Spani linear

Rrafshi ⁱ çelur kryq është hapësira lineare e u dhe v në R³ .

Në matematikë, span linear (e quajtur edhe direku linear ose thjesht shtrirja ) i një grupi vektorësh S (nga një hapësirë vektoriale ), e shënuar span(S), përkufizohet si bashkësia e të gjitha kombinimeve lineare të vektorëve në S Për shembull, dy vektorë të pavarur linearisht shtrihen në një rrafsh . Hapësira lineare mund të karakterizohet ose si prerje e të gjitha nënhapësirave lineare që përmbajnë S, ose si nënhapësirë më e vogël që përmban S. Hapësira lineare e një grupi vektorësh është pra vetë një hapësirë vektoriale. Hapësirat mund të përgjithësohen në matroide dhe module.

Për të shprehur se një hapësirë vektoriale V është një hapësirë lineare e një nëngrupi S, zakonisht përdoren frazat e mëposhtme - ose: S span (gjeneron) V, S është një bashkësi e shtrirjes së V, V shtrihet/gjenerohet nga S, ose S është një gjenerator ose bashkësi gjeneratore e V.

Përkufizimi

Duke pasur parasysh një hapësirë vektoriale V mbi një fushë K, hapësira e një bashkësie vektorësh S (jo domosdoshmërisht e fundme) përcaktohet të jetë prerja W e të gjitha nënhapësirave të V që përmbajnë S. W-së i referohet si nënhapësirë e shtrirë nga S, ose nga vektorët në S . Anasjelltas, S quhet një bashkësi shtrirëse e W, dhe ne themi se S span W .

Përndryshe, hapësira e S mund të përkufizohet si bashkësia e të gjitha kombinimeve të fundme lineare të elementeve (vektorëve) të S, që rrjedh nga përkufizimi i mësipërm.

$$\operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} _{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.$$

Shembuj

Hapësira reale vektoriale $\mathbb {R} ^{3}$ ka {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} si një bashkësi i të shtrirjes. Ky grup i veçantë përfshin gjithashtu një bazë . Nëse (−1, 0, 0) do të zëvendësohej me (1, 0, 0), do të përbënte gjithashtu bazën kanonike të $\mathbb {R} ^{3}$ .

Një grup tjetër shtrirje për të njëjtën hapësirë jepet nga {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1,¹⁄₂, 3), (1, 1, 1)}, por kjo bashkësi nuk është bazë, sepse është linearisht e varur .

Bashkësia e monomëve xⁿ, ku n është një numër i plotë jo negativ, përfshin hapësirën e polinomeve .