Kowariancja

Kowariancja, $\operatorname {cov} (X,Y)$ – liczba określająca odchylenie elementów od sytuacji idealnej, w której występuje zależność liniowa. Zależność tę określa się między zmiennymi losowymi $X$ i $Y.$

Definicja

Matematycznie kowariancję definiuje się wzorem:

$\operatorname {cov} (X,Y)=\mathrm {E} {\big [}(X-\mathrm {E} X)\cdot (Y-\mathrm {E} Y){\big ]}.$

Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest:

$\operatorname {cov} (X,Y)=\mathrm {E} (X\cdot Y)-\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y,$

gdzie:

$\mathrm {E}$ – wartość oczekiwana.

Interpretacja

Jeżeli między zmiennymi losowymi $X$ i $Y$ nie istnieje żadna zauważalna korelacja liniowa i istnieją ich wartości oczekiwane, to kowariancja przyjmuje wartość 0 (nie musi to być prawda dla kowariancji w próbie losowej z tych zmiennych).

Innymi słowy: zmienne losowe $X$ i $Y$ są niezależne, a więc

$\mathrm {E} (X\cdot Y)=\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y,$

zatem:

$\operatorname {cov} (X,Y)=\mathrm {E} (X\cdot Y)-\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y=\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y-\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y=0.$

Wartości kowariancji zbliżone, czy nawet równe zero nie świadczą jednak o całkowitej niezależności zmiennych losowych. Zawsze istnieje bowiem możliwość, że są one zależne nieliniowo.

Na przykład jeśli zmienna losowa Z ma rozkład jednostajny na przedziale $[0,2\pi ],$ a zmienne losowe byłyby zdefiniowane jako:

$X=\sin Z,$

$Y=\cos Z,$

to pomimo ich oczywistej zależności (jedynka trygonometryczna) mamy $\operatorname {cov} (X,Y)=0.$

Związek ze współczynnikiem korelacji liniowej

Kowariancja jest powiązana ze współczynnikiem korelacji Pearsona:

$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {corr} (X,Y)\sigma _{X}\sigma _{Y},$

gdzie:

$\operatorname {corr} (X,Y)$ – współczynnik korelacji liniowej pomiędzy zmiennymi $X$ i $Y,$

$\sigma _{X}$ – odchylenie standardowe zmiennej $X,$

$\sigma _{Y}$ – odchylenie standardowe zmiennej $Y.$

Zobacz też

• korelacja
• kowariancja i kontrawariancja
• macierz kowariancji
• wariancja