Podgrupa

Podgrupa – zbiór elementów danej grupy, który sam tworzy grupę z działaniem grupy wyjściowej; inaczej podzbiór grupy zamknięty na działanie grupowe i branie odwrotności, który zawiera jej element neutralny (zob. działanie wewnętrzne).

Podgrupy to te z podzbiorów grup, które odzwierciedlają i zachowują ich strukturę algebraiczną; badanie podgrup danej grupy (nazywanej czasem w tym kontekście nadgrupą) dostarcza o niej wielu istotnych informacji, umożliwiając głębsze zrozumienie jej budowy. Niekiedy podgrupy wkomponowane są w grupę w szczególny sposób: są niezmiennikami przekształceń algebraicznych (podgrupa normalna, podgrupa charakterystyczna), umożliwiają jednoznaczne przedstawienie elementu grupy jako sumy/iloczynu elementów ich „rozłącznych” podgrup (składnik/czynnik prosty, zob. suma prosta/iloczyn prosty podgrup); w teorii grup przemiennych rozpatruje się podgrupy czyste oraz podgrupy istotne o nieco słabszych, lecz nadal przydatnych, własnościach (przy potencjalnie większej ich liczbie, co ułatwia wskazanie podgrup o lepszych własnościach).

Charakteryzacje

Niech $G$ będzie grupą; podzbiór $H\subseteq G,$ który tworzy grupę ze względu na działanie określone na $G,$ nazywa się podgrupą grupy $G$ i oznacza zwykle $H\leqslant G$. Podgrupę $H$ jako grupę charakteryzują następujące warunki:

• Wewnętrzność: działanie grupowe na $H$ jest zawężeniem działania grupy $G$ do zbioru $H;$ dlatego iloczyn elementów $a,b\in H$ obliczany jest jako iloczyn elementów $a$ oraz $b$ w grupie $G;$ aby uzyskać dwuargumentowe działanie wewnętrzne na $H$ dane wzorem $(a,b)\mapsto ab$ tak jak w grupie $G$ potrzeba, a zarazem wystarcza, by $ab\in H$ dla wszystkich $a,b\in H.$ Innymi słowy zbiór $H$ musi być zamknięty ze względu na działanie w $G.$
• Łączność: działanie w $H$ musi być łączne, czyli dla wszystkich $a,b,c\in H$ musi zachodzić $(ab)c=a(bc);$ wiadomo jednak, że $(ab)c=a(bc)$ dla $a,b,c\in G,$ a ponieważ $H\subseteq G,$ to powyższy warunek odnosi się w szczególności do elementów $a,b,c\in H;$ w ten sposób łączność działania w $H$ dana jest z góry (tzn. wynika wprost z łączności działania w $G$).
• Element neutralny: zbiór $H$ nie może być pusty, gdyż jako grupa $H$ musi mieć element neutralny; niech $e\in H$ spełnia $ae=a$ dla dowolnego $a\in H;$ w szczególności dla elementu neutralnego $e$ grupy $H$ zachodzi $ee=e,$ a ponieważ $e\in H\subseteq G,$ to z charakteryzacji elementu neutralnego grupy wynika, że $e$ jest elementem neutralnym grupy $G;$ oznacza to, że element neutralny grupy $G$ jest zarazem elementem neutralnym w $H,$ o ile tylko należy on do $H,$ tzn. nie trzeba szukać elementu neutralnego w $H,$ gdyż jest on niejako z góry – wystarczy tylko sprawdzić, czy element neutralny w $G$ należy do $H.$
• Odwracalność: dla każdego $a\in H$ musi istnieć $x\in H,$ dla których $ax=e;$ odczytanie tego równania w grupie $G$ daje natychmiastowo rozwiązanie $x=a^{-1}$ w postaci elementu odwrotnego do $a$ w grupie $G;$ element odwrotny do $a$ istnieje w $G,$ dlatego nie trzeba go szukać, lecz wystarczy sobie jedynie zapewnić, iż element odwrotny $a^{-1}$ do $a$ należący do $G$ jest również elementem $H.$

Podsumowując: niepusty podzbiór $H$ grupy $G$ jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy

• jest zamknięty na działanie: $ab\in H$ dla wszystkich $a,b\in H;$
• zawiera element neutralny grupy: $e\in H;$
• jest zamknięty na odwracanie: $a^{-1}\in H$ dla każdego $a\in H.$

