Открытые проблемы в теории чисел

Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

Гипотезы о простых числах

• Сильная проблема Гольдбаха. Каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
• Проблема Ризеля: поиск такого минимального нечётного $k<509203$, что число $k\cdot 2^{n}-1$ является составным для всех натуральных $n$.
• Проблема Серпинского: поиск такого минимального нечётного натурального $k<78557$, что число $k\cdot 2^{n}+1$ является составным для всех натуральных $n$.
  • Простая проблема Серпинского: поиск такого минимального нечётного простого натурального $k<271129$, что число $k\cdot 2^{n}+1$ является составным для всех натуральных $n$.
  • Двойственная проблема Серпинского: поиск такого минимального нечётного натурального $k$, что число $2^{n}\pm k$ является составным для всех натуральных $n$. Связанный вопрос о тесте на простоту: если существует алгоритм, позволяющий быстро (за полиномиальное время) узнать, является ли число $k\cdot 2^{n}\pm 1$ простым (строго, то есть не псевдопростым), то существует ли двойственный к нему алгоритм теста на простоту для чисел вида $2^{n}\pm k$? Ответ на последний вопрос позволил бы узнать, являются ли пять больших возможно простых из задания «Пять или провал» простыми или составными.
• Гипотеза Артина о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем.
• Гипотеза Лежандра. Для любого натурального $n$ между $n^{2}$ и $(n+1)^{2}$ найдётся хотя бы одно простое число.
• Гипотеза Оппермана. Для любого натурального $n$ между $n^{2}$ и $n(n+1)$ найдётся хотя бы одно простое число и между $n(n+1)$ и $(n+1)^{2}$ — ещё хотя бы одно (другое) простое число.
• Гипотеза Андрицы. Функция $f(n)={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$ (где $p_{n}$ — это $n$-ое простое число) принимает значения, меньшие 1 для любого n.
• Гипотеза Брокара. Для любого натурального $n$ между $p_{n}^{2}$ и $p_{n+1}^{2}$ (где $p_{n}$ — это $n$-ое простое число) найдётся хотя бы четыре простых числа.
• Гипотеза Фирузбэхт. Последовательность $(p_{n})^{1/n}$ — строго убывающая (здесь $p_{n}$ — это $n$-ое простое число).
• Гипотеза Полиньяка. Для любого чётного числа $n$ найдётся бесконечно много пар соседних простых чисел, разность между которыми равна $n$.
• Гипотеза Аго — Джуги: верно ли, что если

  $\sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}=1^{p-1}+2^{p-1}+\cdots +(p-1)^{p-1}\equiv -1{\pmod {p}}$, то p — простое?

• Верно ли, что для любого положительного иррационального числа $\theta$ и любого положительного $\epsilon$ существует бесконечное количество пар простых чисел $(p,q),$ для которых выполняется неравенство $\left|\theta -{\frac {p}{q}}\right|<q^{-2+\epsilon }$?
• Сходится ли ряд $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k}{p_{k}}}$? Но если он сходится, то простых чисел-близнецов конечно много. Это вытекает из теоремы о распределении простых чисел и признака Лейбница.
• Гипотеза Гильбрайта. Для любого натурального числа $n$ последовательность абсолютных разностей $n$-го порядка для последовательности простых чисел начинается с 1. Абсолютные разности 1-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними простыми числами: $1,2,2,4,2,\dots ,$ разности 2-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними элементами в последовательности абсолютных разностей 1-го порядка: $1,0,2,2,2,\dots$ и т. д. Гипотеза проверена для всех n < 3,4×10¹¹
• Гипотеза Буняковского Если $f(x)$ — целозначный неприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех его значений, то целозначный многочлен $f(x)/d$ принимает бесконечно много простых значений. 4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при $f(x)=x^{2}+1$.
• Гипотеза Диксона Если $a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r}$ — конечное число арифметических прогрессий, то существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что для каждого такого n все r чисел $a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r}$ являются простыми одновременно. Причём из рассмотрения исключается тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число $a_{j}n+b_{j}$ кратно p.
• Гипотеза Эллиота — Халберстама и её обобщение в теории простых чисел в модулях.
• Все ли числа Ферма составные при n > 4?
• Все ли числа Мерсенна с простыми индексами свободны от квадратов?
• Имеются ли двойные числа Мерсенна с индексами n > 60?
• Является ли число M_M127 и следующие члены последовательности Каталана-Мерсенна простыми?
• Имеются ли простые числа Вольстенхольма, отличные от 16 843 и 2 124 679?
• Открытым является вопрос бесконечности количества простых чисел в каждой из следующих последовательностей:

