Numrat realë
Në matematikë, një numër real është një numër që mund të përdoret për të matur një madhësi vazhdueshme njëdimensionale siç është largësia, kohëzgjatja ose temperatura . Këtu, e vazhdueshme do të thotë se çiftet e vlerave mund të kenë dallime të vogla sipas volitjes së lexuesit. [a] Çdo numër real mund të përfaqësohet pothuajse në mënyrë unike nga një zgjerim dhjetor i pafundëm. [b] [1]
Numrat realë janë themelorë në llogaritje (dhe në përgjithësi në të gjithë matematikën), veçanërisht nga roli i tyre në përkufizimet klasike të limiteve, vazhdimësisë dhe derivateve . [c]
Bashkësia e numrave realë shënohet R ose [2] dhe nganjëherë quhet "të vërtetët". [3] Mbiemri real, i përdorur në shekullin e 17-të nga René Descartes, dallon numrat realë nga numrat imagjinarë si rrënjët katrore të −1 . [4]
Numrat realë përfshijnë numrat racionalë, të tillë si numri i plotë −5 dhe thyesa 4 / 3 . Pjesa tjetër e numrave realë quhen numra irracionalë, dhe përfshijnë numra algjebrikë (siç është rrënja katrore √ 2 = 1.414... ) dhe numra transhedentalë (si π = 3.1415. . . ). [4]
Numrat realë mund të mendohen si të gjitha pikat në një drejtëz, e quajtur drejtëza numerike ose drejtëza reale, ku pikat që u korrespondojnë numrave të plotë ( ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... ) janë të baraslarguara.
Përshkrimet joformale të mësipërme të numrave realë nuk janë të mjaftueshëm për të siguruar korrektësinë e provave të teoremave që përfshijnë numra realë. U kuptua se nevojitej një përkufizim më i mirë dhe përpunimi i një përkufizimi të tillë ishte një zhvillim madhor i matematikës së shekullit të 19-të dhe është themeli i analizës reale, studimit të funksioneve reale dhe serive me vlera reale.
Historia
[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]
Thyesat e thjeshta u përdorën nga Egjiptianët rreth vitit 1000 BC; në kohërat e Vedave " Shulba Sutras " ("Rregullat e akordit") rreth 600 para Krishtit përfshijnë atë që mund të jetë "përdorimi" i parë i numrave irracionalë. Koncepti i irracionalitetit u pranua në mënyrë të heshtur nga matematikanët e hershëm indianë si Manava (c. 750–690 para Krishtit), i cili ishte i vetëdijshëm se rrënjët katrore të numrave të caktuar, si 2 dhe 61, nuk mund të përcaktoheshin saktësisht. [5] Rreth 500 Para Krishtit, matematikanët grekë të udhëhequr nga Pitagora kuptuan gjithashtu se rrënja katrore e 2 është irracionale.
Mesjeta solli pranimin e zeros, numrave negativë, numrave të plotë, dhe numrave thyesorë, së pari nga Indianët dhe matematikanët kinezë, e më pas nga ata arabë, të cilët ishin të parët që i trajtuan numrat irracionalë si objekte algjebrike. Matematikanët arabë i bashkuar konceptet "numër" dhe "magnitudë" në një ide më të përgjithshme të numrave realë.[6] Matematikani egjiptian Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (c. 850–930) ishte i pari që i pranoi numrat irracionalë si zgjidhje të ekuacioneve kuadratike, ose si koeficientë në një ekuacion (shpesh në formën e rrënjëve katrore, kubike dhe kuartike).[7] Në Europë, të tillë numra, quheshin irracionalë ose <i id="mwApM">shurdhë</i>.
Në shekullin e 16-të, Simon Stevin krijoi bazën për shënimet dhjetore moderne dhe këmbënguli se nuk kishte asnjë ndryshim midis numrave racionalë dhe irracionalë në këtë drejtim.
