เมทริกซ์ (คณิตศาสตร์)

สำหรับความหมายอื่น ดูที่ เมทริกซ์

ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ (อังกฤษ: matrix) คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุจำนวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนำมาบวกและคูณกับตัวเลขได้

เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสองตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็นแนวความคิดที่มีความสำคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่เน้นการศึกษาเมทริกซ์

มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในหลากหลายสาขาของวิทยาศาสตร์ ในสาขาฟิสิกส์มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในทุก ๆ แขนงของฟิสิกส์ที่มีอยู่ เช่น กลศาสตร์, ทัศนศาสตร์, แม่เหล็กไฟฟ้า, กลศาสตร์ควอนตัม หรือ ไฟฟ้ากระแสควอนตัม มีการใช้ทฤษฎีเมทริกซ์ในการศึกษาปรากฎการณ์ทางฟิสิกส์ เช่น การเคลื่อนที่ของวัตถุ ในสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์มีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการทำคอมพิวเตอร์กราฟฟิก โดยใช้สร้างโมเดล 3 มิติ เพื่อแสดงผลบนหน้าจอคอมพิวเตอร์ที่เป็น 2 มิติ

ในทางสถิติศาสตร์ มีการใช้เมทริกซ์เฟ้นสุ่มในการอธิบายถึงชุด (set) ของความน่าจะเป็น อาทิ มีการประยุกต์ใช้ร่วมกับอัลกอริทึมแบบ PageRank ในการเรียงหน้าผลการค้นหาในเว็บไซต์เสิร์จเอนจินอย่าง Google ในการศึกษาแคลคูลัส มีการใช้แคลคูลัสเชิงเมทริกซ์ (Matrix calculus) ในการวิเคราะห์อนุพันธ์ (Derivative) และฟังก์ชันเลขชี้กำลังในมิติที่อยู่สูงขึ้นไป (Higher dimension) นอกจากนั้นยังมีการประยุกต์ใช้เมทริกซ์ในการอธิบายระบบความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจ

นิยาม

เมทริกซ์ คือกลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น

${\begin{bmatrix}1&56&3\\0&15&4\\5&-31&-4\end{bmatrix}}$

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียกจำนวนแต่ละจำนวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุตำแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 15

สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5

เราเรียกเมทริกซ์ที่มี $m$ แถว และ $n$ หลัก เรียกว่า เมทริกซ์ $m\times n$ เราเรียกจำนวน $m$ และ $n$ ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์

เราใช้สัญลักษณ์ $A=(a_{i,j})_{m\times n}$ เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ $A$ ซึ่งมี $m$ แถว และ $n$ หลัก โดยที่ $a_{i,j}$ (หรือ $a_{ij}$) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง แถว $i$ และ หลัก $j$ ของเมทริกซ์

$A=A_{m\times n}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &&\vdots \\\vdots &&&\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}$

การกระทำระหว่างเมทริกซ์

การบวก

บทความหลัก: การบวกเมทริกซ์

ให้ $A=(a_{i,j})_{m\times n}$ และ $B=(b_{i,j})_{m\times n}$ เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถนิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก $A+B$ ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด $m\times n$ ที่คำนวณโดยการบวกสมาชิกที่มีตำแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก $C=(c_{i,j})_{m\times n}=A+B$ แล้ว $c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}$ ยกตัวอย่างเช่น

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง

การคูณด้วยสเกลาร์

กำหนดเมทริกซ์ $A=(a_{i,j})_{m\times n}$ และจำนวน $c$ เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์ $cA$ ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด $m\times n$ ที่คำนวณโดยการนำ $c$ ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ $A$ กล่าวคือ หาก $B=(b_{i,j})_{m\times n}=cA$ แล้ว $b_{i,j}=ca_{i,j}$ ยกตัวอย่างเช่น

$2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์ขนาด $m\times n$ ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ $mn$ ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์ชนิดหนึ่ง

การคูณ

ถ้า $A=(a_{i,j})_{m\times n}$ และ $B=(b_{i,j})_{n\times p}$ เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จำนวนหลักของ $A$ เท่ากับจำนวนแถวของ $B$ แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ $AB$ ว่าเป็นเมทริกซ์ $C=(c_{i,j})_{m\times p}$ โดยที่

$c_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+\cdots +a_{i,n}b_{n,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}b_{k,j}$

