PREFÁCIO

É com muito prazer que tomo a tarefa de apresentar esta obra tão interessante e bem articulada, que se estrutura como uma coletânea de textos que trazem valiosas e inovadoras perspectivas e contribuições para a Educação, a Psicologia, a Educação Matemática e a Psicologia da Educação Matemática, enquanto campos de investigação, adentrando em discussões sobre o erro em matemática com enfoques psicoeducacionais.

Há consenso quanto à constatação que errar é inevitável para nós, afinal, a famosa frase atribuída a Santo Agostinho errar é humano é um axioma filosófico com o qual buscamos suavizar uma falha. Por outro lado, não há consenso quanto à forma como lidamos com o erro. Sob esse ponto de vista, a questão que se pode colocar é: como entender e transformar o erro em algo didaticamente produtivo? Sob este prisma, os organizadores desta obra juntamente com os autores dos capítulos nos colocam uma série de reflexões e constatações acerca de padrões de erro em matemática.

Um dos grandes desafios no desenvolvimento de habilidades e competências, em contextos escolares e extraescolares, no que tange ao saber matemático e sua necessidade às nossas vivências e relações com o mundo, perpassa à maneira de como tratamos o erro no raciocínio matemático, principalmente nos processos de ensino e de aprendizagem da matemática desde a educação básica ao ensino superior, quando tratamos dos cenários constituídos no ambiente escolar.

Por que privilegiamos a cultura do acerto em aulas de matemática, nos espaços escolares, e não buscamos compreender os padrões de erro que se estabelecem a partir das práticas instituídas por professores? Por que, em muitos casos, não reconhecemos o erro como elemento importante na estruturação do pensamento e na construção do conhecimento do estudante? Será que haveria aprendizagem se não houvesse o erro nas aulas de matemática, já que o erro é inevitável tanto por estudantes como por professores num aspecto amplo? Sob essas indagações, pouco ou quase nada é permitido ao estudante, no que se refere a refletir sobre o erro, sem sentir medo e culpa e nem os professores são levados à análise de suas práticas, bem como da sua formação inicial e continuada, a partir dos erros cometidos em cenários e metodologias diversas de ensino de matemática.

As narrativas construídas pelos autores e organizadas por João Carmo e Eliane Crescenti nos põem a pensar sobre a relevância e como discutir as diferentes concepções sobre o erro em matemática e as implicações que essas concepções têm para a prática pedagógica de professores que ensinam matemática. Essas concepções estão embasadas em origens teórico-filosóficas distintas, gerando implicações educacionais, também com diferentes enfoques, a partir das análises realizadas.

Com a leitura dos textos, é possível compreender como padrões de erro em matemática podem ser vistos como algo útil para auxiliar estudantes, dos diversos níveis de ensino, sem considerar apenas a perspectiva de privilegiar o produto final, considerando, por exemplo, o processo de resolução de um problema matemático. Para muitos, os erros devem ser eliminados, pois são comportamentos que sinalizam o fracasso e indicam a ausência de conhecimento matemático. Mas, como compreender as formas de raciocinar dos estudantes, para então interpretar os erros, sem identificar sua natureza? Esse é um dos possíveis caminhos que somos convidados a pensar na leitura deste livro.

É de suma relevância compreender que os erros em matemática informam sobre o modo de raciocinar dos estudantes, revela-nos sobre as práticas didáticas e pedagógicas de professores que ensinam matemática e coloca-nos a pensar sobre o saber, sobre o fazer e como fazer em aulas de matemática. Nesta direção, é possível dizer que, ao assumir a perspectiva de que o erro pode ser entendido como uma ferramenta didática, assume-se, também, a perspectiva de que é necessário conhecer o raciocínio do aluno.

Dessa forma, espero que a leitura deste livro desencadeie novas aprendizagens e desperte o trabalho cooperativo e colaborativo entre pesquisadores, professores e estudantes dos diversos níveis de ensino que permeiam a aprendizagem de matemática. Acredito que você, leitor, refletindo sobre os textos, terá possibilidade de ampliar suas ideias sobre o erro e seu papel nos cenários de ensino e aprendizagem, possibilitando a construção de novas investigações que promovam a melhoria do ensino, da formação dos professores e da aprendizagem do saber matemático.

Ernani Martins dos Santos

Doutor em Psicologia Cognitiva e Pesquisador em Psicologia da

Educação Matemática

Universidade de Pernambuco (UPE)

APRESENTAÇÃO

A ocorrência de erros, durante a aprendizagem da Matemática escolar, é bastante frequente e tem sido tratada a partir de diferentes perspectivas, desde posturas tradicionais até práticas que consideram esses erros como oportunidades pedagógicas. No entanto, pode-se questionar se todos os erros cometidos por estudantes são, de fato, necessários à aprendizagem da Matemática. Em outras palavras, diferentes tipos de erros podem ser gerados por diferentes contextos de ensino e podem resultar em fracasso no aprendizado da Matemática.

O que erros podem comunicar? Identificar padrões de erro torna-se útil para auxiliar estudantes que estão dando os passos iniciais nessa disciplina, bem como aos que já estão escolarizados, porém apresentam lacunas em sua formação matemática. Identificar padrões de erro pode igualmente ajudar na prevenção de sua ocorrência, tornando menos árida a estrada que conduz os indivíduos ao domínio dos fundamentos da matemática e sua aplicabilidade no dia a dia.

A presente obra reúne diferentes análises, pesquisas científicas e relatos de experiências sobre padrões de erro que ocorrem desde o início da aprendizagem da Matemática até o ensino superior. Os estudos, baseados em evidências científicas, fornecem subsídios aos professores que ensinam Matemática, apontando implicações psicoeducacionais em relação à avaliação de erros, programação de ensino e oportunidades de aprendizagem significativa em Matemática.

A obra, como um todo, possibilita ao leitor explorar diferentes perspectivas teóricas e práticas psicoeducativas sobre padrões de erro em matemática. A leitura propiciará o contato com pesquisas, relatos de experiência, análises das práticas e das implicações que o reconhecimento de padrões de erro pode gerar em processos de ensino e aprendizagem da matemática. É, portanto, uma obra voltada tanto a docentes que atuam em diferentes níveis quanto a pesquisadores de diversas áreas, como Psicologia da Educação Matemática, Educação Matemática, Matemática, Pedagogia, Psicologia, Psicopedagogia.

O primeiro capítulo, escrito por João dos Santos Carmo e Eliane Portalone Crescenti, foi concebido a partir da vivência, experiência profissional e investigações científicas, que fornecem aproximações à discussão sobre padrões de erro em matemática. Os autores apontam considerações sobre concepções tradicionais de erro no ensino-aprendizagem e sugerem uma concepção alternativa que enfatiza o erro como (i) um desempenho que sinaliza que algumas condições de ensino não foram garantidas e (ii) erro como produção coletiva ou social. Fazem um convite a reflexões em torno da educação e do ensino da matemática, na direção de ser possível programar o sucesso na aprendizagem dessa disciplina.

No segundo capítulo, Raquel Maria de Melo apresenta a perspectiva da Análise do Comportamento em relação aos erros, com análise de alguns exemplos de erros que aparecem no contexto do ensino de comportamentos matemáticos. Apresenta aspectos relevantes para a programação do ensino de forma que se proporcione uma aprendizagem com menos erros. São apresentados aspectos relevantes para o planejamento de contingências de ensino: planejar unidades pequenas de ensino; definição dos objetivos de ensino; aumento gradual das exigências de aprendizagem; respeito ao ritmo do aprendiz; participação ativa e reforço imediato.