Co więcej, drugi warunek wynika z pierwszego i trzeciego: niech $a\in H$ (gdyż $H$ jest niepusty, $H\neq \varnothing$), wtedy z trzeciego warunku $a^{-1}\in H,$ a więc $aa^{-1}\in H$ na mocy pierwszego, co daje $e\in H.$ Innymi słowy sprawdzenie, czy $e\in H,$ można pominąć zakładając, iż $H$ jest niepusty; z drugiej strony jeśli nie wiadomo a priori, czy $H\neq \varnothing ,$ to najszybszym sposobem zapewnienia tego warunku jest właśnie sprawdzenie, czy $e\in H.$ Na podstawie powyższych obserwacji można zatem sformułować

Kryterium bycia podgrupą

Niepusty podzbiór $H$ grupy $G$ jest jej podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki

$ab\in H\;\;\quad \mathrm {dla\ wszystkich\ } a,b\in H;$

oraz

$a^{-1}\in H\quad \mathrm {dla\ ka{\dot {z}}dego\ } a\in H.$

Powyższe dwa warunki (wraz z $H\neq \varnothing$) często łączy się w jeden: $a^{-1}b\in H$ dla wszystkich $a,b\in H$; jest on zupełnie równoważny warunkowi $ab^{-1}\in H$ dla wszystkich $a,b\in H$. W przypadku skończonym wystarczający jest warunek zamkniętości działania, tzn. prawdziwe jest następujące

Kryterium bycia podgrupą grupy skończonej

Niepusty podzbiór skończony $H$ grupy $G$ bądź niepusty podzbiór $H$ grupy skończonej $G$ jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy $ab\in H$ dla wszystkich $a,b\in H$.

Przykłady

Podgrupy trywialna i niewłaściwa

W dowolnej grupie $G$ zbiór jednoelementowy $\{e\}$ oraz zbiór $G$ są podgrupami nazywanymi odpowiednio podgrupą trywialną oraz podgrupą niewłaściwą (podgrupy, które nie są trywialne bądź niewłaściwe, nazywa się odpowiednio nietrywialnymi oraz właściwymi); jeżeli $H$ jest podgrupą właściwą w $G,$ to czasem używa się oznaczenia $H<G$, nietrywialność podgrupy zaznaczana jest osobno. Jeżeli $H$ jest podgrupą w $G,$ zaś $K$ jest podgrupą w $H,$ to $K$ jest podgrupą w $G.$

Kryterium bycia podgrupą

Niech $4\mathbb {Z} =\{4z\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}=\{u\in \mathbb {Z} \colon 4\mid u\}$ będzie podzbiorem liczb całkowitych $\mathbb {Z}$ podzielnych przez $4.$ Zbiór $\mathbb {Z}$ tworzy grupę ze względu na dodawanie (wprost z konstrukcji), zaś zbiór $4\mathbb {Z}$ jest zamknięty ze względu na dodawanie i branie odwrotności, a więc $4\mathbb {Z}$ jest podgrupą w $\mathbb {Z} .$ Analogicznie dowodzi się, że zbiór $n\mathbb {Z} =\{nz\in \mathbb {Z} \colon z\in \mathbb {Z} \}$ dla dowolnego $n$ będącego liczbą naturalną jest podgrupą w $\mathbb {Z} ,$ a ponadto wszystkie jej podgrupy mają tę postać.

Zbiór dodatnich liczb wymiernych tworzy podgrupę $\mathbb {Q} _{+}^{\times }$ w grupie $\mathbb {Q} ^{\times }$ niezerowych liczb wymiernych z działaniem mnożenia (iloczyn dowolnych dwóch niezerowych liczb wymiernych dalej jest niezerową liczbą wymierną i podobnie odwrotność niezerowej liczby wymiernej jest niezerową liczbą wymierną), co wynika wprost z własności iloczynu i odwrotności liczb wymiernych: jeśli $a,b>0,$ to $ab>0$ oraz ${\tfrac {1}{a}}>0;$ podobne obserwacje dotyczą liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ (należy wyżej zastąpić $\mathbb {Q}$ znakiem $\mathbb {R}$ i wyraz „wymierny” za pomocą „rzeczywisty”).

