கணிதத் தொகுத்தறிதல்

விழும் டோமினோக்கள் விளையாட்டின் தொடர் விளைவுகளுடன் ஒப்பிட்டு கணித்தத் தொகுத்தறிதல் முறையை விளங்கிக் கொள்ளலாம்.

கணிதத் தொகுத்தறிதல் (Mathematical induction) என்பது கணித நிறுவல் முறைகளுள் ஒன்றாகும். ஒரு பண்பு அல்லது கூற்று P(n) ஆனது அனைத்து இயல் எண்களுக்கும் (0, 1, 2, 3, ...) உண்மையாக இருக்கும் என்று நிறுவுவதற்குக் கணிதத் தொகுத்தறிதல் பயன்படுகிறது. ஏணியில் ஏறுதல் அல்லது விழும் டோமினோக்கள் விளையாட்டு போன்றவற்றோடு ஒப்பிட்டு, கணிதத் தொகுத்தறிதலைப் புரிந்து கொள்ளலாம்.

ஏணியில் ஏறுதலோடு ஒப்பீடு:

ஏணியின் அடியிலுள்ள முதல் படியில் ஏறமுடிதல் வேண்டும்; ஒவ்வொரு படியிலிருந்தும் அடுத்த படிக்குஏறமுடிதல் வேண்டும். இவ்விரு செயற்களையும் செய்ய முடியுமானால் முழு ஏணியிலும் ஏறமுடியும்.

— Concrete Mathematics, பக்கம் 3 ஓரக்கோடு.

கணிதத் தொகுத்தறிதல் நிறுவல் முறையில் இரு நிலைகள் உள்ளன.

முதல் நிலையான அடிநிலையில் கூற்றானது 0 க்கு உண்மையாகும் என நிறுவப்படுகிறது.

இரண்டாவது நிலையான தொகுத்தறிதல் நிலையில் கூற்றானது ஏதேனுமொரு இயல் எண் n க்கு உண்மையாகும் என எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டு, அடுத்த இயல் எண் n+1 க்கும் உண்மையென நிறுவப்படுகிறது.

இவ்விரு நிலைகளின் நிறுவல் கூற்றானது (P(n)) n = 0, 1, 2, 3, ... ஆகிய அனைத்து இயல் எண்களுக்கும் உண்மையே என்பதை நிலைநிறுத்துகிறது.

அடிநிலையில் எப்பொழுதும் 0 க்கு நிறுவ வேண்டுமென்பதில்லை; கூற்றின் தன்மையைப் பொறுத்து 1 அல்லது எந்தவொரு இயலெண்ணிலிருந்தும் அடிநிலை துவங்கப்படலாம். பெரும்பான்மையாக அடிநிலை 1 இலிருந்து துவங்கப்படுகிறது.

வரலாறு

உள்ளுறைவான தொகுத்தறிதல் நிறுவலுக்குகான பழமையான எடுத்துக்காட்டு கிமு 370 இல் பிளேட்டோவின் படைப்பிலும் (Parmenides (dialogue)), யூக்கிளிடின் பகாஎண்களின் எண்ணிக்கை முடிவிலி -என்பதற்கான நிறுவலிலும், இரண்டாம் பாஸ்கரரின் சுழற்சி முறையிலும் ("Chakravala method-cyclic method") காணப்பட்டிருக்கலாம். நிறுவலில் கீழிருந்து மேல்நோக்கிச் செல்வதற்குப் பதிலாக, மேலிருந்து கீழ்நோக்கி இறங்கும் வகை "சோரைடீசு முரண்தோற்றமெய்" (Sorites paradox) இல் காணப்படுகிறது.

"சோரைடீசு முரண்தோற்றமெய்"

"சோரைடீசு முரண்தோற்றமெய்":

1,000,000 மண்துகள்கள் சேர்ந்து ஒரு மண்குவியலில் இருந்து ஒரு மண்துகளை நீக்கிய பின்னரும் குவியலானது குவியலாகவே இருக்கும். இவ்வாறு ஒவ்வொரு மண்துகளாக நீக்கிக் கொண்டிருந்தால் அது குவியலாகவே இருக்குமா? அப்படியென்றால் இறுதியில் மிஞ்சும் ஒரேயொரு மண்துகள் ஒரு குவியலாகுமா? இல்லையெனில் எந்நிலையில் அது குவியலாக இல்லாமல் போகும்?

கூட்டுத் தொடருக்கு உள்ளுறைவான கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவலானது, கிபி 1000 இல் அல்-கராஜ் எழுதிய அல்-பக்ரியில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. அதனைப் பயன்படுத்தி அவர் ஈருறுப்புத் தேற்றம் மற்றும் பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் பண்புகளை நிறுவியுள்ளார். பண்டைய கணிதவியலாளர்கள் கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவலை வெளிப்படையாகக் குறிப்பிடவில்லை.

விளக்கம்

n என்ற இயல் எண் கொண்ட ஒரு கூற்றானது, n இன் அனைத்து இயலெண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகுமா இல்லையா என்பதை கணிதத் தொகுத்தல் முறை உறுதி செய்கிறது.

தொகுத்தறிதல் முறையில் இரு படிநிலைகள் உள்ளன:

1. அடி நிலை: இந்நிலையில் கூற்று முதல் இயலெண்ணுக்கு மெய்யென நிறுவப்படுகிறது. வழக்கமாக n = 0 அல்லது n = 1 என்ற மதிப்புகளே எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. சிலசமயங்களில் அவற்றை விடப் பெரிய இயலெண்ணுக்கும் அடிநிலையில் கூற்று மெய்யென நிறுவப்படலாம்.
2. தொகுப்பு நிலை: இந்த இரண்டாவது நிலையில் கூற்றானது ஏதாவதொரு இயலெண் n க்கு உண்மையென எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டு, அதனைக்கொண்டு அடுத்த இயலெண்ணான n + 1 க்கு கூற்று உண்மையென நிறுவப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு

கீழ்வரும் கூற்று P(n) அனைத்து இயலெண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையென தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவுதல்:

P(n): $0+1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$.

இங்கு P(n), 1 முதல் n வரையிலான இயலெண்களின் கூடுதலுக்கான வாய்பாடாகும்.

தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவல்:

அடிநிலை:

n = 0 க்கு கூற்று உண்மையென நிறுவ வேண்டும்.
P(0): $0={\frac {0\cdot (0+1)}{2}}=0\,.$

தொகுப்பு நிலை:

P(k) உண்மையெனில், P(k + 1) உண்மையென நிறுவ வேண்டும்

P(k) : $0+1+2+\cdots +k={\frac {(k)((k+1)}{2}}.$ உண்மையெனக் கொள்ள வேண்டும்

P(k + 1): $(0+1+2+\cdots +k)+(k+1)={\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)\,.$

${\begin{aligned}{\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)&={\frac {k(k+1)+2(k+1)}{2}}\\&={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}\\&={\frac {(k+1)((k+1)+1)}{2}}\end{aligned}}$

இதிலிருந்து P(k + 1) மெய்யென உறுதியாகிறது.

எனவே எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டக் கூற்றான P(n) ஆனது n இன் அனைத்து இயலெண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையெனக் கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவப்படுகிறது.