Diéli de Campos e Marília Bazan Blanco apresentam, no terceiro capítulo, como as crianças aprendem as operações de adição e subtração a partir da perspectiva da Psicologia e da Neurociência Cognitiva. As autoras trazem reflexões sobre os erros na execução dos algoritmos dessas operações a partir do modelo da cognição numérica, com destaque para as habilidades primárias e secundárias, linha numérica, contagem, processamento numérico e cálculo.

Ana Maria Antunes de Campos e Bruna Gimenez Torresani, no quarto capítulo, tecem considerações sobre atitudes, crenças e valores dos professores que ensinam matemática e como podem influenciar nas atitudes dos alunos durante todo o percurso educacional. Sugerem que o erro pode ser o ponto de partida para aprendizagem, desde que aproveitado de forma pedagógica, e como esses erros podem interferir nos níveis de autoeficácia, autoconceito e autoestima dos estudantes quando não tratados adequadamente pelo educador. Defendem a utilização dos jogos em sala de aula como um dos caminhos para a resolução de problemas, identificação, análise e socialização do erro pelo aluno.

O quinto capítulo, escrito por Karina Lumena de Freitas Alves, foi baseado em sua prática docente caracterizada pelo acompanhamento individual de alunos que apresentam dificuldades de aprendizagem em matemática. A partir da análise dos erros mais frequentes identificados, conduz o leitor à seguinte questão: reconhecer padrões auxilia a resolução de problemas ou o problema ocorre quando buscamos reconhecer padrões? A autora defende que a identificação adequada de padrões de resolução de problemas, por parte dos estudantes, propicia uma aprendizagem significativa da matemática, enquanto seguir padrões inadequados de resolução desses problemas pode gerar uma cadeia de erros que se tornam prejudiciais à aprendizagem dessa disciplina.

Edna Maura Zuffi, no sexto capítulo, discorre sobre algumas experiências de ensino de Matemática e padrões de erro em relação à educação escolar no segundo ciclo do ensino fundamental e ensino médio. Traz como foco padrões relacionados às ideias de generalização encontradas na álgebra e suas representações simbólicas a partir de evidências científicas obtidas por meio de pesquisas realizadas e orientadas pela autora. Ao final do capítulo, é posto um importante questionamento sobre se alguns erros são, de fato, necessários para aprendizagem ou se alguns podem ser gerados por metodologias que enfatizam mais a memorização de regras e manipulação de símbolos, o que muitas vezes não garante uma aprendizagem significativa.

As autoras Ana Luísa Carvalho Furtado e Telma Silveira Pará, no sétimo capítulo, fazem uma análise dos possíveis efeitos que lacunas advindas do ensino básico podem gerar em termos de padrões de erro identificados em estudantes do ensino superior. A partir de um relato de experiência, discutem o que os erros dos alunos comunicam, se os erros comuns nas disciplinas de Cálculo Vetorial e Equações Diferenciais Parciais e Séries (EDPS) são advindos da falta de pré-requisitos e quais as ações que o professor pode adotar com seus alunos de forma a proporcionar uma aprendizagem significativa.

O oitavo capítulo, de Etienne Lautenschlager e Kátia Regina Lopes Costa Freire, traz reflexões a respeito dos erros que os professores também cometem na resolução de questões envolvendo conhecimento matemático. A partir da adoção de uma concepção sobre erro, as autoras discutem acerca da formação do professor de Matemática e analisam questões que focalizam a necessidade de ampliar a competência matemática e a competência de ensino do professor em sua formação docente.

Leila do Socorro Rodrigues Feio e Francisco Alexandre de Lima Sales trazem, no nono capítulo, considerações sobre os erros em matemática presentes na interação entre pensamento algébrico e geométrico sob a perspectiva da formação inicial de professores. Os autores buscaram analisar os erros cometidos por estudantes de um curso de licenciatura em Matemática, a partir da resolução de dois problemas com ênfase em uma abordagem algébrica e geométrica. Por meio de uma escala de erros, puderam analisar se os professores em formação eram capazes de traduzir informações em linguagem matemática de forma coerente e clara ou se cometiam erros causados por mecanicismo, erros coerentes, por ausência de compreensão sobre o que estava sendo discutido ou erros cometidos por falta de atenção ou ausência de pré-requisitos necessários.