กล่าวคือสมาชิกในแถว $i$ หลัก $j$ ของผลคูณ $AB$ คำนวณได้จากการนำสมาชิกของหลัก $i$ ของ $A$ และสมาชิกของคอลัมน์ $B$ ในตำแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนำผลคูณทั้ง $n$ ผลคูณนั้นมาบวกกัน

การคูณนี้อาจทำให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นjเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเราให้ $a_{i}=(a_{i,1},a_{i,2},\ldots ,a_{i,n})$ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว $i$ ของ $A$ และให้ $b_{j}=(b_{1,j},b_{2,j},\ldots ,b_{n,j})$ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก $j$ ของ $B$ แล้ว เราจะได้ว่า $c_{i,j}=a_{i}\cdot b_{j}$ เมื่อ $a_{i}\cdot b_{j}$ คือผลคูณจุดของ $a_{i}$ และ $b_{j}$ เช่น

ให้ $A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\end{bmatrix}}$ และ $B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\b_{3,1}&b_{3,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}\\\end{bmatrix}}$

แล้ว $A\times B={\begin{bmatrix}a_{1}\cdot b_{1}&a_{1}\cdot b_{2}\\a_{2}\cdot b_{1}&a_{2}\cdot b_{2}\\\end{bmatrix}}$

และ

${\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}$

การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้

• สมบัติการเปลี่ยนหมู่: $(AB)C=A(BC)$ สำหรับเมทริกซ์ $A$ ขนาด $k\times m$, $B$ ขนาด $m\times n$, และ $C$ ขนาด $n\times p$ ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
• สมบัติการแจกแจงทางขวา: $(A+B)C=AC+BC$ สำหรับเมทริกซ์ $A$ และ $B$ ขนาด $m\times n$ และ $C$ ขนาด $n\times p$ ใดๆ
• สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: $C(A+B)=CA+CB$ สำหรับเมทริกซ์ $A$ และ $B$ ขนาด $m\times n$ และ $C$ ขนาด $k\times m$ ใดๆ

คำเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจำนวนโดยทั่วไป เนื่องจากไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ สำหรับเมทริกซ์ $A$ ขนาด $m\times n$ และ $B$ ขนาด $n\times p$ ใดๆ

• ถ้า $m\neq p$ แล้ว ผลคูณ $BA$ ไม่มีนิยาม
• แม้ $m=p$ แต่ถ้า $m\neq n$ แล้ว $AB$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $m\times m$ ส่วน $BA$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $n\times n$ ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
• แม้ $m=n=p$ แต่ส่วนมากแล้ว $AB$ มักจะมีค่าไม่เท่ากับ $BA$ ยกตัวอย่างเช่น

${\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\10&12\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}3&8\\5&12\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\5&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}}$

เรากล่าวว่าเมทริกซ์ $A$ แอนติคอมมิวต์ (anticommute) กับเมทริกซ์ $B$ ถ้า $AB=-BA$ เมทริกซ์ที่แอนติคอมมิวต์ซึ่งกันและกันมีความสำคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด

ข้อสังเกต i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column

การสลับเปลี่ยน

บทความหลัก: เมทริกซ์สลับเปลี่ยน

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมทริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m × n คือ A^T ขนาด n × m ( หรือเขียนอยู่ในรูปแบบ A^tr, หรือ ^tA, หรือ A' ) ซึ่ง A^T[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอย่างเช่น

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

เมทริกซ์จัตุรัส

เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ขนาด n × n ยกเว้น n = 1

เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษ

• เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย I_n ขนาด n คือเมทริกซ์ขนาด n × n ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด มีคุณสมบัติ MI_n = M และ I_nN =  N สำหรับทุกๆเมทริกซ์ M ขนาด m × n และเมทริกซ์ N ขนาด n × k เช่นเมื่อ n = 3:

$\mathbf {I} _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

• เมทริกซ์สมมาตร คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง นั่นก็คือ $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A}$ หรือ $a_{i,j}=a_{j,i}$ สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
• เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือเมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ $\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=-\mathbf {A}$หรือ $a_{i,j}=-a_{j,i}$สำหรับทุกดัชนีที่ i และ j
• เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (conjugate transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่าสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับสมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้องเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้ $a_{i,j}={\overline {a}}_{j,i}$ หรือเขียนแทนด้วยการสลับเปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า $\mathbf {A} ^{\ast }=\mathbf {A}$
• เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนานเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ $\,\!a_{i,j}=a_{i+1,j+1}$