Jeżeli $H_{1},H_{2}$ są podgrupami w $G,$ to ich część wspólna $H_{1}\cap H_{2}$ również jest podgrupą w $G$. Analogicznie część wspólna $\bigcap \nolimits _{i\in I}H_{i}$ rodziny $\{H_{i}\}_{i\in I}$ podgrup grupy $G$ indeksowanej za pomocą pewnego zbioru indeksów $I$ również jest podgrupą w $G.$

Niech $S$ oznacza zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowań przedziału jednostkowego $[0,1]$ liczb rzeczywistych; tworzy on grupę ze względu na składanie odwzorowań (zob. grupa: Motywacja). Zbiór $T=\{f\in S\colon f(0)=0\}$ jest podgrupą w $S$ jako jej niepusty podzbiór zamknięty na składanie i odwracanie funkcji:

• Otóż zbiór $T$ jest niepusty, gdyż należy do niego odwzorowanie tożsamościowe $i\in S$ dane wzorem $i(x)=x,$ dla którego zachodzi $i(0)=0.$
• Ponadto jeżeli $f,g\in T,$ to $f(0)=0$ oraz $g(0)=0,$ co oznacza $(f\circ g)(0)=f(g(0))=f(0)=0,$ a więc $f\circ g\in T.$
• Wreszcie jeśli $f\in T,$ to $f(0)=0,$ a zatem $f^{-1}(f(0))=f^{-1}(0),$ stąd $\left(f^{-1}\circ f\right)(0)=i(0)=f^{-1}(0),$ tzn. $0=f^{-1}(0),$ czyli $f^{-1}\in T.$

Kryterium bycia podgrupą skończoną

Niech dany będzie podzbiór $U=\{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}$ grupy $\mathbb {Z} _{8}$ wraz z mnożeniem modulo $8,$ przy czym ${\overline {x}}$ oznacza redukcję liczby całkowitej $x$ modulo $8$ (tzn. resztę z dzielenia $x$ przez $8$). Ponieważ

${\begin{matrix}{\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {3}}={\overline {3}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {5}}={\overline {5}},\quad &{\overline {1}}\ {\overline {7}}={\overline {7}},\\{\overline {3}}\ {\overline {1}}={\overline {3}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {5}}={\overline {7}},\quad &{\overline {3}}\ {\overline {7}}={\overline {5}},\\{\overline {5}}\ {\overline {1}}={\overline {5}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {3}}={\overline {7}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},\quad &{\overline {5}}\ {\overline {7}}={\overline {3}},\\{\overline {7}}\ {\overline {1}}={\overline {7}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {3}}={\overline {5}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {5}}={\overline {3}},\quad &{\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},\end{matrix}}$

to zbiór $U$ jest zamknięty ze względu na mnożenie. Skoro $\mathbb {Z} _{8}$ jest zbiorem skończonym, to na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną zbiór $U$ powinien być podgrupą w $\mathbb {Z} _{8}.$ Byłaby to prawda, gdyby $\mathbb {Z} _{8}$ była grupą ze względu na mnożenie (nie jest nią, gdyż nie istnieje np. odwrotność elementu ${\overline {0}}$); jest ona jednak grupą ze względu na dodawanie, co (jak się okazuje) jest zupełnie czymś innym – aby poprawnie zastosować wspomniane kryterium, należy się więc najpierw upewnić, że nadzbiór tworzy grupę (z tym samym działaniem).

Mimo to $U$ jest grupą ze względu na mnożenie: z powyższych rozważań wynika, że zbiór ten jest zamknięty na mnożenie, które jest łączne (jest ono w istocie łączne na $\mathbb {Z} _{8},$ co wynika z własności arytmetyki modularnej); ponadto ${\overline {1}}\in U$ oraz ${\overline {a}}\ {\overline {1}}={\overline {a}}$ dla wszystkich ${\overline {a}}\in U$ (z powyższych rozważań lub własności arytmetyki modularnej), skąd ${\overline {1}}$ jest elementem neutralnym w $U;$ każdy element $U$ ma odwrotność należącą do $U$ – wynika to z równań ${\overline {1}}\ {\overline {1}}={\overline {1}},$ ${\overline {3}}\ {\overline {3}}={\overline {1}},$ ${\overline {5}}\ {\overline {5}}={\overline {1}},$ ${\overline {7}}\ {\overline {7}}={\overline {1}},$ oraz ${\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\in U.$ Korzystając z kryterium bycia podgrupą skończoną, można się przekonać, iż podzbiory $\{{\overline {1}},{\overline {3}}\},$ $\{{\overline {1}},{\overline {5}}\},$ $\{{\overline {1}},{\overline {7}}\}$ są nietrywialnymi podgrupami właściwymi w $U,$ gdyż są one zamknięte ze względu na mnożenie (są to jedyne tego rodzaju podgrupy w tej grupie). Podgrupy w $U$ mają rzędy $1,2,4,$ które są dzielnikami rzędu $|U|=4$ grupy $U.$

