Funkcja wykładnicza

Wykres przykładowej funkcji wykładniczej $y=a^{x},$ gdzie $0<a<1,$ w kartezjańskim układzie współrzędnych

Funkcja wykładnicza, funkcja eksponencjalna – dwojako definiowany typ funkcji matematycznej:

• w sensie szerokim jest to dowolna funkcja postaci $f(x)=a^{x},$ gdzie $a>0$. Liczba $a$ – podstawa tej potęgi – jest nazywana podstawą funkcji wykładniczej;
• w sensie wąskim jest to funkcja opisana powyższy wzorem przy dodatkowym warunku $a\neq 1$ – wyklucza się przypadek $a=1,$ kiedy ten wzór daje funkcję stałą.

Dziedziną takich funkcji może być cała oś rzeczywista $(f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} )$ lub płaszczyzna zespolona $(f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ).$ W pierwszym wypadku:

• zbiorem wartości jest półoś wszystkich liczb dodatnich $(\mathbb {R} _{+})$ – funkcja ta jest ograniczona z dołu, ale nie z góry;
• funkcje te są monotoniczne w całej dziedzinie: dla $a>1$ są rosnące, a dla $0<a<1$ – malejące;
• w związku z powyższymi faktami:
  • granicą takich funkcji w jednej z nieskończoności jest zero; oś pozioma jest dla nich asymptotą jednostronną – lewostronną dla funkcji rosnących i prawostronną dla malejących;
  • granica w drugiej nieskończoności jest niewłaściwa;
• funkcje te są ciągłe, a do tego gładkie i analityczne; ich rozwinięcie w szereg podano w dalszej sekcji;
• wykresy takich funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych są znane jako krzywe wykładnicze.

Funkcjami wykładniczymi definiuje się inne, np. logarytmy, funkcje hiperboliczne i pośrednio polowe (area), a wzór Eulera opisuje związek funkcji wykładniczych z trygonometrycznymi. Te wszystkie rodziny funkcji są zaliczane do elementarnych. Z funkcji wykładniczych korzystają różne działy matematyki, nauk empirycznych i technicznych.

Własności

Algebraiczne

• $a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y},$
• $a^{x-y}={\frac {a^{x}}{a^{y}}}.$

Analityczne

• Funkcja wykładnicza o podstawie $a>1$ jest (przy argumencie dążącym do $+\infty$) asymptotycznie większa niż funkcja wielomianowa, mniejsza zaś niż silnia.

• Pochodna funkcji wykładniczej to:

${\begin{aligned}(a^{x})'&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}}=\\&=\lim _{\Delta x\to 0}a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=\\&=a^{x}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=\\&=a^{x}\ln a;\end{aligned}}$

dowód jest w artykule: logarytm naturalny.

W szczególności dla $a=e$ zachodzi:

$(e^{x})'=e^{x}.$

Eksponens

Wykres funkcji $y=e^{x}=\exp x,$ zwanej eksponensem, w kartezjańskim układzie współrzędnych; liczba $e$ to podstawa logarytmu naturalnego.

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest ta o podstawie równej $e$ – podstawie logarytmu naturalnego. Innym oznaczeniem takiej funkcji jest $\exp(x)$ nazywane krótko eksponensem.

Cechą funkcji $f(x)=e^{x}$ jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego

${\dot {x}}=x$

przy warunku początkowym

$x(0)=1$

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

$\exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n}.$

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$

Dziedzina zespolona

Wykres $e^{z}$ na płaszczyźnie zespolonej uzyskany techniką kolorowania dziedziny

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

$e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Jest to funkcja okresowa z okresem $2\pi i$ i można ją zapisać jako:

$e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b),$

gdzie $a$ i $b$ to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

• $e^{z+w}=e^{z}e^{w},$
• $e^{0}=1,$
• $e^{z}\neq 0,$
• ${\frac {d}{dz}}e^{z}=e^{z},$
• $(e^{z})^{n}=e^{nz},\ n\in \mathbb {Z}$

dla wszystkich $z$ i $w.$

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przykłady i zastosowania

Matematyka

• Notacja wykładnicza do zapisywania dużych liczb. Nazwy dużych liczb (większych niż miliard) są niewygodne w użyciu i różnią się między krajami, prowadząc do potencjalnych nieporozumień.
• Funkcja wykładnicza razem z odpowiednim logarytmem pozwala sprowadzać mnożenie i dzielenie do dodawania i odejmowania. To miało znaczenie w czasach tablic i suwaków logarytmicznych, używanych przed rozpowszechnieniem się kalkulatorów.
• Ciąg geometryczny oraz suma szeregu geometrycznego, por. procent składany.
• Ciąg Fibonacciego jest opisany wzorem Bineta zawierającym funkcję wykładniczą. Podobnie jest z każdym ciągiem rekurencyjnym.
• Kombinatoryka: liczba wariacji z powtórzeniami jest wykładniczą funkcją długości ciągu. Przykładowo liczba możliwych haseł jest wykładniczą funkcją jego długości.
• Rozkład normalny jest opisany przez złożenie funkcji wykładniczej z kwadratową.
• Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Poissona zawiera funkcję wykładniczą.
• Funkcje hiperboliczne są zdefiniowane przez funkcję wykładniczą.
• Algorytmika: niektóre problemy mają złożoność wykładniczą.

Fizyka

• Zależność prędkości od czasu w ruchu z oporem ośrodka jest opisana funkcją wykładniczą: zarówno przy liniowej zależności siły oporu od prędkości (prawo Stokesa), jak i przy zależności kwadratowej.
• Ładowanie i rozładowywanie kondensatora jest opisane wykładniczą funkcją czasu. Analogicznie jest z napięciem i natężeniem prądu w obwodzie prądu stałego z cewką.
• Tłumienie silne oraz krytyczne drgań sprawia, że zmiany są opisane funkcją wykładniczą.
• Rozkład Maxwella w fizyce statystycznej.
• Funkcja wykładnicza pojawia się w rozkładzie Plancka opisującym promieniowanie cieplne ciał.
• Odkryty przez Rutherforda czas połowicznego rozpadu pozwala modelować radioaktywność przez funkcję wykładniczą.

Inne nauki

• Liczebność populacji w idealnych warunkach rośnie wykładniczo.
• Prawo Moore’a w elektronice i informatyce.

Zobacz też

• eksponenta macierzy
• homomorfizm

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.
• Wojciech Żakowski: funkcja wykładnicza, [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Funkcja wykładnicza – wykładniczy wzrost i zanik, kanał Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-04-11].

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Exponential Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-11].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Natural Exponential Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-11].
• Exponential function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].