Ряд Лейбница

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ряд Лейбница — знакочередующийся ряд, названный именем исследовавшего его немецкого математика Лейбница (хотя этот ряд был известен и раньше):

Сходимость этого ряда сразу следует из теоремы Лейбница для знакочередующихся рядов. Лейбниц показал, что сумма ряда равна Это открытие впервые показало, что число , первоначально определённое в геометрии, на деле является универсальной математической константой; в дальнейшем этот факт постоянно находил новые подтверждения.

Скорость сходимости

[править | править код]

Ряд Лейбница сходится крайне медленно. Нижеследующая таблица иллюстрирует скорость сходимости к ряда, умноженного на 4.

n
(число
членов
ряда)

(частичная сумма,
верные знаки выделены
чёрным цветом)
Относительная
точность
2 2,666666666666667 0,848826363156775
4 2,895238095238095 0,921582908570213
8 3,017071817071817 0,960363786700453
16 3,079153394197426 0,980124966449415
32 3,110350273698686 0,990055241612751
64 3,125968606973288 0,995026711499770
100 3,131592903558553 0,996816980705689
1000 3,140592653839793 0,999681690193394
10 000 3,141492653590043 0,999968169011461
100 000 3,141582653589793 0,999996816901138
1 000 000 3,141591653589793 0,999999681690114
10 000 000 3,141592553589793 0,999999968169011
100 000 000 3,141592643589793 0,999999996816901
1 000 000 000 3,141592652589793 0,999999999681690

Ряд Лейбница легко получить через разложение арктангенса в ряд Тейлора[1]:

Положив мы получаем ряд Лейбница.

Ряд Тейлора для арктангенса впервые открыл индийский математик Мадхава из Сангамаграмы, основатель Керальской школы астрономии и математики (XIV век). Мадхава использовал ряд[2][3] для вычисления числа . Однако ряд Лейбница с как показано выше, сходится крайне медленно, поэтому Мадхава положил и получил гораздо быстрее сходящийся ряд[4]:

Сумма первых 21 слагаемых даёт значение , причём все знаки, кроме последнего, верны[5].

Труды Мадхавы и его учеников не были известны в Европе XVII века, и разложение арктангенса было независимо переоткрыто Джеймсом Грегори (1671) и Готфридом Лейбницем (1676). Поэтому некоторые источники предлагают называть данный ряд «рядом Мадхавы — Лейбница» или «рядом Грегори — Лейбница». Грегори, впрочем, не связал этот ряд с числом

Ускорение сходимости

[править | править код]

Ещё одна модификация ряда Лейбница, делающая его практически пригодным для вычисления — попарное объединение членов ряда. В результате получим следующий ряд:

Для дальнейшей оптимизации вычислений можно применить формулу Эйлера — Маклорена и использовать методы численного интегрирования.

Примечания

[править | править код]
  1. Фихтенгольц, 2003, с. 401.
  2. Паплаускас А. Б. Доньютоновский период развития бесконечных рядов. Часть I // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1973. — Т. XVIII. — С. 104—131.
  3. C. T. Rajagopal and M. S. Rangachari. On an untapped source of medieval Keralese Mathematics (англ.) // Archive for History of Exact Sciences : journal. — 1978. — June (vol. 18). — P. 89—102. — doi:10.1007/BF00348142.
  4. Вездесущее число «пи», 2007, с. 47.
  5. R. C. Gupta. Madhava's and other medieval Indian values of pi (англ.) // Math. Education. — 1975. — Vol. 9, no. 3. — P. B45—B48.

Литература

[править | править код]
  • Жуков А. В. Вездесущее число «пи». — 2-е изд. — М.: Издательство ЛКИ, 2007. — 216 с. — ISBN 978-5-382-00174-6.
  • Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. 2. — 864 с. — ISBN 5-9221-0157-9.