Podzbiór $E=\{1,-1,i,-i\}$ tworzy podgrupę grupy $\mathbb {C} ^{\times }$ niezerowych liczb zespolonych względem mnożenia na podstawie kryterium bycia podgrupą skończoną, gdyż jest zamknięta na branie iloczynów. To samo kryterium mówi, że $\{1,-1\}$ jest podgrupą w $E.$ Ponadto grupa ta nie ma innych nietrywialnych podgrup właściwych, gdyż jeśli podgrupa ta zawierałaby $i$ lub $-i,$ to musiałaby także zawierać $i^{2},i^{3},i^{4}$ lub $(-i)^{2},(-i)^{3},(-i)^{4},$ czyli tworzyłaby wtedy całą grupę $E.$ Dlatego $E$ ma dokładnie trzy podgrupy: jedną rzędu $1,$ jedną rzędu $2$ i jedną rzędu $4.$ W tym przypadku rzędy podgrup również są dzielnikami rzędu $|E|=4$ grupy $E.$

Kryterium może okazać się fałszywe w przypadku, gdy badany podzbiór nie jest skończony: jeśli $P=\{z\in \mathbb {Z} \colon z>0\}$ jest podzbiorem dodatnich liczb całkowitych (które można utożsamiać z liczbami naturalnymi $\mathbb {N}$), to mimo iż $\mathbb {Z}$ jest grupą ze względu na dodawanie, a podzbiór $P$ jest zamknięty na to działanie, to nie tworzy on podgrupy, gdyż brak w tym zbiorze elementu neutralnego dodawania $(0\notin P);$ rozpatrywanie $N=\{z\in \mathbb {Z} \colon z\geqslant 0\}$ (podobnie jak poprzedni przykład) narusza warunek należenia odwrotności (tu: elementu przeciwnego). Grupa $\mathbb {Z}$ jest kanonicznym przykładem grupy nieskończonej (wszystkie nieskończone grupy generowane przez jeden element mają tę samą co ona strukturę grupy cyklicznej, zob. izomorfizm).

Sumy mnogościowe

W ogólności suma mnogościowa $H_{1}\cup H_{2}$ podgrup $H_{1},H_{2}$ nie musi być podgrupą: jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy $H_{1}\subseteq H_{2}$ lub $H_{1}\supseteq H_{2}$; wynika to z nieco ogólniejszej obserwacji: jeżeli $H$ jest podgrupą w $G$ zawartą w $H_{1}\cup H_{2},$ to $H$ zawiera się w całości w $H_{1}$ lub $H_{2}$ (być może w obu z nich). Oznacza to, że nie istnieje grupa, która byłaby sumą mnogościową dwóch swoich nietrywialnych podgrup właściwych; mimo to istnieje grupa, dla której suma jej trzech różnych nietrywialnych podgrup właściwych tworzy w niej podgrupę. Twierdzenie Scorzy stanowi o tym, że jeśli grupa jest sumą trzech nietrywialnych podgrup właściwych, to są one indeksu dwa, a części wspólne dowolnych dwóch z tych trzech podgrup są równe, z kolei twierdzenie Cohna (będące jego rozszerzeniem) charakteryzuje grupy będące sumą mnogościową czterech, pięciu i sześciu ich podgrup właściwych, zaś twierdzenie Tomkinsona mówi, iż nie istnieje grupa, którą można zapisać w postaci sumy mnogościowej dokładnie siedmiu jej nietrywialnych podgrup właściwych.

Pojęcia

Podgrupę grupy $G$ generowaną przez jej podzbiór $X$ można scharakteryzować jako najmniejszą (w sensie zawierania) podgrupę zawierającą wszystkie elementy zbioru $X,$ tj. część wspólną wszystkich podgrup zawierających zbiór $X.$ Podgrupę generowaną przez jednoelementowy podzbiór $\{a\}$ grupy $G$ nazywa się podgrupą cykliczną generowaną przez $a,$ zaś sam element $a$ nazywa się generatorem tej podgrupy (może mieć ona wiele generatorów); rzędem elementu $a$ nazywa się rząd podgrupy (cyklicznej) generowanej przez ten element, czyli jej liczbę elementów.

