Abelsk grupp

Inom den abstrakta algebran är en abelsk grupp (efter Niels Henrik Abel) en grupp som är kommutativ vid tillämpning av gruppoperationen på två element i gruppen.

En abelsk grupp är en generalisering av addition av heltal.

Definition

En abelsk grupp är en grupp där operationen är kommutativ, det vill säga gruppen (G,*) är abelsk om

$a*b=b*a$

för alla a och b i G.

Övriga egenskaper för en grupp:

Slutenhet

För alla a, b i A, är resultatet av operationen a * b också i A.

Associativitet

För alla a, b och c i A, gäller ekvationen (a * b) * c = a * (b * c).

Neutralt element

Det existerar ett element e i A, sådant att för alla element a i A, gäller ekvationen e * a = a * e = a.

Inverst element

För alla a i A, finns ett element b i A sådant att a * b = b * a = e, där e är enhetselementet.

Man kan också se om en grupp är abelsk i dess cayleytabell; en grupp är abelsk om och endast om dess cayleytabell är symmetrisk kring huvuddiagonalen, dvs. elementet på rad i och kolumn j ska vara samma som elementet på rad j och kolumn i.

Den ovanstående notationen är för en grupp där operationen benämns multiplikation. För en additiv grupp ersätter man * med + och enhetselementet blir 0.

Historia

Camille Jordan uppkallade abelska grupper efter den norske matematikern Niels Henrik Abel, då Jordan noterade deras vikt inom problem om lösning med radikaler, ett problem som behandlades av Abel.

Egenskaper

Om f och g är homomorfier mellan två abelska grupper är även deras summa $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ en homomorfi. Detta gäller inte i allmänhet för icke-abelska grupper.

Varje delgrupp H av en abelsk grupp är normal, vilket betyder att för ett element a i A är:

$a*H=H*a$

Ändliga abelska grupper

Klassificering

Fundamentalsatsen för ändliga abelska grupper säger att varje ändlig abelsk grupp G kan skrivas som en direkt summa av cykliska delgrupper av primtalpotensordning. Detta är ett specialfall av fundamentalsatsen för ändligt genererade abelska grupper då G har rang noll.

Cykliska gruppen Z_mn av ordning mn är isomorf till direkta summan av Z_m och Z_n om och bara om m och n är relativt prima. Ur detta följer det att varje ändlig abelsk grupp G är isomorf till en direkt summa av formen

$\bigoplus _{i=1}^{u}\ \mathbf {Z} _{k_{i}}$

på något av följande vis:

• talen k₁, ..., k_u är primtalspotenser
• k₁ delar k₂ som delar k₃ och så vidare ända upptill k_u.

Exempelvis kan Z₁₅ skrivas som direkta summan av två cykliska delgrupper, av ordningarna 3 och 5: Z₁₅ ≅ {0, 5, 10} ⊕ {0, 3, 6, 9, 12}. Samma gäller för varje abelsk grupp av ordning 15, vilket leder till det överraskande resultatet att alla abelska grupper av ordning 15 är isomorfa.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Abelian group, 18 januari 2015.

Källor

• van der Waerden, B.L. (1966). Algebra - Erster Teil. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag