z każdego $n$ -elementowego podzbioru zbioru $X.$

Przeliczalny aksjomat wyboru (CAC, od ang. countable axiom of choice, albo AC_ω)
Dla każdej przeliczalnej rodziny zbiorów istnieje funkcja wyboru.

Inne wersje wynikają z aksjomatu wyboru, ale mają całkowicie od niego odmienną postać:

aksjomat liniowego uporządkowania (OP, od ang. ordering principle)
Każdy zbiór da się uporządkować liniowo.

Aksjomat podziału^[a] (PP, od ang. partition principle)
Każdy zbiór nieskończony da się podzielić na dwa nieskończone, rozłączne zbiory.

Zasada wyborów zależnych^[b] (PDC, od ang. principle of dependent choices, albo DC)
Jeśli $R\subseteq X\times X$ jest taką relacją na niepustym zbiorze $X,$ że dla dowolnego $x$ istnieje $y$ spełniający $xRy,$ to istnieje ciąg $(x_{n})\subseteq X,$ dla którego $x_{i}Rx_{i+1}$ dla $i\in \mathbb {N} .$

Twierdzenie o ideale pierwszym^[c] (BPI, od ang. Boolean prime ideal theorem)
Na każdej algebrze Boole’a istnieje ultrafiltr.

Prawdziwe są następujące ciągi implikacji:

AC ⇒ PDC ⇒ CAC

AC ⇒ SP ⇒ OP ⇒ ACF ⇒ ∀n C_n ⇒ C_m ⇒ PP

AC ⇒ BPI ⇒ OP

AC ⇒ ACWO ⇒ ACF

Przykłady zastosowań aksjomatu

Aksjomat wyboru (często w postaci lematu Kuratowskiego-Zorna) pojawia się w dowodach różnych wyników spoza teorii mnogości, choć często potrzebna jest jedynie jego słabsza wersja, na przykład:

analiza matematyczna – równoważność definicji ciągłości funkcji według Cauchy’ego i Heinego^[d]
teoria pierścieni – twierdzenie Krulla: każdy pierścień z jedynką ma ideał maksymalny (każdy ideał zawarty jest w pewnym ideale maksymalnym)
algebra liniowa – twierdzenie Hamela: każda przestrzeń liniowa ma bazę (Hamela)
algebra uniwersalna – twierdzenie Steiniza: każde ciało ma domknięcie algebraiczne^[e]
analiza funkcjonalna – twierdzenie Hahna-Banacha^[f] oraz twierdzenie Krejna-Milmana^[g]
topologia – twierdzenie Tichonowa: produkt przestrzeni zwartych jest zwarty^[h].

Zobacz też

aksjomat determinacji

Uwagi

↑ Aksjomat ten jest bardzo słaby: na przykład nie można przy jego założeniu udowodnić, że każdy nieskończony zbiór da się podzielić na nieskończenie wiele nieskończonych rozłącznych zbiorów.
↑ Już podstawowe twierdzenia w analizie i teorii miary potrzebują założenia PDC albo przynajmniej CC (np. aby udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów miary zero). Istnienie zbiorów niemierzalnych nie wynika z aksjomatów ZF + PDC, czyli układ ZF + PDC + „każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest mierzalny” jest niesprzeczny.
↑ Ten aksjomat wystarczy, aby udowodnić np. twierdzenie o zwartości, twierdzenie Hahna-Banacha, istnienie zbiorów niemierzalnych, czy twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni Hausdorffa.
↑ Do udowodnienia wystarcza przeliczalny aksjomat wyboru CAC.
↑ Do udowodnienia wystarcza jedna ze słabszych wersji aksjomatu wyboru.
↑ Wymaga jedynie BPI.
↑ Do dowodu wystarcza słabsza wersja aksjomatu wyboru; wraz z BPI twierdzenie pociąga AC.
↑ Produktowane przestrzenie nie muszą być Hausdorffa; jeśli są, to do dowodu wystarczy wtedy BPI.

Przypisy

↑ aksjomat wyboru, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-09] .
↑ AleksanderA. Błaszczyk AleksanderA., SławomirS. Turek SławomirS., Teoria mnogości, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007, s. 14, ISBN 978-83-01-15232-1 [dostęp 2024-08-14] .

Bibliografia

Omar De La Cruz, Carlos Augusto Di Prisco: Weak Forms of the Axiom of Choice and Partitions of Infinite Sets. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998. DOI: 10.1007/978-94-015-8988-8_4.
Thomas Jech: The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973.

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

Roman Duda, Kłopotliwy aksjomat wyboru, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński, kanał „Copernicus” na YouTube, 3 sierpnia 2016 [dostęp 2021-05-23].
MariuszM. Skałba MariuszM., Pierwszy stopień do raju, „Delta”, sierpień 2022, ISSN 0137-3005 [dostęp 2023-12-10] .

Anglojęzyczne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Axiom of Choice, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].
John L.J.L. Bell John L.J.L., Axiom of Choice, Edward N.E.N. Zalta, Stanford Encyclopedia of Philosophy, 18 marca 2015 [dostęp 2017-12-30] [zarchiwizowane z adresu 2017-12-21] (ang.).
Axiom of choice (ang.), Routledge Encyclopedia of Philosophy, rep.routledge.com [dostęp 2023-05-08].
How the Axiom of Choice Gives Sizeless Sets, kanał PBS Infinite Series na YouTube, 14 września 2017 [dostęp 2024-08-23].

[3] Aksjomat ten jest bardzo słaby: na przykład nie można przy jego założeniu udowodnić, że każdy nieskończony zbiór da się podzielić na nieskończenie wiele nieskończonych rozłącznych zbiorów.

[4] Już podstawowe twierdzenia w analizie i teorii miary potrzebują założenia PDC albo przynajmniej CC (np. aby udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów miary zero). Istnienie zbiorów niemierzalnych nie wynika z aksjomatów ZF + PDC, czyli układ ZF + PDC + „każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest mierzalny” jest niesprzeczny.

[5] Ten aksjomat wystarczy, aby udowodnić np. twierdzenie o zwartości, twierdzenie Hahna-Banacha, istnienie zbiorów niemierzalnych, czy twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni Hausdorffa.

[6] Do udowodnienia wystarcza przeliczalny aksjomat wyboru CAC.

[7] Do udowodnienia wystarcza jedna ze słabszych wersji aksjomatu wyboru.

[8] Wymaga jedynie BPI.

[9] Do dowodu wystarcza słabsza wersja aksjomatu wyboru; wraz z BPI twierdzenie pociąga AC.

[10] Produktowane przestrzenie nie muszą być Hausdorffa; jeśli są, to do dowodu wystarczy wtedy BPI.

[epwn-1] aksjomat wyboru, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-09] .

[2] AleksanderA. Błaszczyk AleksanderA., SławomirS. Turek SławomirS., Teoria mnogości, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2007, s. 14, ISBN 978-83-01-15232-1 [dostęp 2024-08-14] .

[1]

[2]

[a]

[b]

[c]

[d]

[e]

[f]

[g]

[h]