Okrąg

Okrąg

Okrąg – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od danego punktu o daną odległość. Ten ustalony punkt nazywa się środkiem, a zadaną odległość – promieniem. Zwykle przyjmuje się dodatkowo że promień musi być dodatni

Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy o równych półosiach, jest to także 1-wymiarowa hipersfera.

Okrąg jest brzegiem pewnego koła.

Okrąg w układzie współrzędnych

Niech $O(x_{0},\ y_{0})$ będzie ustalonym punktem, zaś $r$ ustaloną liczbą dodatnią. Okręgiem jest zbiór punktów $(x,\ y)$ płaszczyzny euklidesowej spełniających równanie

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}.$

Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych.

W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego

${\begin{cases}x=x_{0}+r\cos \alpha \\y=y_{0}+r\sin \alpha \end{cases}},$

gdzie parametr $\alpha \in [0,\ 2\pi ).$

W układzie współrzędnych biegunowych, równanie okręgu o promieniu $r$ i środku znajdującym się w biegunie układu współrzędnych, przyjmuje postać $r(\varphi )=r=const$ dla dowolnego kąta $\varphi \in [0,2\pi ).$

Powiązane pojęcia

Okrąg z zaznaczonymi: styczną, cięciwą, średnicą i promieniem

Punkt $O$ nazywany jest środkiem okręgu, zaś każdy z odcinków o początku $O$ i końcu w jednym z punktów okręgu nazywany jest promieniem, również długość $r$ nazywana jest tym terminem.

Sieczna jest to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne. Prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywa się styczną do okręgu.

Cięciwą nazywa się odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.

Średnica okręgu jest to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Podobnie jak w przypadku promienia, tym pojęciem określa się też długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez $d.$ Zachodzi równość $d=2r.$

Stosunek długości okręgu do jego średnicy jest stałą matematyczną oznaczaną literą $\pi .$

Stąd długość okręgu wyraża się wzorem:

$L=2\pi r.$

Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (sam okrąg ma puste wnętrze, a więc i zerową powierzchnię) wyraża się wzorem:

$S=\pi r^{2}.$

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Rozpatrywane są dwa okręgi o środkach $O_{1}$ i $O_{2}$ oraz promieniach odpowiednio $r_{1}$ i $r_{2}.$ Przez $d(O_{1},O_{2})$ rozumieć należy odległość między środkami okręgów.

Na płaszczyźnie

Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:

• identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty: $O_{1}=O_{2}\land r_{1}=r_{2},$
• współśrodkowe – mają ten sam środek: $O_{1}=O_{2},$
• styczne wewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: $d(O_{1},O_{2})=|r_{1}-r_{2}|,$
• styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: $d(O_{1},O_{2})=r_{1}+r_{2},$
• rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: $d(O_{1},O_{2})<|r_{1}-r_{2}|,$ albo leżą na zewnątrz swoich kół: $d(O_{1},O_{2})>r_{1}+r_{2},$
• przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne: $|r_{1}-r_{2}|<d(O_{1},O_{2})<r_{1}+r_{2}.$

W przestrzeni trójwymiarowej

Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:

• współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie,
• identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie,
• styczne – mają dokładnie jeden punkt wspólny,
• rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu,
• rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

Uogólnienie na przestrzenie metryczne

Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. Tak więc, w dowolnej przestrzeni metrycznej $(X,\varrho )$ okrąg ze środkiem $x_{0}$ i promieniem $r$ to zbiór punktów

$\{x\colon \varrho (x_{0},x)=r\}.$

W tym rozumieniu często zamiast słowa „okrąg” stosuje się słowo „sfera”.

Okręgiem w tym rozumieniu na płaszczyźnie z metryką euklidesową jest zwykły okrąg, istnieją jednak metryki na płaszczyźnie, w których okręgami są inne zbiory euklidesowe, np. kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach albo obrócony o 45°). Na prostej z metryką euklidesową okręgiem jest zbiór dwóch punktów równo oddalonych od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest dwuwymiarowa sfera.

Okręgi jednostkowe w metrykach $L_{1}$ (miasto), $L_{2}$ (euklidesowej) oraz L_∞ (maksimum)

Zobacz też

• Konstrukcje klasyczne
• Lista krzywych
• Sfera

Linki zewnętrzne

• ŁukaszŁ. Rajkowski ŁukaszŁ., Pęk wiadomości o pękach okręgów, „Delta”, grudzień 2024, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-12-05] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Circle, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].