Последовательность	Название
$2^{n}-1$	числа Мерсенна
$n^{2}+1$	4-я проблема Ландау
$n^{2^{k}}+1$, $k>0$	обобщение проблемы Ландау.
$n\cdot 2^{n}+1$	числа Каллена
$n\cdot 2^{n}-1$	числа Вудала
$2^{2^{n}}+1$	числа Ферма
$F_{n}$	числа Фибоначчи
пары $(n,\;n+2)$	простые близнецы
пары $(n,\;2n+1)$	простые числа Софи Жермен
$n!\pm 1$	факториальные числа
$n\#\pm 1$	праймориальные числа
$k\cdot 2^{n}+1$, $k$ — нечетно, $2^{n}>k$	числа Прота

• Существует ли многочлен $f(x)$ , кроме линейного, среди значений которого существует бесконечно много простых чисел?
• Почему простые числа располагаются в цепочки вдоль диагоналей скатерти Улама?
• Верно ли, что только три простых числа, а именно 5, 13 и 97, представимы в виде $2^{k}+3^{k}$ при некотором натуральном $k$?

Гипотезы о совершенных числах

• Не существует нечётных совершенных чисел.
• Количество совершенных чисел бесконечно.

Гипотезы о дружественных числах

• Не существует взаимно простых дружественных чисел.
• Любая пара дружественных чисел имеет одинаковую чётность.
• Дружественных чисел бесконечно много.

Гауссовы числа

• Найти количество гауссовых чисел, норма которых меньше заданной натуральной константы $R$. В эквивалентной формулировке эта тема известна как «проблема круга Гаусса» в геометрии чисел. См. последовательность A000328 в OEIS.
• Найти прямые на комплексной плоскости, содержащие бесконечно много простых гауссовых чисел. Две такие прямые очевидны — это координатные оси; неизвестно, существуют ли другие.
• Вопрос, известный под названием «ров Гаусса»: можно ли дойти до бесконечности, переходя от одного простого гауссова числа к другому скачками заранее ограниченной длины? Задача поставлена в 1962 году и до сих пор не решена.

Диофантовы уравнения

• Каждое ли перечислимое множество имеет однократное диофантово представление?
• Может ли не иметь однократного диофантова представления объединение двух множеств, каждое из которых имеет однократное диофантово представление?
• Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно всех переменных (параметров и неизвестных)?
• Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно неизвестных?
• Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение? Какую наименьшую степень оно может иметь при таком числе переменных? Наименьший известный результат — 9 переменных. Наименьшая известная степень уравнения при 9 переменных превышает $10^{45}.$
• Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение степени 4? Наименьший известный результат составляет 58.
• Существует ли универсальное диофантово уравнение степени 3? Если да, то какое наименьшее число переменных оно может иметь?
• Какое наименьшее количество операций (сложений, вычитаний и умножений) может иметь универсальное диофантово уравнение? Наименьший известный результат составляет 100.
• Бесконечно ли множество решений диофантова уравнения $9(u^{2}+7v^{2})^{2}-7(r^{2}+7s^{2})^{2}=2$?
• Существование прямоугольного параллелепипеда с тремя целочисленными рёбрами и целочисленными диагоналями.
• Гипотеза Холла об оценке сверху для решений диофантова уравнения Морделла $y^{2}=x^{3}+k$ при заданном $k\neq 0$.

Многие нерешённые проблемы (например, проблема Гольдбаха или гипотеза Римана) могут быть переформулированы как вопросы о разрешимости диофантовых уравнений 4-й степени некоторого специального вида, однако такая переформулировка обычно не делает проблему проще ввиду отсутствия общего метода решения диофантовых уравнений.