O décimo capítulo, elaborado por Renata Cristina Arruda e Raquel Simões Martins, traz informações a respeito da Discalculia do Desenvolvimento (DD) e propõe ferramentas que poderão fornecer um bom direcionamento de condutas e intervenções educacionais junto aos alunos que apresentam esse transtorno específico de aprendizagem. Apresenta possíveis erros matemáticos e dificuldades de aprendizagem por alunos com DD, como: falhas no senso numérico, processamento numérico e fatos aritméticos; inabilidades no raciocínio proporcional subjacente a problemas complexos; e sugestões de intervenção para cada um deles. Sugere também que o treino de outras habilidades neurocognitivas pode ser um fator de melhora no desempenho matemático.

Rosemeire Aparecida Trebi Curilla e João dos Santos Carmo apresentam, no décimo primeiro capítulo, um recorte relacionando ansiedade matemática e contextos geradores de erros, contribuindo com o debate em torno da ocorrência de padrões de erro e suas implicações educacionais. Discorrem sobre evidências científicas a respeito dos padrões de erro em estudantes com ansiedade matemática. Trazem à discussão alguns fatores geradores de erros em indivíduos com ansiedade matemática e apresentam uma abordagem psicoeducacional sobre erros na aprendizagem da matemática.

Esperamos que o material oferecido na presente obra possa fornecer subsídios à prática e à formação básica e continuada de docentes que ensinam matemática, bem como fomentar novas pesquisas em torno da identificação de padrões de erro em matemática em nossa população estudantil.

Os organizadores

João dos Santos Carmo

Eliane Portalone Crescenti

ANÁLISE DE ERROS EM MATEMÁTICA: CONCEPÇÕES, PADRÕES E FONTES GERADORAS

João dos Santos Carmo

Eliane Portalone Crescenti

Os erros em matemática e a maneira como eles são tratados influencia na forma como nossos alunos olham e olharão a disciplina. (Escobar, 2020, p. 33)

Este capítulo foi concebido a partir de três contextos distintos, mas que oferecem aproximações à discussão sobre padrões de erro em matemática. O primeiro contexto refere-se à vivência dos autores em uma atividade recente que desenvolvemos com estudantes de diferentes licenciaturas e docentes formados, durante o IX Seminário Institucional Pibid e III Seminário Institucional da Residência Pedagógica, promovida pela Universidade Federal de Uberlândia/MG. Nesse evento, tivemos a oportunidade de apresentar o tema Avaliação: o erro como parâmetro de exclusão ou possibilidade de crescimento. Na ocasião, pudemos experimentar a receptividade de nossas reflexões sobre padrões de erro, que estão sistematizadas no presente texto. O segundo contexto caracteriza-se pela experiência da segunda autora como professora de matemática e psicopedagoga que atende casos de dificuldades e transtornos de aprendizagem da matemática. O terceiro contexto advém de investigações realizadas pelo primeiro autor, em Psicologia da Educação Matemática e Análise do Comportamento, acerca do ensino e aprendizagem de habilidades numéricas.

Esses contextos serviram de base para a investigação de um fenômeno bastante presente nas aulas de matemática. A rigor não apenas nas aulas, mas em situações outras, como a realização de tarefas escolares em casa ou em situações do cotidiano quando é necessário o uso de habilidades numéricas em geral. Esse fenômeno se caracteriza pela repetição sistemática de erros durante a realização de cálculos matemáticos, desde os mais simples até os mais complexos. Não se trata de erros aleatórios ou que ocorrem acidentalmente. E sim de erros sistematicamente manifestados durante a busca de solução de problemas matemáticos. A esses fenômenos chamamos de padrões de erro em matemática para diferenciá-los de erros meramente acidentais (Ashlock, 1998). A ocorrência sistemática desses erros levantam diferentes possibilidades de análise, conforme veremos ao longo do presente capítulo.

