Гипотеза Буняковского

Гипотеза Буняковского гласит, что если $f(x)$ — целозначный неприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех его значений в целых точках, то целозначный многочлен $f(x)/d$ принимает бесконечно много простых значений.

Если $f(x)=kx+b$ — линейная функция, то наибольший общий делитель её значений равен ${\text{НОД}}(k,b)$. И тогда по теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии линейная функция $f_{1}(x)={\frac {kx+b}{d}}$ принимает бесконечное множество простых значений (видно, что $f_{1}(x)$ целозначна). То есть гипотеза сформулирована корректно.

4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при $f(x)=x^{2}+1.$

В статье Bateman, Horn приведена общая эвристическая формула, из которой следует, что плотность простых значений неприводимого многочлена $f(x)$, удовлетворяющая условиям гипотезы Буняковского, описывается как

$\pi _{f}(N)\sim {\frac {C(f)}{\deg f}}\int \limits _{2}^{N}{\frac {dt}{\ln t}},$

где $\pi _{f}(N)$ — количество целых $n\leq N$ таких что $f(n)$ простое число, и константа $C(f)=\prod \limits _{p}{\frac {1-{\frac {\omega (p)}{p}}}{1-{\frac {1}{p}}}}$, где $p$ пробегает простые числа и $\omega (p)$ — число решений сравнения $f(x)\equiv 0{\pmod {p}}$ в поле $\mathbb {Z} /(p).$

Пример

Покажем, например, как можно оценить $C(f)$ при $f(x)=x^{2}+1$. Тогда $\omega (2)=1$, при $p\equiv -1{\pmod {4}}$ будет $\omega (p)=0$, а при $p\equiv 1{\pmod {4}}$ будет $\omega (p)=2$. Остается только численно вычислить произведение.

См. также

• Открытые математические проблемы — проблемы из других разделов математики
• Открытые проблемы в теории чисел
• Гипотеза H

Литература

• Paul T. Bateman, Roger A. Horn. A heuristic asymptotic formula concerning the distribution of prime numbers (англ.) // Math. Comp.. — 1962. — Vol. 17, no. 84. — P. 445—447.
• В. Серпинский. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. — М.—Л.: Физматлит, 1963. — 92 с.
• S. Lang. Bunyakovskii conjecture (Архивная копия от 27 сентября 2013 на Wayback Machine), Encyclopedia of Mathematics, ISBN 1402006098.
• Ed. Pegg, Jr. Bouniakowsky conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Rupert, Wolfgang M. (1998-08-05). "Reducibility of polynomials f(x, y) modulo p". arXiv:math/9808021. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка)
• Bouniakowsky V. Nouveaux théorèmes relatifs à la distinction des nombres premiers et à la décomposition des entiers en facteurs (фр.) // Mém. Acad. Sc. St. Pétersbourg. — 1857. — P. 305—329.