Në shekullin e 17-të, Dekarti paraqiti termin "real" për të përshkruar rrënjët e një polinomi, duke i dalluar ato nga ato "imagjinare".
Në shekujt e 18-të dhe të 19-të, u punua shumë për numrat irracionalë dhe trashendentalë. Lambert (1761) dha një provë të gabuar që π nuk mund të jetë racionale; Lezhandre (1794) përfundoi provën [8] dhe tregoi se π nuk është rrënja katrore e një numri racional. [9] Liouville (1840) tregoi se as e as e 2 nuk mund të jenë një rrënjë e një ekuacioni kuadratik me koeficientë numra të plotë, dhe më pas zbuloi ekzistencën e numrave transhedentalë; Cantor (1873) e zgjeroi dhe e thjeshtoi shumë këtë provë. [10] Hermite (1873) vërtetoi se e është transcendentale, dhe Lindemann (1882), tregoi se π është transcendental. Prova e Lindemann u thjeshtua shumë nga Vajershtrasi (1885), Hilbert (1893), Hurwitz, [11] dhe Gordan . [12]
Zhvilluesit e analizës matematike përdorën numra realë pa i përcaktuar ata në mënyrë rigoroze. Përkufizimi i parë rigoroz u botua nga Cantor në 1871. Në 1874, ai tregoi se bashkësia e të gjithë numrave realë është e panumërueshme dhe e pafundme, por bashkësia e të gjithë numrave algjebrikë është e pafundme dhe e numërueshme . Prova e parë e panumërueshmërsë e Cantor ishte e ndryshme nga argumenti i tij i famshëm diagonal i botuar në 1891.
Gabim referencash: Etiketat <ref> ekzistojnë për një grup të quajtur "lower-alpha", por nuk u gjet etiketa korresponduese <references group="lower-alpha"/>
- ^ "Real number". Oxford Reference. 2011-08-03.
{{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri|language=(Ndihmë!) - ^ Weisstein, Eric W. "Real Number". mathworld.wolfram.com. Marrë më 2020-08-11.
{{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri|language=(Ndihmë!) - ^ "real". Oxford English Dictionary (bot. 3rd). 2008. 'real', n.2, B.4.
Mathematics. A real number. Usually in plural
{{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri|language=(Ndihmë!) - ^ a b "Real number". Encyclopedia Britannica.
{{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri|language=(Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid<ref>tag; name "Britannica" defined multiple times with different content - ^ T. K. Puttaswamy, "The Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians", pp. 410–11. In: Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, red. (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1
{{citation}}: Mungon ose është bosh parametri|language=(Ndihmë!). - ^ Matvievskaya, Galina (1987), "The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics", Annals of the New York Academy of Sciences, vëll. 500 no. 1, fq. 253–77 [254], Bibcode:1987NYASA.500..253M, doi:10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x
{{citation}}: Mungon ose është bosh parametri|language=(Ndihmë!) - ^ Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 978-1-4020-0260-1
{{citation}}: Mungon ose është bosh parametri|language=(Ndihmë!) - ^ Beckmann, Petr (1971). A History of π (PI). St. Martin's Press. fq. 170. ISBN 9780312381851.
{{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri|language=(Ndihmë!) - ^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, fq. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, marrë më 2015-11-15
{{citation}}: Mungon ose është bosh parametri|language=(Ndihmë!). - ^ Dunham, William (2015), The Calculus Gallery: Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton University Press, fq. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, marrë më 2015-02-17,
Cantor found a remarkable shortcut to reach Liouville's conclusion with a fraction of the work
{{citation}}: Mungon ose është bosh parametri|language=(Ndihmë!) - ^ Hurwitz, Adolf (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen: 134–35.
{{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri|language=(Ndihmë!) - ^ Gordan, Paul (1893). "Transcendenz von e und π". Mathematische Annalen. 43: 222–224. doi:10.1007/bf01443647.
{{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri|language=(Ndihmë!)