Графік функції

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Графік функції
Зображення
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
CMNS: Графік функції у Вікісховищі
Графік кубічного полінома

Графік функції — діаграма в математиці, яка дає уявлення про геометричний образ функції.

Графіком функції називається підмножина декартового добутку на (), що містить всі пари , для яких .

Якщо простіше, то це є малюнок, на якому можна побачити як змінюється значення Y залежно від значення Х. Як правило, значення X позначають на горизонтальній прямій, яку називають віссю абсцис (x), а значення Y на перпендикулярній до неї прямій, яку називають віссю ординат (y). Ці осі разом утворюють систему координат. Кожна вісь має напрямок, у якому значення відповідної координати зростає. У точці найбільшого значення малюють стрілку, яка вказує цей напрям. На кожній осі роблять позначки окремих (ключових) значень і підписують їх цими значеннями. Це допомагає приблизно визначити інші проміжні значення. Точка з координатами називається початком координат.

  1. Пряма пропорційність
  2. Лінійна функція
  3. Обернена пропорційність
  4. Квадратична функція ,

Побудова графіка функції

[ред. | ред. код]

Побудова графіка функції, що базується на аналітичному дослідженні функції.

Алгоритм дослідження функції:

  1. з'ясування області визначення функції;
  2. вирішується питання про парності або непарності функції;
  3. досліджується періодичність функції;
  4. знаходять точки перетину кривої з осями координат;
  5. знаходять точки розриву функції і визначають їх характер (такими точками є краї інтервалів визначення функції);
  6. проводять дослідження на екстремум, знаходять екстремальні значення функції;
  7. шукаються точки перегину та інтервали опуклості та угнутості кривій;
  8. відшукання асимптоти кривої;
  9. отримані результати наносять на креслення і отримують графік досліджуваної функції.

Графік функції будують за характерними точками й лініями, отриманими у результаті дослідження. Якщо їх недостатньо, знаходять допоміжні точки для деяких конкретних значень аргументу.

Приклад побудови графіка функції

[ред. | ред. код]

Провести дослідження функції   та побудувати її графік.

1) Функція визначена всюди, крім точок та .

2) Функція непарна, тому що виконується умова , а саме, , і, отже, її графік симетричний відносно початку координат. Тому обмежимося дослідженням тільки для .

3) Функція не періодична.

4) Так як y = 0 лише при x = 0, то перетин з осями координат відбувається тільки на початку координат.

5) Функція має розрив другого роду в точці , причому , . Пряма  — вертикальна асимптота.

6) Знаходимо  і прирівнюємо її до нуля: , звідки , , . На екстремум треба досліджувати тільки точку (точку не досліджуємо, тому що вона є граничною точкою проміжку .

В околі точки має: при та при , отже, в точці функція має максимум, .

Для перевірки правильності знаходження мінімального та максимального значення.

7) Знаходимо . Бачимо, що лише при , при цьому при та при , отже, в точці (0,0) крива має перегин. Іноді напрямок угнутості може змінитися при переході через розрив кривої, тому слід з'ясувати знак і близько точок розриву функції. У даному випадку на проміжку  i на , отже, на крива ввігнута і опукла на .

8) Знаходимо асимптоти.

Наявність вертикальної асимптоти встановлено вище. Шукаємо горизонтальні: , отже, горизонтальних асимптот немає.

Знайдемо похилі асимптоти:

, , виходячи з цього,  — нахилена двобічна асимптота.

9) Тепер, використовуючи отримані дані, будуємо креслення.

Див. також

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]