Аналитическая теория чисел

• Гипотеза Римана (теоретико-числовая формулировка). Верна ли следующая асимптотическая формула для распределения простых чисел:

  $\pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right)?$

• Известно, что количество точек с положительными целочисленными координатами в области, ограниченной гиперболой $xy=N$ и положительными полуосями, выражается асимптотической формулой

  $\Phi (N)=\sum _{k=1}^{N}\tau (k)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O(N^{\theta }),$

где $\tau (k)$ — количество делителей числа k, $\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони, а $\theta$ может быть выбрано равным ${\frac {131}{416}}.$ Однако, неизвестно, при каком наименьшем значении $\theta$ эта формула останется верной (известно, что оно не меньше, чем ${\frac {1}{4}}$). Равно ли оно в точности ${\frac {1}{4}}$? Прямые вычисления $\theta$ приводят к этой гипотезе, поскольку $x^{\theta }/x^{1/4}$ оказывается почти нормальным распределением с дисперсией 1 для x вплоть до $10^{16}$.

• Гипотеза Крамера о пробелах между простыми числами: $\max _{i\leq n}(p_{i+1}-p_{i})=O(\ln ^{2}p_{n})$.
• Ослабленная гипотеза Мертенса: доказать, что функция Мертенса $M(n)$ оценивается как $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })$. Ослабленная гипотеза Мертенса эквивалентна гипотезе Римана.
• Первая гипотеза Харди — Литлвуда — гипотеза о плотности распределения кортежей простых чисел вида $(p,p+a_{2}...,p+a_{k})$, утверждающая, в частности, что число таких кортежей бесконечно, исключая тривиальные случаи. Эта гипотеза является уточнением гипотезы о простых близнецах, а также является частным случаем гипотезы Диксона.
• Вторая гипотеза Харди — Литлвуда — гипотеза о логарифмическом свойстве функции числа простых чисел: $\pi (x+y)\leqslant \pi (x)+\pi (y)$. Доказано, что гипотезы Харди-Литлвуда обе сразу не могут быть верными и верна максимум одна.
• Гипотеза Сингмастера. Обозначим через $N(a)$ количество раз, которое натуральное число $a$, большее единицы, встречается в треугольнике Паскаля. Сингмастер показал, что $N(a)=O(\ln a)$, что в дальнейшем было улучшено до $N(a)=O(\ln a\cdot \ln \ln \ln a\cdot {\ln }^{-3}\ln a)$. Верно ли более сильное утверждение $N(a)=O(1)$?
• Гипотеза Зарембы. Для любого натурального числа q найдётся такое число p, что в разложении ${\frac {p}{q}}$ в цепную дробь все неполные частные не превосходят пяти. В 2011 году Жаном Бургейном и Алексом Конторовичем было доказано, что для дробей с неполными частными, ограниченными 50, гипотеза верна на множестве плотностью 1.

Теория Рамсея

• Значения чисел Рамсея $R(r,\;s)$. Точно известны только несколько первых чисел. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, попарно знакомых друг с другом, или 5 человек, попарно незнакомых друг с другом — это число обозначается $R(5,\;5)$, про него известно только, что $43\leqslant R(5,\;5)\leqslant 48$.

$r,\;s$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	1	3	6	9	14	18	23	28	36	[40, 42]
4	1	4	9	18	25	[36, 41]	[49, 61]	[59, 84]	[73, 115]	[92, 149]
5	1	5	14	25	[43, 48]	[58, 87]	[80, 143]	[101, 216]	[133, 316]	[149, 442]
6	1	6	18	[36, 41]	[58, 87]	[102, 165]	[115, 298]	[134, 495]	[183, 780]	[204, 1171]
7	1	7	23	[49, 61]	[80, 143]	[115, 298]	[205, 540]	[217, 1031]	[252, 1713]	[292, 2826]
8	1	8	28	[56, 84]	[101, 216]	[127, 495]	[217, 1031]	[282, 1870]	[329, 3583]	[343, 6090]
9	1	9	36	[73, 115]	[133, 316]	[183, 780]	[252, 1713]	[329, 3583]	[565, 6588]	[580, 12677]
10	1	10	[40, 42]	[92, 149]	[149, 442]	[179, 1171]	[289, 2826]	[343, 6090]	[581, 12677]	[798, 23556]