Concepções tradicionais de erro no ensino-aprendizagem

Antes de abordarmos padrões de erro, é fundamental discutirmos a própria noção de erro a fim de podermos traçar um campo mais amadurecido de reflexões acerca dos padrões. O termo erro deriva do verbo latim errare, o qual possui múltiplos significados, como perder-se, andar sem destino, cometer uma inadequação. Nota-se que o significado é dado por um contexto específico, tendo em vista que perder-se sinaliza um percurso que estava sendo seguido, uma orientação prévia, mas que resultou em um desvio do que se pretendia; ao passo que andar sem destino está mais próximo do que o senso comum classifica como tentativa e erro, isto é, caminhar ao acaso, sem um roteiro e, portanto, sem um ponto de chegada. Enquanto cometer uma inadequação pode sinalizar um equívoco em uma etapa de um processo, resultando talvez em acidente ou interrupção do processo em si. Erro, portanto, é um vocábulo que pode ser empregado com diferentes significados.

Nas situações formais de ensino-aprendizagem, no entanto, predominam algumas concepções de erro que sempre estão centralizadas no resultado, no produto e, mais especificamente, na ação do estudante, ação esta considerada equivocada. As causas dos erros, por sua vez, são atribuídas ao aprendiz. Em resumo, erros são analisados tipicamente a partir do produto final que resultou de um processo malconduzido pelo próprio estudante. Disso resulta, em primeira instância, que qualquer resultado considerado errado ou inadequado é de responsabilidade exclusiva do aprendiz. Evidentemente essa concepção geral traz como consequência imediata a classificação: aquele que erra, aquele que acerta, e a tendência é buscar as raízes em atributos individuais, como: desatenção; limitação cognitiva; falta de disciplina nos estudos; procrastinação etc. A essa concepção geral de explicação acerca dos erros, podemos chamar de tradicional, no sentido de que advém de uma prática bastante comum em nosso cenário nacional e que pode ser traduzida pela frase: Eu, enquanto professor/a, fiz a parte que me cabe: ensinei. Se o estudante não aprendeu, não posso fazer nada, pois ele não cumpriu sua parte. Tal constatação não é aqui explicitada com o intuito de culpabilizar o/a docente que assume essa postura, tendo em vista que este/a é provavelmente vítima de um contexto formativo que dicotomizou processos de ensino e processos de aprendizagem, como se fosse possível dissociar esses processos. Voltaremos a essa questão da indissociabilidade entre ensino e aprendizagem na seção que trata de uma concepção alternativa de erro. Por enquanto, apreciemos as concepções tradicionais de erros mais comuns no cenário educacional em nosso país. Estas concepções foram atualizadas de um estudo conduzido por Carmo (2010).

Erro como um desempenho que está abaixo do esperado. Essa concepção é a matriz a partir da qual as demais concepções vistas adiante, na presente seção, são geradas. Aqui desempenho é entendido como um resultado ou uma ação que atingiu ou não determinado critério ou parâmetro. Esse critério ou parâmetro serve como demarcador entre o certo e o errado e é preestabelecido pelo professor e ou por uma comunidade de educadores e técnicos educacionais. Geralmente os currículos e planos de curso e de ensino estabelecem essas medidas de desempenho. São medidas semiarbitrárias quando partem de estudos e evidências que indicam o quanto um indivíduo consegue realizar uma tarefa ou o que é minimamente esperado de um indivíduo em determinado ano escolar, tendo este atingido os pré-requisitos necessários. No entanto, apesar das medidas convencionais de aprendizagem, há casos em que