Przypadki grup $U$ i $E$ opisane w wyżej („kryterium bycia grupą skończoną”) sugerują ogólną regułę, iż rząd podgrupy dzieli rząd grupy – w istocie jest ona prawdziwa: rozumowanie w przypadku skończonym wymaga jedynie znajomości pojęć grupy i funkcji (można go znaleźć w rząd: Własności); w przypadku ogólnym wynik ten, nazywany twierdzeniem Lagrange’a, wymaga znajomości pojęcia warstwy grupy względem jej podgrupy.

Własności

Niech $G$ będzie dowolną grupą; zbiór $\mathrm {C} (x)=\{a\in G\colon ax=xa\}$ elementów grupy $G$ przemiennych z ustalonym jej elementem $x\in G$ tworzy podgrupę nazywaną centralizatorem elementu $x$; podobnie zbiór $\mathrm {Z} (G)=\{a\in G\colon ax=xa{\mbox{ dla }}x\in G\}$ elementów grupy $G,$ które są przemienne z dowolnym jej elementem, tworzy podgrupę nazywaną centrum grupy $G$.

Dla dwóch elementów $x,y$ dowolnej grupy $G$ element $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ nazywa się ich komutatorem; przy czym $[x,y]=e$ wtedy i tylko wtedy, gdy $x,y$ są przemienne, tzn. $xy=yx.$ Dla „wysoce nieprzemiennych” grup (tzw. grup doskonałych) może się zdarzyć, że żaden z komutatorów nie będzie elementem neutralnym, skąd podzbiór wszystkich komutatorów grupy nie musi tworzyć podgrupy; problem ten można obejść biorąc „najmniejszą” grupę zawierającą wszystkie komutatory, tj. podgrupę przez nie generowaną (zob. Przykłady): dla danych dwóch podzbiorów $X,Y$ grupy $G$ ich komutantem $[X,Y]$ nazywa się podgrupę w $G$ generowaną przez wszystkie komutatory $[x,y],$ gdzie $x\in X$ oraz $y\in Y.$ Podgrupę $[G,G]$ nazywa się komutantem lub pochodną grupy $G.$

Centrum i komutant są przykładami tzw. podgrup normalnych, czyli takich podgrup $H$ pewnej grupy $G,$ które są przemienne z dowolnym elementem $a\in G,$ tzn. dla każdego $a\in G,$ zachodzi $aH=Ha$. Pojęcie podgrupy normalnej umożliwia wprowadzenie metody konstrukcji nowych grup z istniejących grup oraz ich podgrup (normalnych), mianowicie tzw. grup ilorazowych; procedura ta jest uogólnieniem uzyskiwania grup $\mathbb {Z} _{n}$ z mnożeniem modulo $n$ z grupy liczb całkowitych $\mathbb {Z}$ oraz jej podgrupy $n\mathbb {Z}$ (zob. wyżej).

Ilustracje

Wśród wielu przykładów grup i ich podgrup można wymienić ponadto:

• grupę wszystkich izometrii danej przestrzeni euklidesowej (z działaniem składania przekształceń) nazywaną grupą euklidesową wraz z jej podgrupami: przesunięć, odbić, czy obrotów;
• grupę wszystkich odwracalnych macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym ciałem nazywaną pełną grupą liniową z podgrupami: diagonalną, skalarną oraz specjalną grupą liniową; wśród pozostałych można wymienić podgrupy: ortogonalną, unitarną i symplektyczną;
• grupę wszystkich permutacji zbioru skończonego z działaniem ich składania nazywaną grupą symetryczną (bądź grupą permutacji) wraz z grupą alternującą tego zbioru jako jej podgrupą.

Twierdzenie Cayleya mówi o tym, iż każda grupa może być postrzegana jako podgrupa grupy symetrycznej: dzięki temu twierdzenia obowiązujące dla grup symetrycznych są prawdziwe również dla wszystkich grup abstrakcyjnych.

Zobacz też

• p-podgrupa (Sylowa), podgrupa torsyjna
• podgrupa Cartana, podgrupa Fittinga, podgrupa z operatorami (podgrupa stabilna)