• Значения чисел ван дер Вардена. На данный момент известны значения только 6 первых чисел: 1, 3, 9, 35, 178 и 1132. Например, неизвестно, при каком наименьшем N при любом разбиении множества $\{1,2,\dots ,N\}$ на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7 (известно, что $3704\leqslant N\leqslant {}^{8}2$, где выражение для верхней границы использует тетрацию).

Другие проблемы

• Пусть $x$ — положительное число такое, что $2^{x}$ и $3^{x}$ — целые числа. Может ли $x$ не быть целым числом?
• Существование слегка избыточных чисел.
• Существование цикла из трёх компанейских чисел.
• Существуют ли попарно различные натуральные числа $a,\;b,\;c,\;d$ такие, что $a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}$?
• Существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение?
• Гипотеза Била. Если $A^{x}+B^{y}=C^{z},$ где $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ — натуральные и $x,\;y,\;z>2$, то $A,\;B,\;C$ имеют общий простой делитель.
• Гипотеза Эрдёша. Если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинную арифметическую прогрессию.
• Насколько велика может быть сумма обратных величин последовательности натуральных чисел, в которой никакой элемент не равен сумме нескольких других различных элементов? (Эрдёш)
• Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1).
• Гипотеза жонглёра. Любая последовательность жонглёра достигает 1. Последовательность жонглёра описывается рекурсивной формулой:

  $a_{k+1}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{1/2}\right\rfloor ,&{\text{if}}\ a_{k}\ {\text{is even}};\\\\\left\lfloor a_{k}^{3/2}\right\rfloor ,&{\text{if}}\ a_{k}\ {\text{is odd}}.\end{cases}}$

• Задача Брокара. Имеет ли уравнение $n!+1=m^{2}$ решения в натуральных числах, кроме (4, 5), (5, 11) и (7, 71)?
• Гипотеза Томашевски. Только числа 1, 6 и 120 являются одновременно треугольными и факториалами. В альтернативной формулировке сводится к решению уравнения $8\cdot n!+1=m^{2}$ в натуральных числах.
• Конечно ли множество решений уравнения $2^{n}\equiv 3{\pmod {n}}?$ В настоящее время известно только 5 решений.
• Верно ли утверждение, что квадрат всякого рационального числа представим в виде суммы четвёртых степеней четырёх рациональных чисел?
• Проблема Варинга и её обобщения:
  • Конечно ли множество натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы 6 кубов неотрицательных целых чисел? Аналогичный вопрос стоит для сумм 5 и 4 кубов, а также для многих чисел слагаемых со степенями выше 4.
  • С какой точностью натуральное число можно представить суммой квадратов двух целых чисел?
• Проблема 196. Существуют ли такие натуральные числа, которые в результате повторения операции «перевернуть и сложить», никогда не превратятся в палиндром?
• Возможно ли представление любого целого числа в виде (алгебраической) суммы четырёх кубов?
  • неизвестно доказательство этого утверждения;
  • неизвестен пример числа, которое представить таким образом нельзя.
• Три из четырёх гипотез Поллока о фигурных числах.
• Существует ли точная четвёртая степень с суммой цифр, равной четырём?

См. также

• Открытые математические проблемы — проблемы из других разделов математики

Литература

• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
• Shanks, Daniel. Solved and Unsolved Problems in Number Theory. — 5th ed.. — New York: AMS Chelsea, 2002. — ISBN 978-0-8218-2824-3.

Ссылки

• Open Problem Garden (англ.)
• Open Questions: Mathematics (англ.)
• The Open Problems Project (англ.)
• Открытые математические проблемы в Google Directory (англ.)
• Видеоклипы о нерешённых математических проблемах
• http://unsolvedproblems.org/