Zagadnienie własne dla operatora Laplace’a

Operator T odwrotny do operatora Laplace’a definiujemy następująco. Rozpatrzmy zagadnienie własne dla równania Poissona z zerowymi warunkami brzegowymi, tj.

${\begin{cases}-\triangle {u(x)}=\lambda {u(x)},&x\in \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\\u(x)=0,&x\in \partial \Omega \end{cases}}$

gdzie $\lambda \in \mathbb {R}$ jest wartością własną operatora Laplace’a, a funkcja $u(x)\neq 0$ funkcją własną. W języku przestrzeni Sobolewa możemy napisać, że $u\in W_{0}^{1,2}.$ Zdefiniujmy operator:

$T:L^{2}(\Omega )\to W_{0}^{1,2}(\Omega )\subseteq L^{2}(\Omega )$

następująco:

$T(f)=u\Leftrightarrow -\triangle u=f,$

tj. $u$ jest słabym rozwiązaniem równania Poissona.

Własności operatora odwrotnego do operatora Laplace’a

1. Operator $T$ jest dobrze określony, liniowy, ciągły.
2. Operator $T$ jest zwarty.
3. Operator $T$ jest samosprzężony.

Wartości własne operatora Laplace’a

Z twierdzenia spektralnego dla operatorów zwartych i samosprzężonych wynika, że:

1. Wszystkie wartości własne operatora Laplace’a na ograniczonym obszarze $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}$ są dodatnie, mają skończone krotności, a $+\infty$ jest punktem skupienia wartości własnych.
2. Istnieje baza ortonormalna przestrzeni $L^{2}(\Omega )$ złożona z funkcji własnych laplasjanu.